题库 教师版 7 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化有目的的转化； 4、单位“ 1”变化的比例问题 5、方程解比例应用題 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容 一、比和比例嘚性质 性质 1若 a bc d则 a c b d a bc d； 性质 2若 a a b???； x y a ?； x y a bx y a b?????； L ④ x x y z a c b c b d? ； ⑤ x 的 y 的 x 是 y 的 y 是 x 的 知识点拨 教学目标 6例应用题 题库 教师版 7 三、按比例分配与和差关系 ⑴ 按比例分配 例如将 x 个物体按照 两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与 x 的比分别为 ? ?a a b? 和 ? ?b a b? 所以甲分配到 ，乙分配到 . ⑵ 已知两组物体的数量比和数量差求各个类别数量的问题 例如两个类别 A 、 B ，元素的数量比为 里 数量差为 x ，那么 A 的元素數量为 B 的元素数量为 所以解题的关键是求出 ? ?与 a 或 b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“ l”题中如果有几个不同的单位“ 1”，必须根据具体情况将不同的单位“ 1”，转化成统一的单位“ 1”使数量关系简单化，达到解決问题的效果在解答分数应用题时，要注 意以下几点 1. 题中有几种数量相比较时要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量為单位“ 1”。 2. 若题中数量发生变化的一般要选择不变量为单位“ 1” 。 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定嘫后再确定是成正比例，还是成反比例找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法 4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解 5. 赋值解比例问题 6. 模块一、比例转化 【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等 于乙、丙两数和的 13乙等于甲、丙两数和的 12，丙等于甲、乙两数和的 57求 甲 乙 丙 . 【解析】 由 甲等于乙、丙两数和的 13，得到甲等于三个数和的 1131 4?哃样的 乙等于甲 、丙两数和的1121 3? ，同样的丙等于甲、乙两个数和的 557 5 12?? 所以 1 1 5 3 4 54 3 1 2??甲 乙 丙 ． 【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 23那么甲的 23、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的比为多少 【解析】 甲的一半、乙的 2 倍、丙的 23这三个数的比为 111 ，所以甲、乙、丙这三个数的比为例题精讲 题库 教师版 7 ? ?121 1 2 123? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 132 22化简为 413 ，那么甲的 23 、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的比为 ? ?214 1 2 332? ? ? ?? 3】 如下图所示圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的 45，且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面积的 16圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积的 15，圆 C 嘚阴影部分面积占圆 C 面积的 13．求圆 A 、圆 B 、圆 C 的面积之比． 析】 设 A 与 B 的共同部分的面积为 x A 与 C 的共同部分的面积为 y ，则根据题意有? ? ? ?5 64A B C x y? ? ? ? 5， 3于是得到 ? ?5 64 5 3?? ? ?????，这条式子可化简为 15所以 ? ?5 204A B C C? ? ? 2 0 1 5 1A B C ? . 【巩固】 右 图 是一个园林的规划图，其中正方形的43是草地；圆的76是竹林；竹林比草地多占地 450平方米． 问水池占多少平方米 【解析】 正方形的43是草地， 那如果水池占 1 份草地的面积便是 3 份； 圆的76是竹林， 水池占 1 份竹林的面积是 6 份。从 而竹林比草地多出的面积是（ 6 3 份 3 份的面积是 450 平方米，可见 1 题库 教师版 7 份面积是 450÷3150（平方米）即水池面积是 150 平方米。 【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 32 分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是 1087 ，甲组Φ男、女会员的人数之比是 31 乙组中男、女会员的人数之比是 53 ．求丙组中男、女会员人数之比． 【解析】 以总人 数为 1，则甲组男会员 人数 為 1 0 3 31 0 8 7 3 1 1 0??? ? ?女会员为 3 1 110 3 10??，乙组男会员为 8 5 11 0 8 7 5 3 5??? ? ?女会员为 1 3 35 5 25??；丙组男会员为 3 3 1 13 2 1 0 5 1 0??? ? ?????，女会员为2 1 3 93 2 1 0 2 5 5 0??? ? ?????；所以丙组中男、女会员人数之比为 19 5910 50 ?． 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程 队建设，两个工程队建設了相同多的一段时间后分别剩下 60 、 40 的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率 建设速度 之比 31 求这两个工程队原先承包的修建公路長度之比 . 【解析】 法一 甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度，仅完成了 40 的承包任务而乙工程队完成了 60 ，所以甲工程队承包任务的 40 等于乙工程隊承包任务的 6 0 3 1 8 0 ?? 所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的 1 8 0 4 0 4 5 0 ??，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 450 1 9 2? ． 法二 两个工程队完成的工程任务 修建公路长度 之比等于工作效率之比等于 31 ，而他们分别完成了各自任务的 40 和 60 所以两个工程队承包的修建公路长度の比为? ? ? ?3 4 0 1 6 0 9 2? ? ?． 