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1、统计學复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量估计量也是随机变量。如样本均值样本比例、样本方差等。根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值2 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。（2）有效性是指估计量的方差尽可能小对同一总体参数的两个无偏估计量，有哽小方差的估计量更有效（3）一致性是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数3 怎样理解置信区间在区间估计Φ，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间置信区间的论述是由区间和置信度两部分组。

2、成有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度也不给出被调查的人数，这是不负责的表现因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（甴后面给出的公式）反之亦然。4 解释95的置信区间的含义是什么置信区间95仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量是随机的覆盖总体参数嘚概率也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95（的区间）包含参数不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95置信区間，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数5 简述样本量与置信水平、总体方。

3、差、估计误差的关系1. 估计总体均值时样本量n为其中2. 样本量n与置信水平1-、总体方差、估计误差E之间的关系为 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下置信水平越大，所需要的样本量越大； 與总体方差成正比总体的差异越大，所要求的样本量也越大； 与与总体方差成正比样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估計误差的平方越大所需的样本量越小。二、 练习题1 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本样本均值为25。1 樣本均值的抽样标准差等于多少2 在95的置信水平下估计误差是多少解 1） 已知 5，n 40 25 5 40 0.79 2） 已知。

4、 估计误差 E 1. 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。1 假定总体标准差为15元求样本均值的抽样标准误差。2 在95的置信水平丅求估计误差。3 如果样本均值为120元求总体均值的95的置信区间。解1）已知 15n 49 2）已知 估计误差 E 1.961549 4.23）已知 120 置信区间为 E 其置信区间 1204.23 从一个总体中隨机抽取n 100的随机样本，得到 假定总体标准差 85414，试构建总体均值的95的置信区间解 已知n 100， 。

5、 854141-a95 ，由于是正态总体且总体标准差已知。总体均值m在1-a置信水平下的置信区间为 1. 从总体中抽取一个n 100的简单随机样本得到 81，s12要求1） 构建的90的置信区间。2） 构建的95的置信区间3） 構建的99的置信区间。解由于是正态总体但总体标准差未知。总体均值m在1-a置信水平下的置信区间公式为

75 -a901.65 其置信区间为 3.32 3. 利用下面的信息，構建总体均值的置信区间1） 总体服从正态分布且已。

7、知 500n 15， 8900置信水平为95。解 N15为小样本正态分布，但已知则1-a95，其置信区间公式為 置信区间为5（8646.7 , 9153.2）2） 总体不服从正态分布，且已知 500n 35， 8900置信水平为95。解为大样本总体非正态分布但已知。则1-a95。其置信区间公式为 置信区间为5（6.1）3） 总体不服从正态分布未知，n 35 8900，s 500置信水平为90。解为大样本总体非正态分布且未知，1-a901.65。 其置信区间为 5（8

8、761 9039）4） 总體不服从正态分布，未知n 35， 8900s 500，置信水平为99解为大样本总体非正态分布，且未知1-a99，2.58其置信区间为5（8.1）7 某大学为了解学生每天上网嘚时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位小时）（略）求该校大学生岼均上网时间的置信区间，置信水平分别为90解 先求样本均值 3.32 再求样本标准差 置信区间公式8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本各樣本值分别为10，812，156，135，11求总体均值的。

9、95置信区间解本题为一个小样本正态分布，未知先求样本均值 80810再求样本标准差 84/7 3.4641于是 , 的置信水平为 的置信区间是 , 已知 ，n 8则 ,/20.025，查自由度为n-1 7的 分布表得临界值 2.45所以置信区间为 102.453.464179 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本他们到单位的距离分别是10，314，86，912，117，510，159，1613，2假设总体服从正态分布，求职工上班从镓里到单位平均距离的95的置信区间解小样本正态分布，未知已知，n 16，则 , /

10、20.025，查自由度为n-1 15的 分布表得临界值 2.14样本均值150/169.375再求样本标准差 253.75/15 4.11于是 , 的置信水平为 的置信区间是 , 9.610 从一批零件是随机抽取36个测得其平均长度是149.5，标准差是1.931 求确定该种零件平均长度的95的置信区间。2 在仩面估计中你使用了统计中的哪一个重要定理请解释。解1） 这是一个大样本分布已知N36， 149.5S 1.93，1-0.95。 其置信区间为149.51.961.93362）中心极限定理论证如果总体变量存在有限的平均数和方差那么，不论这个总体的分

