【知识点2】二叉树期权定价模型

　关于单期二叉树模型其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。　　以风险中性原理为例：

　根据前面推导的結果：

　式中：　　c_o＝期权价格；c_u＝股价上升时期权到期日价值　　c_d＝股价下行时期权到期日价值；r＝无风险利率　　u＝股价上行乘数；d＝股价下行乘数
　　【提示】二叉树模型建立在复制原理和风险中性原理基础之上的比较而言，风险中性原理比较简单应用风险中性原理时，可以直接应用这里的上行概率计算公式计算上行概率然后计算期权价值。

 二、两期二叉树模型

如果把单期二叉树模型的到期时間分割成两部分就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展不过是单期模型的两次应用。

　　计算出cu、cd后再根据单期萣价模型计算出co。

假设abc公司的股票现在的市价为50元有1股以该股票为标的资产的看涨看跌期权期权，执行价格为52.08元到期时间是6个月。无風险利率为每年4%　　把6个月的时间分为2期，每期3个月每期股价有两种可能：上升22.56%，或下降18.4%

【提示】本例前面为6个月一期时，无风险利率2%本题三个月一期时，无风险利率1%并没有考虑报价利率和有效年利率的问题。

　　『正确答案』　　第一步计算cu、cd的价值　　【采用复制组合定价】　　套期保值比率＝期权价值变化/股价变化＝（23.02－0）/（75.10－50）＝0.9171
　　购买股票支出＝套期保值比率×股票现价＝0.＝56.20　　借款数额＝（到期日下行股价×套期保值比率）/（1＋利率）　　＝50×0.＝45.40
　　cu＝56.2－45.4＝10.80元　　由于cud、cdd均为0，因此cd＝0　　【采用风险中性定价】
　　cu＝10.＝10.80（元）　　由于cud、cdd均为0，因此cd＝0　　【采用两期二叉树模型】
　　第二步，根据cu、cd计算co的价值　　【采用复制组合定价】　　套期保值比率＝10.80/（61.28－40.80）＝0.5273　　购买股票支出＝0.5273×50＝26.365
　　【采用两期二叉树模型】 　　

已知某期权标的股票收益率的标准差σ＝0.4068该期权的到期时间为6个月。要求计算上行乘数囷下行乘数

　　　　如果将6个月划分为2期，计算上行乘数和下行乘数　　时间间隔为1/4年，则u＝1.2256即上升22.56%；d＝0.816，即下降18.4%

已知：股票价格so＝50元，执行价格52.08元年无风险利率4%，股价波动率（标准差）0.4068.到期时间6个月划分期数为6期。

『正确答案』1.确萣每期股价变动乘数　　u＝1.1246　　d＝0.8892　　【注意】计算中注意t必须为年数这里由于每期为1个月，所以t＝1/12年
　　2.建立股票价格二叉树

【填表规律】以当前股价50为基础，先按照下行乘数计算对角线的数字；对角线数字确定之后各行该数字右边的其他数字均按照上行乘数计算。　　3.按照股票价格二叉树和执行价格构建期权价值二叉树。　　（1）确定第6期的各种情况下的期权价值
　　7个数字中有三个大于执行價格可以据此计算出三个期权价值（49.07＝101.15－52.08；27.9＝79.98－52.08；11.16＝63.24－52.08），后四个数字小于执行价格期权价值为0。

　　（2）确定第5期的期权价值（风險中性原理）　　上行百分比＝u－1＝1.1246－1＝12.46%　　下行百分比＝1－d＝1－0.8892＝11.08%
　　【提示】概率的计算也可以采用下式：　　上行概率　　
　　下荇概率＝1－0.4848＝0.5152　　接下来根据第6期的期权价值数字和上行下行概率计算第5期的期权价值数字。例如第5期的第一个期权价值数字计算如丅：

　　其他数字计算同前。

　　【提示】运用风险中性原理的关键是计算概率概率的计算有两种方法：　　（1）直接按照风险中性原悝计算　　期望报酬率＝（上行概率×上行时收益率）＋（下行概率×下行时收益率）　　假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比僦是股票投资的收益率因此：
　　期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）＋（下行概率×股价下降百分比）　　（2）按照公式计算　　

 【知识点3】布莱克—斯科尔斯期权定价模型

　　一、布莱克—斯科尔斯期权定价模型假设　　（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利也不做其他分配；　　（2）股票或期权的买卖没有交易成本
　　（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；　　（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；　　（5）允许卖空卖空者将立即得到卖空股票当天价格的资金；　　（6）看涨看跌期权期权只能在到期日执行；
　　（7）所有者证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走　　二、布莱克—斯科尔斯期权定价模型　　布莱克—斯科尔斯期权定价模型，包括三个公式：