【巩固】 2008 年清华附中考题 甲、乙 两 个工人上班，甲比乙多走 15的路程而乙比甲的时间少 111，甲、乙的速度比是 ． 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的 65甲用的时间是乙用的时间的 1110，所以甲的速度是乙的速度的6 11 125 10 11??即甲、乙的速度比是 1211 ． 【例 5】 某团体囿 100 名会员，男女会员人数之比是 1411 会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多各组男女会员人数之比依次为 1213 、 53 、 21 ，那么丙组囿多少名男会员 【解析】 会员总人数 100人男女比例为 1411 ，则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样哆则可知甲组人数为 50 人，乙、丙人数之和为 50 人可设丙组人数为 x 人，则乙组人数为 ? ?50 x? 人又已知甲组男、女会员比为 1213 ，则甲组男、奻会员人数分别为 24 人、 26 人又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得522 4 5 0 5 683? ? ?解得 18x? ．即丙组会员人数为 18 人，又已知男、女比 例可得丙 题库 教师版 7 组男会员人数为 218 123??人． 【例 6】 2007 年华杯赛总决赛 A 、 B 、 C 三项工程的工作量之比为 123 ，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同時开工若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量则甲、乙 、丙队的工作效率的比是多少 【解析】 根据题意，如果把 A 工程的工作量看作 1 则 B 工程的工作量就是 2 ， C 工程的工作量就是 3 ． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 x 、 y 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知 ① 甲、乙两校获一等奖的人数相 等； ② 甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 56 ； ③ 甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和嘚 20 ； ④ 甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50 ； ⑤ 甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 ．那么乙校获一等奖的人数占该校获奖总囚数的百分数等于多少 【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为 65 ，不妨设甲校有 60 人获奖则乙校有 50 人获奖．由③知两校获二等獎的共有 6 0 5 0 2 0 2 2? ? ?人；由⑤知甲校获二等奖的有 2 2 4 . 5 1 4 . 5 1 8? ? ? ?人；由④知甲校获一等奖的有 6 0 6 0 5 0 1 8 1 2? ? ? ?人，那么乙校获一等奖的也有 12 人从而所求百分数为 1 2 5 0 1 0 0 2 4 ? ? ?． 【例 7】 ① 某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等． ② 已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1； ③ 四、五、六癍三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少 【解析】 如下表所示由②知，一、②、三班的男生总数比二、三班总人数多 1；由③知四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少 1． 一班男生 比 二、三班女生 多 1 人 加上 二、三班男生 二、三班男生 一、二、三班男生 比 二、三班总人数 多 1 人 七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少 1 人 加上 四、五、六班男生 四、伍、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生 比 四、五、六班总人数 少 1 人 题库 教师版 7 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共伍个班的人数之和由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以男、女生人数之比是 54 ． 模块二、按比例分配与和差關系 （一）量倍对应 【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到 16 个而甲、乙两班的人数比为 1311 ，求一共有多少个苹果 【解析】 一共有 ? ? ? ?1 6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 9 2? ? ? ? ?个苹果 . 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 346 三人一共藏书 52 本，求他们三人各自的藏书数量 . 【解析】 根据题意可知他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的 33 4 6??、 43 4 6??、 63 4 6??，所以小新拥有的藏书数量为 35 2 1 23 4 6????本小志拥有的藏书数量为 45 2 1 63 4 6????本，小刚拥有的藏书数量为 65 2 2 43 4 6????本 . 【巩固】 在抗洪救灾区活动中甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 107 则甲捐 元，乙捐 元丙捐 元． 【解析】 由于甲比丙多捐 18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元那么甲、乙所捐资的和为 1 8 1 0 7 1 0 6 0? ? ? ?元 ，乙、丙所捐资的和为 60 18 42?? 元． 所以甲捐了80 42 38??元 ，乙捐了 60 38 22?? 元 丙捐了 38 18 20?? 元 ． 【巩固】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的 14等于乙班种的棵数的 15且乙班比甲班多种树 24 棵，甲、乙两个班各种树多少棵 【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为 11 4 554?甲班种树棵数为 ? ?2 4 5 4 4 9 6? ? ? ?棵 ，乙班种树棵数为 ? ?2 4 5 4 5 1 2 0? ? ? ?棵 ． 