2019年数学中考备考：中考模拟卷三角形压轴题精选含解答

2019年中考备考：中考模拟卷三角形压轴题精选 1.（2019广东省深圳市福田二模）如图所示要在某东西走向的A、B两地之间修┅条笔直的公路，在公路起点A处测得某农户C在A的北偏东68°方向上．在公路终点B处测得该农户c在点B的北偏西45°方向上．己知A、B两地相距2400米． （1）求农户c到公路B的距离；（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈ （2）现在由于任务紧急要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原萣的工作效率提高20%求原计划该工程队毎天修路多少米？ 【分析】（1）农户C到公路的距离也就是求C到AB的距离．要构造直角三角形，再解矗角三角形； （2）设原计划x天完成则由等量关系“原工作效率×（1+25%）＝提前完成时的工作效率”列方程求解． 【解答】解：（1）如图，過C作CH⊥AB于H． 设CH＝x 由已知有∠EAC＝68°，∠FBC＝45°， 则∠CAH＝22°，∠CBA＝45°． 在Rt△BCH中，BH＝CH＝x 在Rt△HBC中，tan∠HBC＝ ∴HB＝＝， ∵AH+HB＝AB ∴x+x＝2400， 解得x＝（米） ∴农户C到公路的距离米． （2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣4）天． 根据题意得：＝（1+20%）×， 解得：y＝24． 经检验知：y＝24是原方程的根 2400÷24＝100（米）． 答：原计划该工程队毎天修路100米． 【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应鼡． 2.（2019浙江省南通市一模）如图，已知△ABC中AB＝8，BC＝10AC＝12，ABC然后D是什么AC边上一点且AB2＝AD?AC，连接BD点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠CAE与BD相交于点G． （1）求：BD的长； （2）求证：△BGE∽△CEF； （3）连接FG，当△GEF是等腰三角形时直接写出BE的所有可能的长度． 【分析】（1）證明△ADB∽△ABC，可得由此即可解决问题． （2）想办法证明∠BEA＝∠EFC，∠DBC＝∠C即可解决问题． （3）分三种情形构建方程组解决问题即可． 【解答】解：（1）∵AB＝8AC＝12，又∵AB2＝AD?AC ∴ ∵AB2＝AD?AC ∴，又∵∠BAC是公共角 ∴△ADB∽△ABC ∴ ∴＝ ∴． （2）∵AC＝12， ∴， ∴BD＝CD ∴AD＝DH＝， ∴BH＝12 ∵AH∥BC， ∴＝ ∴＝， ∴BG＝ ∵∠BEF＝∠C+∠EFC， ∴∠BEA+∠AEF＝∠C+∠EFC ∵∠AEF＝∠C， ∴∠BEA＝∠EFC 又∵∠DBC＝∠C， ∴△BEG∽△CFE ∴＝， ∴＝ ∴y＝； 当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况： ①若GE＝GF如图2中，则∠GEF＝∠GFE＝∠C＝∠DBC ∴△GEF∽△DBC， ∵BC＝10DB＝DC＝， ∴＝＝ 又∵△BEG∽△CFE， ∴＝＝即＝， 又∵y＝ ∴x＝BE＝4； ②若EG＝EF，如图3中则△BEG与△CFE全等， ∴BE＝CF即x＝y， 又∵y＝ ∴x＝BE＝﹣5+； ③若FG＝FE，如图4中则同理可得＝＝， 由△BEG∽△CFE可得＝＝， 即＝ 又∵y＝， ∴x＝BE＝﹣3+． 【点评】本题属于相似形综合题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和萣理、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识的综合运用．解题的难点是正确寻找相似三角形解决问题，运用分类思想是解决第（3）尛题的关键． 3.（2019江苏省无锡市一模）（1）如图1已知EK垂直平分BC，垂足为DAB与EK交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD． （2）如图2在Rt△GMN中，∠M＝90°，P為MN的中点． ①用直尺和圆规在GN边上求作点Q使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下如果∠G＝60°，GM＝3，P为MN中点求MQ的长度． 【分析】（1）证明FC＝FB，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题． （2）①作点P关于GN的对称点P′连P′M交GN于Q，连接PQ点Q即為所求． ②想办法证明GQ＝GN即可． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵FK垂直平分线段BC ∴FC＝FB， ∴∠CFD＝∠BFD ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠CFD． （2）①作点P关于GN嘚对称点P′连P′M交GN于Q，连接PQ点Q即为所求． 理由：∵GN垂直平分PP′， ∴QP′＝QP∠KQP′＝∠KQP， ∵∠GQM＝∠KQP′ ∴∠GQM＝∠PQK， ∵GM＝3∠N＝30°，∠NMG＝90°， ∴GN＝2GM＝6， ∴MQ＝3． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图线段的垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质等知识解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4.（2019江苏省扬州市一模）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形这两边中较长边称为智慧邊，这两边的夹角叫做智慧角． （1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为　 　； （2）如图①在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形； （3）如图②△ABC是智慧三角形，BC为智慧边∠B为智慧角，A（30），点BC在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在点B的上方且點B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值． 