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甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足关系x=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格),(1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?
思路分析:本小题主要考查函数概念,运用导数求函数的最大值、最小值的方法,以及运用数学知识,建立简单数学模型并解决实际问题的能力.解:(1)法一:因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为W=-st.因为W=,所以当t=()2时,W取得最大值.所以乙方取得最大年利润的产量t=()2(吨).法二:因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为W=-st.由W′=,令W′=0得t=t0=()2.当t＜t0时,W′＞0;当t＞t0时,W′＜0,所以当t=t0时,W取得最大值.因此乙方取得最大年利润的产量t0=()2(吨).(2)设甲方净收入为v元,则v=st-0.002t2.将t=()2代入上式,得甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=.又v′=,令v′=0,得s=20.当s＜20时,v′＞0;当s＞20时,v′＜0.所以当s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,可获得最大净收入.&&& 深化升华 实际应用问题要根据题目条件,写出相应的关系式,这是解决此类问题的关键.要认真阅读,搞清问题的背景,建立相应的数学模型.
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2014年高考数学(理)二轮复习三级排查大提分专练：2-2导数及其应用
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962016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案15 导数的综合应用
学案15导数的综合应用；导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据；自主梳理；1．函数的最值；(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件；如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上__；②将函数y＝f(x)的各极值与________比；2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的；自我检测；1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内；C
学案15 导数的综合应用导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题． 自主梳理1．函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为
) A．0≤a&1
B．0&a&11C．－1&a&1
D．0&a&22．(2011?汕头月考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
() 3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有
) A．f(0)＋f(2)&2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)&2f(1)π10上的值域为______________．4．(2011?新乡模拟)函数f(x)x (sin x＋cos x)在区间? ?225．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________． 探究点一 求含参数的函数的最值－例1 已知函数f(x)＝x2eax (a&0)，求函数在[1,2]上的最大值． - 1 -
aln x变式迁移1 设a&0，函数f(x)＝x(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．探究点二 用导数证明不等式1例2 (2011?张家口模拟)已知f(x)＝x2－aln x(a∈R)，2(1)求函数f(x)的单调区间；12(2)求证：当x&1时，2＋ln x&3.23 变式迁移2 (2010?安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a&ln 2－1且x&0时，ex&x2－2ax＋1.探究点三 实际生活中的优化问题 例3 (2011?孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；2(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？ 转化与化归思想的应用 - 2 -例 (12分)(2010?全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； (2)证明：(x－1)f(x)≥0. 【答题模板】x＋11(1)解 ∵f′(x)＝ln
x－1＝ln xx&0，xx2∴xf′(x)＝xln x＋1.由xf′(x)≤x＋ax＋1，1得a≥ln x－x，令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝－1，[2分]x当0&x&1时，g′(x)&0； 当x&1时，g′(x)&0，[4分]∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1， ∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分](2)证明 由(1)知g(x)＝ln x－x≤g(1)＝－1，∴ln x－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[8分]当0&x&1时，x－1&0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋ln x－x＋1≤0， ∴(x－1)f(x)≥0.当x≥1时，x－1&0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1 ＝ln x＋xln x－x＋111ln ＋1?≥0， ＝ln x－x??xx?∴(x－1)f(x)≥0.[11分] 综上，(x－1)f(x)≥0.[12分] 【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题． 1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值； (4)回到实际问题，作出解答． (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011?皖南模拟)已知曲线C：y＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为
D．22．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
) - 3 - 3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是
() 4．函数f(x)＝－x＋x＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是
B．t&5 C．t≥5
D．t≤5sin xsin xsin x5．(2011?沧州模拟)若函数f(x)＝，且0&x1&x2&1，设a＝b，则a，b的xx1x2大小关系是
B．a&b6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积32 - 4 -的最大值为_____________________________________________________________m3.4x8．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为x＋1________．三、解答题(共38分)19．(12分)已知函数f(x)＝(1＋x)2－ln(1＋x)．2(1)求f(x)的单调区间；1(2)若x∈[－1，e－1]时，f(x)&m恒成立，求m的取值范围．e10．(12分)(2010?湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用3x＋5与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．b11．(14分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的x图象上，且在此点有公共切线．(1)求a、b的值；(2)对任意x&0，试比较f(x)与g(x)的大小．答案
自主梳理1．(1)连续 (2)①极值 ②端点值 自我检测1．B 2.D 3.C 11π?4.??222? 5.6 课堂活动区例1 解题导引 求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．－解 ∵f(x)＝x2eax (a&0)，－－－∴f′(x)＝2xeax＋x2?(－a)eax＝eax(－ax2＋2x)．－令f′(x)&0，即eax(－ax2＋2x)&0，2得0&x&a2∞?上是减函数， ∴f(x)在(－∞，0)，??a? - 5 -包含各类专业文献、生活休闲娱乐、行业资料、应用写作文书、外语学习资料、文学作品欣赏、962016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案15 导数的综合应用等内容。　
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2013走向高考人教A版课件课后作业单元测试1
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46高三数学理科复习46----函数模型及其应用46（1个图）
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