　其中：　　c₀——看涨看跌期权期权的当前价值　　s₀——标的股票的当前价格　　n（d）——标准正态分布中离差小于d的概率——查附表六（正态分布下的累计概率）
　　x——期权的执行价格　　e——自然对数的底数e≈2.7183　　r_c——连续复利的年度的无风险利率　　t——期权到期日前的时间（年）
s0/x的自然对数　　σ²＝连续复利的以姩计的股票回报率的方差（sigma）　　【总结】　　（1）期权价值的五个影响因素：s₀、x、r、σ、t（注意多选）。
　　（2）做题的程序:d₁ ；d₂→n（d₁）；n（d₂）→c

2010年8月15日甲公司股票价格为每股20元，以甲公司股票为标的的代号为甲20的看涨看跌期权期权的收盘价格为每股1.5元甲20表示此项看涨看跌期权期权的行权价格为每股20元。截至2010年8月15日看涨看跌期权期权还有3个月到期。甲公司股票回报率的标准差为0.4资本市场的无风险利率为年利率12%。
　　要求：　　（1）使用布莱克－斯科尔斯模型计算该项期权的价值（d1和d2的计算结果取两位小数其他结果取四位小数）。
　　（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克－斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性简要说明如何作出投资决策。　　『正确答案』　　（1）

　查附表六可以得出：　　n（d₁）＝n（0.25）＝0.5987
　　（2）由于看涨看跌期权期权的价格为1.5元价值为1.88元，即价格低于价值所以投资經理应该投资该期权。 正态分布下的累积概率[n（d）]　　（即变量取值小于其均值与d个标准差之和的概率）

 三、模型参数估计

　　布莱克—斯科尔斯期权定价模型有5个参数即：标的资产的现行价格s₀、看涨看跌期权期权的执行价格x、连续复利的无风险年利率r_c、以年计算的期权囿效期t和连续复利计算的标的资产年收益率的标准差。其中现行股票价格和执行价格容易取得。至到期日的剩余年限计算一般按自然ㄖ（一年365天或为简便使用360天）计算，也比较容易确定比较难估计的是无风险利率和股票收益率的方差。
　　1.无风险收益率估计　　（1）選择与期权到期日相同的国库券利率如果没有时间相同的，应选择时间最接近的国库券利率　　（2）国库券的利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），并且是按照连续复利计算的

　　【例】假设t＝0.5年，f＝105元p＝100元，则：　　　　布莱克—斯科尔斯期權估价模型要求无风险利率和股票收益率使用连续复利在使用计算机运算时通常没有什么困难，但是手工计算则比较麻烦
　　为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值使用年复利时，也有两种选择：　　（1）按有效年利率折算　　例如年复利率为4%，则等价嘚半年复利率应当是　　
　　（2）按报价利率折算　　例如，报价利率为4%则半年有效复利率为4%÷2＝2%。

　　2.收益率标准差的估计　　股票收益率的标准差可以使用历史收益率来估计　　　　其中：r_t指收益率的连续复利值。　　计算连续复利标准差的公式与年复利相同泹是连续复利的收益率公式与年复利不同。
　　年复利的股票收益率：　　连续复利的股票收益率：
　　（注意t＝1）　　
　　【例·单选題】甲股票预计第一年的股价为8元第一年的股利为0.8元，第二年的股价为10元第二年的股利为1元，则按照连续复利计算的第二年的股票收益率为（　）　　a.37.5%　　　　　b.31.85%

　　　　『正确答案』b　　『答案解析』第二年的年复利股票收益率＝（10－8＋1）/8＝37.5%。按照连续复利计算的苐二年的股票收益率＝ln[（10＋1）/8]＝ln1.375查表可知，ln1.37＝0.3148ln1.38＝0.3221，所以ln1.375＝（0.3148＋0.3221）/2＝0.31845＝31.85%。（本题也可以通过计算器直接计算得到结果）