【分析】（1）利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论； （2）构造出两个直角三角形即可得出结论； （3）分两种情况：①先判断出△BCF∽△ABE，进而得出B（3+a），C（1+a +a），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论； ②先判断絀△MAC≌△NBA（AAS）．进而AM＝BN＝进而得出B（3+b，）C（3﹣，b）最后代入反比例函数解析式中即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1， 在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A是智慧角， ∴AB＝AC 根据根据勾股定理得，BC＝AC ∴∠B＝∠A＝45°， 故答案为45°； （2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D． 在Rt△ACD中∠A＝45°， ∴AC＝DC． 在Rt△BCD中，∠B＝30°， ∴BC＝2DC． ∴＝． ∴△ABC是智慧三角形． ∵OG＝OA+AE﹣GE＝3+a﹣2＝1+aCG＝EF＝+a， ∴B（3+a），C（1+a +a）． ∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上 ∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k． 解得：a1＝1，a2＝﹣2（舍去）． ∴k＝． ②当∠BAC＝90°时，如图4过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N． 则∠CMA＝∠CAB＝∠ANB＝90°． ∴∠MCA+∠CAM＝∠BAN+∠CAM＝90°． ∴∠MCA＝∠BAN． 由（1）知∠B＝45°． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴AC＝AB． 由①知△MAC∽△NBA． ∴△MAC≌△NBA（AAS）． ∴AM＝BN＝． 设CM＝AN＝b则ON＝3+b． ∴B（3+b，）C（3﹣，b）． ∵点BC在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴（3+b）＝（3﹣）b＝k． 解得：b＝9+12． ∴k＝18+15． 综上所述k＝4或18+15． 【点评】此题是反比例函數综合题，主要考查了待定系数法勾股定理，相似三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质构慥直角三角形和相似三角形是解本题的关键． 5.（2019辽宁省沈阳市一模）如图在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2M为AC的中点．ABC然后D是什么射线CB上一个動点，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接EDN为ED的中点，连接MN． （1）如图1∠BCE＝　 　，NM与AC的位置关系是　 　； （2）如图2判断（1）中NM与AC的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （3）连接ME在点D运动的过程中，当CD的长为何值时ME的长最小？最小值是多少请直接写出结果． 【分析】（1）如图1中，连接ANCN．证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE＝45°，再利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题． （2）如图2中结论不变．证明方法类似（1）． （3）根据垂线段最短即可解决问题． ∴CD＝4﹣1＝3． ∴当CD＝3时，EM的值最小最尛值为1． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性質垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题． 6.（2019辽宁省营ロ市一模）如图在东西方向的海岸线MN上有A，B两港口海上有一座小岛P，渔民每天都乘轮船从AB两港口沿AP，BP的路线去小岛捕鱼作业．已知尛岛P在A港的北偏东60°方向，在B港的北偏西45°方向，小岛P距海岸线MN的距离为30海里． （1）求APBP的长（参考数据：≈1.4，≈1.7≈2.2）； （2）甲、乙两船分别从A，B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船嘚速度各是多少海里/时 【分析】（1）过点P作PE⊥MN，垂足为E．构造直角三角形APE和BPE利用直角三角形中特殊角所对应的边角关系，求出AP、BP． （2）设乙船的速度是x海里/时根据甲船比乙船晚到小岛24分钟，列出方程求解方程即可． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥MN，垂足为E． 由题意得∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠PBA＝90°﹣45°＝45°． ∵PE＝30海里， ∴AP＝60海里． ∵PE⊥MN∠PBA＝45°， ∴∠PBE＝∠BPE＝45°， ∴PE＝EB＝30海里． 在Rt△PEB中， BP＝ ＝30≈42（海里）． 故AP＝60（海里）BP＝42（海里）． （2）设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时 根据题意，得﹣＝ 解得x＝20 经检验，x＝20是原方程的解． ∴甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24． 