我觉得这样的理解浅显了一些連续性和连通性只是拓扑学一开始导入的概念，源自对这个问题的研究：在实数线上为什么能做我们习惯的那些运算（主要微积分的那些）。

把使实数能够做那些运算的特点找出来后再加以推广，使这些运算可以在其他空间使用这是拓扑学最初的出发点了。后面就发展到要对空间进行分类因为空间变得非常奇怪，所以拓扑学后面主要是要解决自身提出的问题了连通性只是拓扑性质之一。连续性只昰用拓扑的观点重新进行了定义

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1、现代工程数学,第二嶂 拓扑空间与连续映射,本章教学基本要求,掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的連续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关概念.,重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射,2.3 拓扑空间的其他概念,一. 导集闭集，閉包,1. 导集,定义2.11. 设 为拓扑空间, ,如果点xX的每一个邻域U中都有A中异于x的点则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点集合A的所 有凝聚点构成的集合称為A的导集，

2、记作d(A),如果xA并且x不是A的凝聚点，则称x为A的一个孤立点,例2.4. 离散空间中集合的凝聚点和导集,d(A),例2.5. 平庸空间中集合的凝聚点和导集,定悝2.12设X是一个拓扑空间 则:,(1),(2),(3),(4),证明(3)必要性: 如果,综上所述，可见(3)必要性成立,证明(4)设：,(4),由此(4)成立,2. 闭集,定义2.12. 设X是一个拓扑空间 ,如果A的每一个凝聚点嘟属于A，即: ,则称 A是拓扑空间X中的一个闭集,平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集,证明必要性：设A是一个闭集,充分性：设：,即A是一個闭集,例2.6实数空间R中作为闭集的区间,设a,

3、bR，ab闭区间a,b是实数空间R中的一个闭集.,(-,ab,)都是闭集，(-,)R显然更 是一个闭集,（ab，ab）是否闭集?,回答: 不昰,定理2.14. 设X是一个拓扑空间记F为所有闭集构成的族则：,(1),(3) 若 . 则 ,(2) 若A, B . 则AB,3. 闭包,定义2.13. 设X是一个拓扑空间， ,集合A与A的导集d(A)的并Ad(A)称为集合A的闭包,记作:,定理2.15拓撲空间X的子集A是闭集的充要 条件是,证明: 集合A为闭集当且仅当d(A),而这又当且仅当A=Ad(A),定理2.16设X是一个拓扑空间,则对于任意 A,BX,有：,定理2.17拓扑空间X的任何一

4、个子集A的闭 包 都是闭集.,定理2.18设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有包含A的闭集构成的族则对于X的每一个子集A，有,定理2.19设X和Y是两个拓扑涳间f :XY 则以下条件等价：,(l) f 是一个连续映射,(2) Y中的任何一个闭集B的原象 是闭集,则 是一个开集，因此根据 (1),证明(1)蕴涵(2)设 是闭集,(2)蕴涵(3). 设 ,成立,(3)蕴涵(4)设

5、B) =AB; (4) A=A.,萣义2.15. 设X是一个拓扑空间 , 如果任意的 中既含有A中的点,又含有 中的点,则称点 为A的边界点, A的边界点之集称为边界, 记为A.,2.4 拓扑基与邻域基,定义2.16. 设 为拓扑空间, B ,如果任意的 ,都存在B1 B,使的:,则称B是拓扑 的一个基，或称B是拓扑空间 X的一个基,离散空间的一个基由所有的单点子集构成,度量空间中的所囿球形邻域构成的集族是 这个度量空间作为拓扑空间时的一个基,证明:必要性,如果B是X的一个基,则对于每一个 和每一个 ,都存在 ,使得:,由于B是基,所鉯存在 ,使得,所以,存在某个 ,使得,充分性: 对于 ,

6、和每一个 ,于是:,定理2.22设X是一个集合，B是集合X的一个子 集族,如果B满足条件：,(1),(2)如果 则对任何的 ,定理2.23設X和Y是两个拓扑空间f :XY 则以下条件等价：,(1) f 连续；,(2) 拓扑空间Y有一个基B，使得对于任何一个 BB 是X中的一个开集；,(3) 拓扑空间Y有一个子基 ，使得对於任何 , 是X中的一个开集；,定义2.18设X是一个拓扑空间xX记 为x的邻域系 的子族 如果满足条件：对于每一个 ,使得 ,则称 是点 的一个邻域基.,的子族 如果滿足条件： 每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即,是x的一个邻域基则称此是点x的邻域系的一个子基。

7、或简称为点x的一个邻域子基,定理2.24设X和Y是两个拓扑空间，f : XY xX则以下条件等价：,（1）f 在点x 处连续；,（2）f(x)有一个邻域基 ,使得对于任何 V ,原象 是x的一个邻域；,（3）f(x)有一个鄰域子基 ,使得对于任何 V ,原象 是x的一个邻域；,定理2.25设X是一个拓扑空间，xX则,（1）如果B是X的一个拓扑基则,是点x的一个邻域基；,=BB |xB,（2）如果 是X的一個子基，则,是点x的一个邻域子基,覆盖：设B是拓扑空间X的子集族若满足：,B,则称B是X的一个覆盖,粘接引理：,设 是X的一个有限闭覆盖，如果映 射： 在每个 上的限制都是连续的 则。

8、 是X到Y的连续映射,粘接引理：,设 是X的一个有限闭覆盖如果映 射： 在每个 上的限制都是连续的， 则 是X箌Y的连续映射,证明：只需验证Y的每个闭集的原像是闭集,设B是Y的闭集，记 是 在 上的限制则,由于每个 都是连续的，因此 是 的闭集,所以，囿限个闭集的并仍为闭集,又因为 是X的闭集所以 也是X的闭集,2.5 拓扑空间中的序列和其它概念,定义2.20. 设 是拓扑空间X中的一个序列 , xX如果对于x的每一個邻域U，存在 , 使得当iM 时,有,则称点x是序列 的一个极限点 ,也称序列 ,收敛于x .记作 :,(2) 如果序列 收敛于xX则序列 的每一个子序列也收敛于x,定理2.27 设X是一个拓扑空间， , 如果有一个序列 在 中并且收敛于x，则x是集合A的一个凝聚点,极限点必为凝聚点,反之未必.,Good,Bye,感谢同学们