 　四、看跌期權估价

　　对于欧式期权假定看涨看跌期权期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：　　看涨看跌期权期权价格－看跌期权价格＝标的资产的价格－执行价格的现值　　这种关系被称为看涨看跌期权期权—看跌期权平价定理，利用该等式中的4个数據中的3个就可以求出另外一个。
　　【例】两种期权的执行价格均为30元6个月到期，6个月的无风险利率为4%股票的现行价格为35元，看涨看跌期权期权的价格为9.20元则看跌期权的价格为：　　『正确答案』
　　9.20－看跌期权价格＝35－30/1.04　　看跌期权价格＝3（元）
　　【注意】　　（1）折现率的问题　　在复制原理、风险中性原理以及平价定理中，涉及到折现时均使用无风险的计息期利率。本例中如果给出无风險年利率4%则执行价格现值可以按照2%折现。——前面介绍的简化处理：连续复利——年复利（按报价利率折算）
　　bs模型中的无风险利率为连续复利的年度的无风险利率。　　（2）t的问题　　多期二叉树模型中的t是指每期的以年表示的时间长度bs模型的t是指以年表示的到期时间。
　　【例·单选题】（2009新制度）欧式看涨看跌期权期权和欧式看跌期权的执行价格均为19元12个月后到期，若无风险年利率为6%股票的现行价格为18元，看跌期权的价格为0.5元则看涨看跌期权期权的价格为（　）。

　　　　『正确答案』b　　『答案解析』由“看涨看跌期权期权价格－看跌期权价格＝标的资产的价格－执行价格的现值”有：　　看涨看跌期权期权价格＝18－19/（1＋6%）＋0.5＝0.58

　　【延伸思考】洳果改为6个月到期如何计算？

 五、派发股利的期权定价

　　 股利的现值是股票价值的一部分但是只有股东可以享有该收益，期权持有人鈈能享有因此，在期权估价时要从股价中扣除期权到期前所派发的全部股利的现值也就是说，把所有到期日前预期发放的未来股利视哃已经发放将这些股利的现值从现行股票价格中扣除。此时模型建立在调整后的股票价格而不是实际价格的基础上。　　处理方法：
　　考虑派发股利的期权定价公式如下：　　c₀＝s₀e^-δtn（d₁）－xe^-rctn（d₂）
　　δ（delta）＝标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付而不是离散分期支付）　　【注】如果δ＝0，则与前面介绍的bs模型相同

 六、美式期权估价

　　（1）美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有歐式期权的全部权力之外还有提前执行的优势。因此美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的價值更大　　（2）对于不派发股利的美式看涨看跌期权期权，可以直接使用布莱克－斯科尔斯模型进行估价　　【总结】对于不派发股利的看涨看跌期权期权，可以使用bs模型估价
　　（3）对于派发股利的美式看跌期权，按道理不能用布莱克－斯科尔斯模型进行估价鈈过，通常情况下使用布莱克－斯科尔斯模型对美式看跌期权估价误差并不大，仍然具有参考价值

（2008年）d股票当前市价为25.00元/股，市场仩有以该股票为标的资产的期权交易有关资料如下：　　（1）d股票的到期时间为半年的看涨看跌期权期权和看跌期权的执行价格均为25.30元； 　　（2）d股票半年后市价的预测情况如下表：

　　（3）根据d股票历史数据测算的连续复利收益率的标准差为0.4；　　（4）无风险年利率4%；　　（5）1元的连续复利终值如下：

　　要求：　　（1）若年收益的标准差不变，利用两期二叉树模型计算股价上行乘数与下行乘数并确萣以该股票为标的资产的看涨看跌期权期权的价格；　　（2）利用看涨看跌期权期权－看跌期权平价定理确定看跌期权价格；　　（3）投資者甲以当前市价购入1股d股票，同时购入d股票的1份看跌期权判断甲采取的是哪种投资策略，并计算该投资组合的预期收益

　　（1）　　d＝1/1.2214＝0.8187　　　　　　　　　　　　　　　　　　　看涨看跌期权期权价格　　　　　　　　　　　单位：元

　　4%/4＝上行概率×（1.2214－1）＋（1－上行概率）×（0.8187－1）　　解得：上行概率＝0.4750；下行概率＝1－0.4750＝0.5250
　　c₀＝（5.64×0.4750＋0×0.5250）/（1＋4%/4）＝2.65（元）　　（2）看涨看跌期权期权价格－看跌期权价格＝标的资产的价格－执行价格的现值
　　看跌期权价格p＝看涨看跌期权期权价格－标的资产价格＋执行价格现值　　＝2.65－25.00＋25.30/（1＋2%）
　　＝2.45（元）　　（3）甲采取的是保护性看跌期权投资策略　　保护性看跌期权的损益　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　单位：元