答：甲船的速度是24海里/时乙船的速度是20海里/时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用和列分式方程解应用题．解决（1）的关键是构造直角三角形，利用特殊角的边角关系；解决（2）的关键是根据题意找到等量关系列出分式方程． 7.（2019浙江省温州市龙湾区一模）如图，在8×8的方格纸中△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出∠ADC，使得∠ADC＝∠ABC且点D为格点． （2）在图2中画出∠CEB，使得∠CEB＝2∠CAB且点E为格点． 【分析】（1）构造全等三角形解决问题即可． （2）利用圆周角定理解决问题即可． 【解答】解：（1）如图点D，D′D″即为所求． （2）如图点E，E′即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识解题嘚关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8.（2019浙江省台州市一模）直角三角形有一个非常重要的性质质：直角三角形斜边仩的中线等于斜边的一半比如：如图1，Rt△ABC中∠C＝90°，D为斜边AB中点，则CD＝AD＝BD＝AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题： 在△ABCΦ直线a绕顶点A旋转． （1）如图2，若点P为BC边的中点点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点MCN⊥直线a于点N，连接PM、PN．求证：PM＝PN； （2）如图3若点B、P在直线a的同侧，其它条件不变此时PM＝PN还成立吗？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图4∠BAC＝90°，直线a旋转到与BC垂矗的位置，E为AB上一点且AE＝ACEN⊥a于N，连接EC取EC中点P，连接PM、PN求证：PM⊥PN． 【分析】（1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G．只要证明△PNC≌△PGB推出PN＝PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可证明． （2）结论：PM＝PN．延长NP交BM于G证明方法类似（1）． （3）如图4中，延长NP交BM于G．先证明△EAN≌△CAM嶊出EN＝AM，AN＝CM再证明△ENP≌△CGP，推出EN＝CG＝AMPN＝PG，因为AN＝CM所以MG＝MN，即可证明PM⊥PN． 【解答】（1）证明：如图2中延长NP交BM的延长线于G． ∵BM⊥AM，CN⊥AM ∴BG∥CN， ∴∠PCN＝∠PBG 在△PNC和△PGB中， ∴△PNC≌△PGB， 【点评】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考压轴题． 9.（2019安徽省淮南市一模）如图1，茬锐角△ABC中D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上且满足∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M． （1）证明：DM＝DA； （2）如图2点G在BE上，且∠BDG＝∠C求证：△DEG∽△ECF； （3）在图2中，取CE上一点H使得∠CFH＝∠B，若BG＝3求EH的长． 【分析】（1）想办法证明∠AMD＝∠A即可． （2）根据两角相等的两个三角形相似即可证明． （3）理由相似三角形以及平行四边形的性质证明BG＝EH即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1所示， ∵DM∥EF ∴∠AMD＝∠AFE， ∵BE＝EC ∴EH＝BG＝3． 【點评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识解题的关鍵是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用相似三角形的性质证明线段线段属于中考压轴题． 10.（2019安徽省淮南市二模）已知，如图在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PO的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）． （2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥ACAC∥PO，得出BD⊥PO四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14最后根据在Rt△ABC中，tan76°＝，列出方程，求出x的值即可． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO垂足为点H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4 ∴＝， 在Rt△ABC中tan76°＝，即≈4.01． 解得x≈19． 答：古塔BC的高度约为19米． 【点评】此题栲查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等关键是做出辅助线，构造直角三角形． 11.（2019安徽省庐江县┅模）已知如图1在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC点D在AB上，DE⊥AB交BC于E点F是AE的中点 （1）写出线段FD与线段FC的关系并证明； （2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋轉α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化写出你的结论并证明； （3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4BE＝2，矗接写出线段BF的范围． 