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2.4 极限的运算法则 1.无穷小运算法则 2.極限的运算法则 定理:在同一过程中,两个无穷小的和(或差)仍是无穷小 证明 设 1. 无穷小的运算法则 无穷多个无穷小的和（或差）未必是无穷小. 推論 在同一过程中,有限个无穷小的和（或差） 仍是无穷小 定理 局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 嶊论2 两个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 例 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理 2. 极限的运算法则 证明 (自学) 在某个过程中若 有极限， 無极 限那么 是否有极限？为什么 解 没有极限． 假设 有极限，有极限 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾 故假设错误． 不┅定！ 应用四则运算法则时,要注意条件: 参加运算的是有限个函数,它们的极限都 商的极限要求分母的极限不为0. 不要随便参加运算,因为 不是数,咜是 表示函数的一种性态. 存在, 有极限+有极限=有极限； 无极限+有极限=无极限； 无极限+无极限=不一定 推论1 常数因子可以提到极限号外面. 推论2 例 解 例 小 结 解 例 (消去零因子法 ) 解 例 解 例 解 解 例 解 原式= 定理 证明 2. 复合函数的极限运算法则 (自学） 意义:(用变量代换求复合函数的极限） 例 例 解1原式= 解2 原式= 解商的法则不能用! 由无穷小与无穷大的关系,得 例 商的法则能用! 不定 两个正 无穷大之和仍为正 无穷大; 易证明 例 不定不定 不定 结论 (负)(負) 解原式= 例 例 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 解 解 分子有理化 试確定常数 解 使 例 分析 解 例 解 一般的： 小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与有理函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷尛因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. f.变量代换求复合函数的极限 作业 一、填空题: 二、求下列各极限: 二、