如图,菱形ABCD中,顶点A到边BC,CD的距离AE,AF都为5,EF=6,那么菱形ABCD的边长为
如图,菱形ABCD中,顶点A到边BC,CD的距离AE,AF都为5,EF=6,那么菱形ABCD的边长为
连接AC交EF于O∵菱形ABCDAB＝BC＝CD＝AD,∠B＝∠D,AC平分∠BCD∵AE⊥BC,AF⊥CD∴∠AEB＝∠AFD＝90∴△ABE≌△ADF （AAS）∴BE＝DF∵CE＝BC-BE,CF＝CD-DF∴CE＝CF∴AC⊥EF,EO＝FO＝EF/2＝3 （三线合一）∴AO＝√（AE²-EO²）＝√（25-9）＝4又∵AE⊥BC,AC⊥EF∴AC²-AE²＝CE²,CE²＝EO²+CO²＝EO²+（AC-AO）²∴AC²-AE²＝EO²+（AC-AO）²∴AC²-25＝9+（AC-4）²∴AC＝25/4∴CE＝√（AC²-AE²）＝√（625/16-25）＝15/4∵AB²-AE²＝BE²∴AB²-AE²＝（BC-CE）²＝（AB-CE）²∴AB²-25＝（AB-15/4）²∴AB＝125/24∴菱形周长＝4AB＝125/6
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已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
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（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵AC的垂直平分线EF，∴OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．∴AF=FC，设AF=xcm，则CF=xcm，BF=（8-x）cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，解得x=5，即AF=5cm；（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=12-4t，∴5t=12-4t，解得t=．∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒．
为您推荐：
（1）根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
本题考点：
四边形综合题．
考点点评：
本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，在解（3）时判断出以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q的位置是解题的关键．
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年级：初三
科目：数学
问题名称：
如图已知矩形ABCD中，AB=4cm
BC=8CM,AC的垂直平分线EF分别交AD
求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长
如图2动点P ,Q 分别从A,C 两点同时出发，沿三角形AFB
和三角形CDE
各边匀速运动一周，即点p自A-F-B-A
停止，点Q自C-D-E-C停止，在运动过程中
已知点P的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm
运动时间为t秒，当以A, C, P ,Q
为四点为顶点
如图已知矩形ABCD中，AB=4cm
BC=8CM,AC的垂直平分线EF分别交AD
求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长
如图2动点P ,Q 分别从A,C 两点同时出发，沿三角形AFB
和三角形CDE
各边匀速运动一周，即点p自A-F-B-A
停止，点Q自C-D-E-C停止，在运动过程中
已知点P的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm
运动时间为t秒，当以A, C, P ,Q
为四点为顶点的四边形是平等四边形时，求t的值
的运动路程分别为a
,已知A,C ,P ,Q
四点为顶点的四边形是平形四边形，求a 与b 满足的数量关系式
收到的回答: 1条
teacher105
（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，解得t=4/3，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．
②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；
ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
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