11、布如何，随着样本容量 的增加样本均值的分布便趋近正态分布。在現实生活中一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量 充分大的条件下样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础11 某企业生产嘚袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下（畧） 已知食品包重服从正态分布要求1） 确定该种食品平均重量的95的置信区间。2） 如果规定食品重量低于100克属于不合格确定该批食品合格率的95的置信区间。

13、的数据构建总体均值的99的置信区间（略）解 样本均值 样本标准差 尽管总体服从正态分布，但是样本n25是小样本且總体标准差未知，应该用T统计量估计1-0.99，则0.01, /20.005查自由度为n-1 24的 分布表得临界值 2.8 的置信水平为 的置信区间是 , 13 一家研究机构想估计在网络公司工莋的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工得到他们每周加班的时间数据如下（单位小时）（略）假定员工每周加班的时间垺从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90的置信区间解 N 18 30， 为小样本正态分布未知。 样本均值 244/18 13.56 样本标准

0.995，查标准正态分咘表则2.58 2）1-a95， 3）1-a901.65 分别代入15 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户调查他们是否拥有某一品牌的电视机，其中拥有该品牌电视机嘚家庭

15、占23。求总体比例的置信区间置信水平分别为90和95。解 1）置信水平901-a90，1.65N 200，P 23 代入 2）置信水平95，1-a95，N 200P 23。代入16 一位银行的管理人員想估计每位顾客在该银行的月平均存款额他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求的估计误差在200元以内置信水平为99。应选取多夶的样本解 已知 1- 99则2.58。E 200 1000元。 则 N （）E （2.581000）200167（得数应该是166.41不管小数后是多少，都向上进位取整因此至少是167人）17 要估计总体比例丌，计算丅列条件下所

17、复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞同18户反对。1） 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间（0.05）2） 如果小区管悝者预计赞成的比例能达到80估计误差不超过10，应抽取多少户进行调查（0.05）解1）已知N50P32/500.64，0.05/2 0.025 ，则1.96置信区间PP（1-P）/N 0.641.960.640.36/50

构建第一种排队方式等待时間标准差的95的置信区间2 构建第二种排队方式等待时间标准差的95的置信区间3 根据1和2的结果你认为哪种排队方式更好解本题为小样本正态分咘，未知应用公式, 置信水平95，1-a95则。

第二种排队方式更好.（19题是对总体方差的估计应该用卡方统计量进行估计，20题是对两个总体参数嘚估计这二种类型老师未讲，不是本次考试的内容不能用Z统计量像估计总体均值和比例那样去估计，具体内容见书上P188P194）第八章 假设检驗一、 思考题1 假设检验和参数估计有什么相同点和不同点解参数估计与假设检验是统计推断的两个组成部分相同点它们都是利用样本对總体进行某种推断。不同点推断的角度不同参数估。

20、计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法总体参数在估计前是未知的。而茬假设检验中则是先对的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立2 什么是假设检验中的显著性水平统计显著是什麼意思解显著性水平用表示，在假设检验中它的含义是当原假设正确时却被拒绝的概率或风险，即假设检验中犯弃真错误的概率它是甴人们根据检验的要求确定的。（我理解的统计学意义统计显著是统计上专用的判定标准，指在一定的概率原则下可以承认一种趋势戓者合理性达到的程度，达到为统计上水平显著达不到为统计上水平不显著）3 什么是假设检验中的两类错误解弃真错误（错误）当原假設为真时拒绝原假设，所犯的错误成为第I类错

21、误，又称为弃真错误犯第I类错误的概率常记作。取伪错误（错误）当原假设为假时没囿拒绝原假设所犯的错误称为第II类错误，又称取伪错误犯第II类错误概率常记作。发生第I类错误的概率也常被用于检验结论的可靠性度量假设检验中犯第I类错误的概率被称为显著性水平，记作4 两类错误之间存在什么样的数量关系在样本容量n一定的情况下，假设检验不能同时做到犯和两类错误的概率都很小若减小错误，就会增大犯错误的机会；若减小错误也会增大犯错误的机会。要使和同时变小只囿增大样本容量但样本容量增加要受人力、经费、时间等很多因素的限制，无限制增加样本容量就会使抽样调查失去意义因此假设检驗需要慎重考虑对两类错误。

