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如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． 
（1）见解析（2）
【解析】(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A.由题设知，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°，
所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B...
考点分析：
考点1：几何证明选讲
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如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A，B，C，D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E，F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.(1)求证：PA·PB＝PM·PQ；(2)求证：∠BMD＝∠BOD. 
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明： (1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC. 
如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径 OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M. (1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝，求MA及CE的长． 
如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：(1)CE＝DE；(2). 
如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD. (1)求证：BD平分∠CBE；(2)求证：AH·BH＝AE·HC. 
题型：解答题
难度：中等
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满分5 学习网 . All Rights Reserved.如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，BD=．（1）求CD的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形．
分析：（1）在△CDB中，根据勾股定理求出CD即可．（2）在△ADC中，根据勾股定理求出AD即可．（3）得出AB=AD+BD，求出即可．（3）根据勾股定理的逆定理求出即可．解答：解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，∵BC=3，BD=95，∴由勾股定理得：CD=BC2-BD2=32-(95)2=125．（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=AC2-CD2=42-(125)2=135．（3）在Rt△ACB中，AB=AD+BD=135+125=5．（4）证明：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
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科目：初中数学
如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，（其中一点到达终点，另一点也停止运动），设经过t秒．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于△ABC的面积的？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm2？请说明理由．（3）若P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm？（4）P、Q在移动的过程中，是否存在某一时刻t，使得PQ∥AC？若存在求出t的值，若不存在请说明理由．
科目：初中数学
如图，已知：△ABC中，∠1=∠2，且AE=AD，BE和CD相交于F．求证：BF=CF．
科目：初中数学
如图，已知：△ABC为等边三角形，D、F分别为射线BC、射线AB边上的点，BD=AF，以AD为边作等边△ADE．（1）如图①所示，当点D在线段BC上时：①试说明：△ACD≌△CBF；②判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（2）如图②所示，当点D在BC的延长线上时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由．（3）当点D在射线BC上移动到何处时，∠DEF=30°，并说明理由．
科目：初中数学
如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于5-12．
科目：初中数学
如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，点E在边BA的延长线上，AE=AB，，那么=a-2-．如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求_百度作业帮
如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求
如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求证：△CDP是等边三角形；（3）如图②，若点D和圆心O重合，AB=2，则PC的长为33．
（1）证明：如图①，∵∠ACB=∠APB=60°，而AB=AC，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：如图①，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，在△BCD和△APC中，，∴△BCD≌△APC（SAS），∴CD=CP，∠BCD=∠ACP，∵∠BCD+∠ACD=60°，∴∠ACP+∠ACD=60°，即∠DCP=60°，∴△CDP是等边三角形；（3）如图②，∵点D和圆心O重合，即BP为直径，∴∠PCB=90°，∵△CDP是等边三角形，∴∠OPC=60°，∴∠PBC=30°，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2，在Rt△PBC中，∵∠PBC=30°，∴PC=BC=．故答案为．
本题考点：
圆的综合题．
问题解析：
（1）如图①，根据圆周角定理得到∠ACB=∠APB=60°，然后根据等边三角形的判定方法易得△ABC是等边三角形；（2）如图①，由△ABC是等边三角形得BC=AC，再利用“SAS”证明△BCD≌△APC，得到CD=CP，∠BCD=∠ACP，接着证明∠DCP=60°，然后根据等边三角形的判定方法易得△CDP是等边三角形；（3）如图②，由BP为直径，根据圆周角定理得∠PCB=90°，再利用△CDP是等边三角形得到∠OPC=60°，则∠PBC=30°；由于△ABC是等边三角形，则BC=AB=2，然后在Rt△PBC中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PC的长．已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD²=AD×BD.求证:△ABC是直角三角形_百度作业帮
已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD²=AD×BD.求证:△ABC是直角三角形
已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD²=AD×BD.求证:△ABC是直角三角形
因为CD²=AD×BD所以CD/AD=BD/CD所以RT△CDA∽RT△BDC所以∠ACD=∠CBD又因为∠CBD+∠DCB=90°所以∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°得证.
要利用勾股定理的逆定理
AC^2=AD^2+CD^2
BC^2=BD^2+CD^2
AC^2+BC^2=AD^2+CD^2+BD^2+CD^2=AD^2+BD^2+2CD^2
=AD^2+BD^2+2AD×BD=(AD+BD)^2=AB^2> 【答案带解析】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：A...
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：ACoBC=AEoCD．
求线段的比，可以考虑用相似三角形对应边成比例来求；首先寻找相似三角形△AEC与△CBD，然后根据相关判定条件寻找解答即可．
证明：连接EC，
∴∠B=∠E．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°．
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°．
在△AEC与△CBD中，
∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，
∴△AEC∽△CBD．
即ACoBC=AEoCD．
考点分析：
考点1：三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
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我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当△AOB旋转90&时，得到∠A1OB1．已知A（4，2），B（3，0）．（1）△A1OB1的面积是______；A1点的坐标为（______）；B1点的坐标为（______）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90&得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交x轴于E．此时A′，O′和B′的坐标分别为（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90&时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积；（3）在（2）的条件下，△AOB外接圆的半径等于______．
已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）（1）求证：△OMD≌△BAO；（2）若直线l：y=kx+b把⊙M的面积分为二等份，求证：k+b=0．
（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．（2）如图2，若∠DOE保持120&角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．
如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）
题型：解答题
难度：中等
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