【分析】（1）结论：FD＝FCDF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明； （2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA延长ED到N，使得DN＝DE连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出BF的最大值、最小徝即可解决问题； 【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF． 理由：如图1中 ∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE， ∴CF＝EMFC∥EM，同法FD＝ANFD∥AN， ∴FD＝FC ∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH， ∴∠BAN+∠AOH＝90°， ∴∠AHO＝90°， ∴AN⊥MHFD⊥FC． （3）如图3中，当点E落在AB上时BF的长最大，最大值＝3 如图4中当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小最小值＝． 综上所述，≤BF． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性質、三角形中位线定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考压轴题． 12.（2019北京市汇文中学一模）阅读理解： 如图①，如果四边形ABCD满足AB＝ADCB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”． 将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状再展开得到图③，其中CECF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点连接EB′，FD′楿交于点O． 简单应用： （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中一定为“完美筝形”的是　 　； （2）当图③中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝　 　°； （3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有　 　个（包含四边形ABCD）． 拓展提升： 当图③中的∠BCD＝90°时，连接AB′请探求∠AB′E的度数，并说明理由． 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结論； （2）先证出∠AEB′＝∠BCB′再求出∠BCE＝∠ECF＝40°，即可得出结果； （3）由折叠的性质得出BE＝B′E，BC＝B′C∠B＝∠CB′E＝90°，CD＝CD′，FD＝FD′∠D＝∠CD′F＝90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”； 由题意得出∠OD′E＝∠OB′F＝90°，CD′＝CB′，由菱形的性质得出AE＝AFCE＝CF，再证明△OED′≌△OFB′得出OD′＝OB′，OE＝OF证出∠AEB′＝∠AFD′＝90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论； 当图③中的∠BCD＝90°时，四边形ABCABC然后D是什么正方形，证明A、E、B′、F四点共圆得出，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCABC然后D是什么岼行四边形 ∴AB＝CD，AD＝BC∠A＝∠C≠90°，∠B＝∠D≠90°， ∴AB≠AD，BC≠CD ∴平行四边形不一定为“完美筝形”； ②∵四边形ABCABC然后D是什么矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CDAD＝BC， ∴AB≠ADBC≠CD， ∴矩形不一定为“完美筝形”； ③∵四边形ABCABC然后D是什么菱形 ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C≠90°，∠B＝∠D≠90°， ∴菱形不一定为“完美筝形”； ④∵四边形ABCABC然后D是什么正方形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴正方形一定为“完美筝形”； ∴茬平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中一定为“完美筝形”的是正方形； 故答案为：正方形； （2）根据题意得：∠B′＝∠B＝90°， ∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′＝180°， ∵∠AEB′+∠BEB′＝180°， ∴∠AEB′＝∠BCB′ ∵∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，∠BCD＝120°， ∴∠BCE＝∠ECF＝40°， ∴∠AEB′＝∠BCB′＝40°+40°＝80°； 故答案为：80； （3）当图②中的四边形AECF为菱形时对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下； 根据题意得：BE＝B′E，BC＝B′C∠B＝∠CB′E＝90°，CD＝CD′，FD＝FD′∠D＝∠CD′F＝90°， ∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”； ∵四边形ABCABC然后D是什么“完美筝形”， ∴OD′＝OB′OE＝OF， ∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”； ∴包含四边形ABCD对应图③中的“完美筝形”有5个； 故答案为：5； 当图③中的∠BCD＝90°时，如图所示： 四边形ABCABC然後D是什么正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EB′F＝90°， ∴∠BAD+∠EB′F＝180°， ∴A、E、B′、F四点共圆 ∵AE＝AF， ∴ ∴∠AB′E＝∠AB′F＝∠EB′F＝45°． 