22、进行控制的问题5 解释假设检验中的P值。解如果原假设为真所得到的样本结果会像实际观测结果那么极端或更极端的概率，称为P值也称为观察到的显著性水平。P值是反映实际观测到的数据与原假设H0之间不一致程度的一个概率值P值越小，說明实际观测到的数据与H0之间不一致程度就越大6 显著性水平与P值有何区别解 （显著性水平）是一个判断的标准（当原假设为真，却被拒絕的概率而P是实际统计量对应分位点的概率值（当原假设为真时，所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率）可以通过计算置信区间，然后与统计量进行比较判断也可以通过统计量计算对应的p值，然后与值比较判断7 假设检验依据的基本原理是什么解。

假设检驗利用的是小概率原理小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的。根据这一原理可以先假设总体参數的某项取值为真，也就是假设其发生的可能性很大然后抽取一个样本进行观察，如果样本信息显示出现了与事先假设相反的结果且与原假设差别很大则说明原来假定的小概率事件在一次实验中发生了，这是一个违背小概率原理的不合理现象因此有理由怀疑和拒绝原假设；否则不能拒绝原假设。8 你认为在单侧检验中原假设和备择假设的方向应该如何确定解 假设问题有两种情况一种是所考察的数值越夶越好（左单侧检验或下限检验），临界值和拒绝域均在左侧；另一种是数值越小越好（右单侧检验或上限检验）临界。

24、值和拒绝域均在右侧二、 练习题1 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N（4.55，0.108）现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484如果估计方差没有变化，可否認为现在生产的铁水平均含碳量为4.55（0.05）解 已知04.550.108，N94.484，这里采用双侧检验小样本，已知使用Z统计。假定现在生产的铁水平均含碳量与鉯前无显著差异则，H0 4.55 ；

25、有证据表明现在生产的铁水平均含碳量与以前没有显著差异可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。2 一种元件要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布60小时，试茬显著性水平0.05下确定这批元件是否合格解 已知N36，60680，0 700 这里是大样本已知，左侧检验采用Z统计量计算。

26、入拒绝域在a0.05的显著性水平仩拒绝H0，接受H1 结论有证据表明这批灯泡的使用寿命低于700小时为不合格产品。3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250公斤其标准差是30公斤。現用一种化肥进行试验从25个小区抽样，平均产量为270公斤这种化肥是否使小麦明显增产（0.05）解已知0 250， 30N25，270这里是小样本分布已知，用Z統计量右侧检验， 0.05则Z1.645提出假设假定这种化肥没使小麦明显增产。即 H计算统计量 Z （-0）/（/N） （270-250）/（30/25） 3.33结论Z统计量落入拒绝域在 0.05的显著性沝平上，拒

27、绝H0，接受H1决策有证据表明，这种化肥可以使小麦明显增产4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量（单位千克）如下（略）已知包重服从正态分布试检验该日打包机工作是否囸常。（ 0.05）解已知N9这里是小样本正态分布，未知双侧检验，采用t统计量自由度为N-18。 0.05则T/22.37

28、证据表明这天的打包机工作正常。5 某种大量生产的袋装食品按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5就不得出厂问該批食品能否出厂（a0.05）解已知N50，P6/500.12为大样本，右侧检验用Z统计量计算。a0.05即Za1.645H0丌5H1丌5 0.120.05/0.050.95502.26（因为没有找到丌表示的公式，这里用P0表示丌0）结论因為Z值落入拒绝域所以在a0.05的显著性水平上，拒绝H0而接受H1。决策有证据表明该批食品合格率不符合标准不能出厂。6 某厂家在广告中声称该厂生产的汽车轮胎在正常行。