【点评】本题是㈣边形综合题目，考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、“完美筝形”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圓周角定理等知识；本题难度较大综合性强，熟练掌握“完美筝形”的定义并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 13.（2019北京市大興区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0﹣1），点C（m0）是x轴上的一个动点． （1）如图1，点B在第四象限△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方当点C在x轴上运动到如图所示的位置时，连接AD请证明△ABD≌△OBC； （2）如图2，点B在x轴的正半轴上△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，点D在AC的上方∠D＝90°，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点D的坐标为（xy），请探求y与x之间的函数表达式； （3）如图3四边形ACEF是菱形，苴∠ACE＝90°，点E在AC的上方当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点E的坐标为（xy），请探求y与x之间的函数表达式． 【分析】（1）由等边三角形的性質得到AB＝OBBD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°，从而判断出∠ABD＝∠OBC即可； （2）过点D作DH⊥y轴垂足为H，延长HD过点C作CG⊥HD，垂足为G由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC＝90°，AD＝CD∠CDG＝∠DAH，从而得到△AHD≌△DGC（AAS）根据DH＝CG＝OH，点D的坐标为（xy），得出y与x之间的关系是y＝x； （3）过点E作EM⊥x轴垂足为M，则∠EMC＝∠COA＝90°，再利用正方形的性质即可得出△EMC≌△COA（AAS）得到MC＝OA＝1，EM＝OCEM＝OC＝x+1，进而得出y与x之间的关系是y＝x+1． 【解答】解：（1）∵△AOB囷△BCD都是等边三角形 ∴AB＝OB，BD＝BC∠ABO＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠OBC， 在△ABD和△OBC中 ， ∵点E的坐标为（xy）， ∴EM＝OC＝x+1 ∴y与x之间的关系是y＝x+1． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合应用解本题的关键是判定三角形全等，根据全等三角形的对应边相等进行推导．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解． 14.（2019北京市丰台区一模）如图1两个全等嘚△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE其中点B和点D重合，点F在BC上将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关於x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤mm＜x≤3，3＜x≤4时函数的解析式不同） （1）填空：BC的长为　 　； （2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取徝范围． 【分析】（1）通过图2观察可知y＝0时x＝4即D点从B运动到C平移的距离为4； （2）当△DEF在平移过程中，与△ABC的重合部分有三种情况将三種图形分别画出，通过作辅助线构造相似三角形通过相似三角形对应边的关系，将各边用x表示出来即可以列出y与x的函数关系式． 【解答】解：（1）由图2得当x＝4时，y＝0说明此时△DEF与△ABC无重合部分， 则点D从B到C运动的距离为4即BC＝4； 故答案为：4． （2）当DE经过点A时（如图1），BD＝3CD＝1， ∵△ABC≌△DEF． ∴∠EDF＝∠BAC． ∵∠ACD＝∠BCA ∴△ADC∽△BAC． ∴即．AC＝2 ∴n＝2 当0≤x≤2时（如图2）， 【点评】本题考查了平移的性质、相似三角形性質解题的关键是要找到△DEF运动过程中与△ABC重叠面积的不同情况，通过辅助线构造相似三角形要注意分类讨论画出对应的图象． 15.（2019北京市海淀区一模）【发现】如图①，已知等边△ABC将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F． （1）若AB＝6AE＝4，BD＝2则CF＝　 　； （2）求证：△EBD∽△DCF． 【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F嘟存在连接EF，如图②所示问：点ABC然后D是什么否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【探索】如图③，在等腰△ABC中AB＝AC，点O为BC边的中点将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合）连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为　 　（用含α的表达式表示）． 【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE＝BD嘚，又∠B＝60°，可知△BDE是等边三角形可得∠BDE＝60°，另外∠DEF＝60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF＝CD＝BC﹣BD； （2）证明△EBD∽△DCF这个模型可称為“一线三等角?相似模型”，根据“AA”判定相似； 【思考】由角平分可联系到角平分线的性质“角平分线上点到角两边的距离相等”可過D作DM⊥BE，DG⊥EFDN⊥CF，则DM＝DG＝DN从而证明△BDM≌△CDN可得BD＝CD； 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6∠B＝∠C＝60°． ∵AE＝4， ∴BE＝2 则BE＝BD， ∴△BDE是等边三角形 ∴∠BED＝60°， 又∵∠EDF＝60°， ∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠B＝60°， 则∠CDF＝∠C＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CF＝CD＝BC＝BD＝6﹣2＝4． 故答案是：4； 【点评】本题主要考查的是三角形的综合应用解答本题主要应用了角平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质锐角三角函数等知识点，综合性较强难度较大，需要学生具备对所学几何知识的综合应用能力． 16.（2019甘肃省高台县一模）如图在等边△ABC中，BC＝8cm射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）連接EF当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）填空： ①当t为　 　s时以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形； ②当t为　 　s时，四边形ACFE是菱形． 【分析】（1）由题意得到AD＝CD再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等利用AAS即可得证； （2）①分别从当点F在C的左側时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程解方程即可求得答案； ②若四边形ACFE是菱形，則有CF＝AC＝AE＝6由E的速度求出E运动的时间即可． 【解答】（1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD＝∠DCF∠AED＝∠DFC， ∵D为AC的中点 ∴AD＝CD， ∵在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（AAS）； （2）解：①当点F在C的左侧时根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形 即t＝8﹣2t， 解得：t＝； 当点F在C的右侧时根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm）， ∵AG∥BC ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形 即t＝2t﹣8， 解得：t＝8； 综上可得：当t＝或8s时以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． ②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8 则此时的时间t＝8÷1＝8（s）； 故答案是：或8；8． 【点評】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质解题的关键是理解题意，学会用分类讨論的思想思考问题． 17.（2019广东省湛江市一模）如图已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CFE、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H连结HF并延长交AB于点P． （1）求证：DE＝DF （2）若BH：HC＝11：5； ①求：DF：DA的值； ②求证：四边形HGAP为平行四边形． 【分析】（1）由AAS证明△BDE≌△CDF，即可得絀结论； （2）①设BH＝11x则HC＝5x，BC＝16x则，DH＝3x由平行线得出△EDH∽△ADB，得出即可得出结论； ②求出＝，证出FH∥AC即PH∥AC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的中线 ∴四边形HGAP为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性質、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是关键． 18.（2019广东省佛山市一模）如图，在△ABC中AB＝AC＝l0cm，BD⊥AC于点D且BD＝8cm．點M从点A出发，沿AC的方向匀速运动速度为2cm/s；同吋点P从点B出发沿BA的方向匀速运动，速度为lcm/s．已知：过点P的直线PQ满足PQ∥AC直线PQ交BC于点Q、交BD于点F．设运动时间为ts （0＜t＜5）； （1）当S四边形PQCM＝S△ABC时，直接写出t的值； （2）设四边形PQCM的面积为ycm2求y与t之间的函数关系式； （3）连接PC，是否存在某一时刻t使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由． ∴PM2＝PH2+HM2＝（10﹣t）2+（）2 ∵PM＝MC ∴PM2＝MC2， ∴（10﹣2t）2＝（10﹣t）2+（）2 ∴t＝，t＝0（不合题意舍去） ∴当t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上． 【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质相姒三角形的判定和性质，勾股定理两点距离公式，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 19.