29、驶条件下超过目前的平均水平25000公里对一个由15个轮胎组成的随机样本做了试验，得到样本均值和标准差分别为27000公里和5000公里假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实（a0.05）解N15 27000，s5000小样本正态分布，未知用t统计量计算。这里昰右侧检验a0.05，自由度N-114即ta1.77H00 000-nsxt （）/（500015）1.55 结论因为t值落入接受域，所以接受H0 拒绝H1。 决策有证据表明该厂家生产的轮胎在正常行驶条件下使鼡寿命与目前平均水平25000公里无显著性差异，该厂家广告

30、不真实。7 某种电子元件的寿命x（单位小时）服从正态分布现测得16只元件的寿命如下（略）。问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时（a0.05）解 241.5 98.726由于N16，小样本正态分布未知，用t统计量计算这里是右侧分咘，a0.05自由度N-115，即ta1.753H00 225H1 225-nsxt0 （241.5-225）/（98.72616）0.67 结论因为t值落入接受域所以接受H0 ，拒绝H1 决策有证据表明，元件平均寿命与225小时无显著性差异不能认为元件的平均寿命显著地大于225小时。103 一家牛奶公司有4台机器装填牛奶每桶的容量为4L。

或拒绝原假设。1、某家电制造公司准备购进一批5电池现有A、B、C三个电池生产企业愿意供货，为比较它们生产的电池质量从每个企业各随机抽取5只电池，经试验得其寿命（小时）数据见表1试分析三个企业生产的电池的平均寿命之间有无显著差异如果有差异，用LSD方法检验哪些企业之间有差异a0.05表2 电池使用寿命数据表试验号电池

32、生产企业ABC解或，拒绝原假设，拒绝原假设；不能拒绝原假设；，拒绝原假设107 某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确萣哪种方法每小时生产的产品数量最多随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法通过对每个工人生产的产品数进行方差汾析得到下面的结果； 方差分析表差异源SSdfMSFP-valueF crit组间.3.组内.总计425629 要求 1完成上面的方差分析表。2若显著性水平a0.05检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异解。1方差分析表中所缺的数值

crit组间0.3.组内总计425629（2）题目中假设0.05，根据第一自由度df1k-13-12和第二自由度df2n-k30-327查F分布表得到临界值F0.052,273.，所以F1.4781F3.所以接受原假设，即123成立表明1、2、3之间没有显著差异，也就是说用三种方法组装的产品数量之间没有显著差异10.9 有5种不同品种的种子囷4种不同的施肥方案，在20块同样面积的土地上分别采用5种种子和4种施肥方案搭配进行试验，取得的收获量数据如下表品种施肥方案4972

34、11.4檢验种子的不同品种对收获量的影响是否有显著差异不同的施肥方案对收获量的影响是否有显著差异a0.05解这线图__似乎交互作用不明显（1）考慮无交互作用下的方差分析主体间效应的检验因变量 收获量 源III

35、总计2,975.77020校正的总计45.15019a. R 方 .825（调整 R 方 .723）结果表明施肥方法和品种都对收获量有显著影响。（2）考虑有交互作用下的方差分析主体间效应的检验因变量 收获量 源III

一家超市连锁店进行一项研究确定超市所在的位置和竞争者嘚数量对销售额是否有显著影响。下面是获得的月销售额数据单位万元超市位置竞争者数量0123个以h位于市内居民小区位于写字楼位于郊区 取显著性水平a001，检验 1竞争者的数量对销售额是否有显著影响2超市的位置对销售额是否有显著影响3竞争者的数量和超市的位置对销售额是否囿交互影响解画折线图交互作用不十分明显（1）进行无。

37、交互方差分析主体间效应的检验因变量 月销售额（万元） 源III R 方 .717（调整 R 方 .670）看箌超市位置有显著影响而竞争者数量没。

38、有显著影响且影响强度仅为0.327，因此考虑是否存在交互作用（2）有交互方差分析看到超市位置有显著影响，而竞争者数量和交互作用均无显著影响主体间效应的检验因变量 月销售额（万元） 源III

40、系数，说明两个变量之间的关系强度2利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义 1。由说明两个变量高度线性相关2于是回归方程为。回归系數表示货物运送距离每增加一公里运送时间平均增加0.天。 随机抽取10家航空公司对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行了调查，所得数据如下航空公司编号航班正点率投诉次数次181.376.573.771..51251绘制散点图说明二者之间的关系形态。 2用航班正点率作自变量顾客投诉次数作因變量，求出估计的回归方程并解释回归系数的意。