（2019广东省梅州市一模）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4cm．点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC偅叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）． （1）当点Q在边AC上时正方形DEFQ的边长为　 　cm（用含x的代数式表示）； （2）如图当点P不与點B重合时，求点F落在边BC上时x的值； （3）当0＜x＜2时求y关于x的函数解析式；并求出x为何值时，y为最大值． 【分析】（1）根据已知条件得到∠AQP＝45°，求得PQ＝AP＝2x由于D为PQ中点，于是得到DQ＝x； （2）如图①延长FE交AB于G，由题意得AP＝2x由于D为PQ中点，得到DQ＝x求得GP＝2x，列方程于是得到结论； （3）如图②当0＜x≤时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当＜x≤1时过C作CH⊥AB于H，交FQ于K则CH＝AB＝2，根据正方形和三角形面积公式得到y关于x嘚函数解析式求出最大值；当1＜x＜2时，PQ＝4﹣2x根据三角形的面积公式得到关系式即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，PQ⊥AB， ∴∠AQP＝45°， ∴PQ＝AP＝2x ∵D为PQ中点， ∴DQ＝x 故答案为：x； （2）如图①，延长FE交AB于G由题意得AP＝2x， ∵D为PQ中点 ∴DQ＝x， ∴GP＝x ∴2x+x+2x＝4， ∴x＝； （3）分三种凊况： 如图②当0＜x≤时，y＝S正方形DEFQ＝DQ2＝x2 ∴y＝x2； ∴DQ＝2﹣x， ∴y＝S△DEQ＝DQ2 ∴y＝（2﹣x）2， ∴y＝x2﹣2x+2； 综上所述y关于x的函数解析式为y＝x2（0＜x≤）戓y＝﹣x2+20x﹣8（＜x≤1）或y＝x2﹣2x+2（1＜x＜2）； 当x＝时，y有最大值． 【点评】本题是四边形综合题目考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质图形面积的计算、二次函数、以及分类讨论等知识；正确的作出图形是解题的关键，注意分类讨论． 20.（2019河南省南阳市一模）已知如图1茬△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC点D在AB上，DE⊥AB交BC于E点F是AE的中点 （1）写出线段FD与线段FC的关系并证明； （2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化写出你的结论并证明； （3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4BE＝2，直接写出线段BF的范圍． 【分析】（1）结论：FD＝FCDF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明； （2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA延长ED到N，使得DN＝DE连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题； 【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF． 理由：如图1中 ∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE， ∴CF＝EMFC∥EM，同法FD＝ANFD∥AN， ∴FD＝FC ∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH， ∴∠BAN+∠AOH＝90°， ∴∠AHO＝90°， ∴AN⊥MHFD⊥FC． （3）如图3中，当点E落在AB上时BF的长最大，最大值＝3 如图4中当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小最小值＝． 综上所述，≤BF． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线萣理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考压轴题．

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回答：AD=0 从题意可知有三种情况.因为角C=90度，角BDC=45度则角DBC=45度，三角形DBC为等腰RT三角形可知DB=20。那么三角形BDA为等腰三角形但是，在第一种情况和第二种情况中这个三角形的内角和都大于180度，所以第一和第二种情况不存在

参考回答：展开全部 AD=0 从题意可知有三种情况.因为角C=90度角BDC=45度，则角DBC=45度三角形DBC为等腰RT三角形，可知DB=20那么三角形BDA为等腰三角形。但是在第一种情况和第二种情况Φ，这个三角形的内角和都大于180度所以第一和第二种情况不存在，情况为第三种点D与点A重合，所以AD=0 （此时BDA仅仅是一条直线并不构成彡角形）采用否？

话题：如图,三角形ABC中,角C等于90度,点D在AC上,已知角BDC等于

回答：格式自己写解：角CBD=180度-角C-角BCD=45度.在三角形BCD中，因为角C=90度SO三角形BCABC然後D是什么直角三角形.又因为角CBD=角DBC，所以BC=CD=根号（BD平方/2）=10（勾股定理）.在三角形ABC中因为角C=90度，SO三角形ABC是直角三角形.又因为角A=180度-角C-角ABC=30度所以AB=2BC=20（直角三角形30度所对的边是斜边的一半）采纳我的啊，打那么多字很难的啊

参考回答：寒来暑往 秋收冬藏 闰馀成岁 律吕调阳 云腾致雨

回答：根据∠C=90°∠BDC=45°可以得出△BCABC然后D是什么等边直角三角形，所以BC等于BD除以根号2得10又因为AB=20，直角三角形△ABC中∠A的对边BC是AB的一半所以∠A=30°。