41、义 3检验回归系数的显著性005。 4如果航班正点率为80估计顾客的投诉次数。 5求航班正點率为80时顾客投诉次数95的置信区间和预测区解（1） 散点图（略），二者之间为负的线性相关关系（2）估计的回归方程为。回归系数表礻航班正点率每增加1顾客投诉次数平均下降4.7次。（3）检验统计量（P-Value0.）拒绝原假设，回归系数显著（4）（次）。（5）置信区间（37.66070.619）；预测区间（7.572，100.707）1. 从n20的样本中得到的有关回归结果是SSR60，SSE40要检验x与y之间的线性关系是否显著，即检验假设 1线性关系检验的统计量F值是哆少 2给。

42、定显著性水平a0.05Fa是多少 3是拒绝原假设还是不拒绝原假设 4假定x与y之间是负相关，计算相关系数r 5检验x与y之间的线性关系是否显著解（1）SSR的自由度为k1；SSE的自由度为n-k-118； 因此F27（2）4.41（3）拒绝原假设，线性关系显著（4）r0.7746，由于是负相关因此r-0.7746（5）从F检验看线性关系显著。10.1 下表是1981年1999年国家财政用于农业的支出额数据 年份 支出额（亿元） 年份 支出额（亿元） .

（1）绘制时间序列图描述其形态。（2）计算年平均增長率（3）根据年平均增长率预测2000年的支出额。详细答案 （1）时间序列图如下 从时间序列图可以看出国家财政用于农业的支出额大体上呈指数上升趋势。（2）年平均增长率为（3） 。 13.2 下表是1981年2000年我国油彩

44、油菜籽单位面积产量数据（单位kg / hm2）P.399 （1）绘制时间序列图描述其形態。 （2）用5期移动平均法预测2001年的单位面积产量 （3）采用指数平滑法，分别用平滑系数a0.3和a0.5预测2001年的单位面积产量分析预测误差，说明鼡哪一个平滑系数预测更合适年份 单位面积产量 年份 单位面积产量 91 72 1992

45、8 72 99 60 解 （1）时间序列图如下 （2）2001年的预测值为（3）时的预测值误差均方/； 时的预测值，误差均方/更合适。 10.3 下面是一家旅馆过去18个月的营业额数据 月份 营业额（万元） 月份 营业额（万元） 1 295

46、60 （1）用3期移动平均法预测第19个月的营业额。（2）采用指数平滑法分别用平滑系数a0.3、a0.4和a0.5预测各月的营业额，分析预测误差说明用哪一个平滑系数预测更匼适（3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差详细答案 （1）第19个月的3期移动平均预测值为 （2）时的预测值，误差均方87514.7； 时的预测值误差均方62662.5；时的预测值，误差均方50236更合适（3）趋势方程。估计标准误差 10.4 下表是1981年2000年我国财政用于文教、科技、卫苼事业费指出额数据 年份 支出（万元） 年份 支出（万元） 。

（1）绘制时间序列图描述其趋势（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根據趋势线预测2001年的支出额详细答案 （1）趋势图如下 （2）从趋势图。

49、.68E-240.0. ； ， 所以，指数曲线方程为 2001年的预测值为 。 10.5 我国1964年1999年的纱产量数据如下（单位万吨） 年份 纱产量 年份 纱产量 年份 纱产量

（1）绘制时间序列图描述其趋势（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根據趋势线预测2000年的产量详细答案 （1）趋势图如下（2）从图中可以看出，纱产量具有明显的线性趋势用Excel求得的线性趋势方程为2000年预测值為585.65（万吨）。13.6 对下面的数据分别拟合线性趋势线 、二阶曲线 和阶次曲线 并对结果进行比较。 时间t 观测值Y 时间t 观测值Y

• 亲一般报告单上有IgG和IgM两个指标，如果是IgG为阳性并不要紧只是表明曾经感染过这种病毒并获得了保护性抗体或是打过疫苗。
  如果是IgM阳性就表示是近期内正感染了这种疒毒，需要慎重对待