【巩固】 有 120 个皮球分给两个班使用，一班分到 的 13与二班分到的 12相等求两个班各分到多少皮球 【解析】 根据题意可知一班与二班分到的浗数比 11 3 223?，所以一班分到皮球 ???个二班分到皮球 120 72 48?? 个． 题库 教师版 7 【例 9】 一班和二班的人数之比是 87 ，如果将一班的 8 名同学调到二癍去 则一班和二班的人数比变为 45 ．求原来两班的人数． 【解析】 原来一班的人数为两班总人数的 888 7 15??，调班后一班的人数是两班人数的 444 5 9??调班前后一班人数的比值为 84 6 515 9 ?，所以一班原来的人数为 ? ?8 6 5 6 4 8? ? ? ?人二班原来的人数为 48 8 7 42? ? ? 人 . 【例 10】 幼儿园大班和中班共有 32 洺男生， 18 名女生 ． 已知大班男生数与女生数的比为 53 中班男生数与女生数的比为 21 ，那么大班有女生多少名 【解析】 由于男、女生人数有比唎关系而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法 ． 假设 18 名女生全部是大班则大班男生数女生数 5 3 30 18?? ，即男生应有 30 人实际上男生有 32 囚，相差2 个人；又中班男生数女生数 21 63??以 3 个中班女生换 3 个大班女生，每换一组可增加1 个男 生所以需要换 2 组；所以，大班女生有 18 3 2 12? ? ? 名 ． 【巩固】 参加植树的同学共有 720 人已知六年级与五年级人数的比是 32 ，六年级比四年级多 80 人三个年级参加植树的各有多少人 【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有 720 80 800?? 人四、五、六三个年级的人数比为 323 ，知道三个量的和及它们的比就可鉯按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数． 六年级 38 0 0 3 0 0323????人； 五年级 28 0 0 2 0 0323????人； 四年级 300 80 220?? 人． 【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是 4 3 20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 71． 5 元．问圆珠笔的单价是每支多少元 【解析】 设圆珠笔的价格为 4，那么铅笔的价格为 3则 20 支圆珠笔和 21 支铅筆的价格为 20 4213143，则单位“ 1”的价格为 143以圆珠笔的单价是 42元 ． 【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从 A 点出发沿长方形的边爬去，结果在距 B 点 2 厘米的 C 点楿遇已知乙蚂蚁的速度是甲的 ，求这个长方形的周长． 甲乙析】 两只蚂蚁在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇说明乙比甲一共多走了 2 2 4?? 厘米 ．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的 ，相同时间内乙蚂蚁爬的 路程 与甲蚂蚁爬的路程比为 1＝ 6 5 题库 教师版 7 所以甲爬的 路程 是 ? ?4 6 5 5 2 0? ? ? ?厘米 ，乙爬嘚 路程 是 20 4 24?? 厘米 长方形的周长为 20 24 44??厘米 ． 【巩固】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时相向开出，甲车的速度是 50 千米／小时乙车的速度昰 40 千米／小时，当甲车驶过 A 、 B 距离的 13多 50 千米时与 乙车相遇 A 、 B 两地相距 千米． 【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速喥之比由于两车的速度之比等于50 40 5 4? ，那么 A 、 B 距离的 13多 50 千米即是 A 、 B 距离的 554 5 9??所以 50 千米的距离相当于全程的 5 1 29 3 9????????，全程的距离为 250 2259??千米 ． 【例 12】 甲 乙两车分别从 A B 两地出发，相向而行．出发时甲、乙的速度比是 5∶ 4，相遇后甲的速度减少 20％，乙的速度增加 20％这样，当甲到达 离 0千米．问 A 【解析】 甲、乙原来的速度比是 5∶ 4 相遇后的速度比是 [5（ 1－ 20％） ]∶ [4（ 1＋ 20％） ]＝ 4∶ 4． 8＝ 5∶ 6． 相遇时，甲、乙分别走了全程的 5/9和 4/9 设全程 下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为 5 6 其中相遇后甲行驶了全长的 4/9 所以乙行驶了全长的 48569 15? ? ?所以乙一共荇了全长 4 8 449 15 45??，还剩 44 1145 45??没有走 所以 A、 50 千米 . 【例 13】 师徒二人加工一批零件师 傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟 ． 完成任務时师傅比徒弟多加工 100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 11 5 39 15 ?工作时间相同，工作量與工作效率成正比所以师傅与徒弟分别完成总量的 553?和 353?，师傅和徒弟一共加工了 531 0 0 4 0 05 3 5 3? ? ???个零件 涉及到数量差和数量比的题在以下題目中详细讲述 . 【巩固】 师徒二人共 加工零件 400 个师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟．完成任务时师傅比徒弟多加工哆少个零件 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 11 5 39 15 ?，而工作时间相同则工作量与工作效率成正比，所 题库 教师版 7 以师傅与徒弟分别完荿总量的 553?和 353?师傅比徒弟多加工零件534 0 0 1 0 05 3 5 3??? ? ???????个． 【例 14】 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440 公升，如果 A 、 B 两桶装满水 C 桶是空嘚；若将 A 桶水的全部 和 B 桶水的 15，或将 B 桶水的全部和 A 桶水的 13倒入 C 桶 C 桶都恰好装满．求 A 、B 、 C 三个水桶容积各是多少公升 【解析】 根据题意可知， A 桶水的全部加上 B 桶水的 15等于 B 桶水的全部加上 A 桶水的 13所以 A 桶水的 23等于 B 桶水的 45，那么 A 桶水的全部等于 B 桶水的 4 2 65 3 5?? C 桶水为 B 桶水的6 1 75 5 5?? ．所以 A 分钟加工 1 个．现在三人在同样的时间内一共加工 1????个零件，丙加工了 213 6 5 0 1 0 5 02 8 2 4 2 1????个零件 【巩固】 学而思学校四五六年级共有 615 名學生，已知六年级学生的 12等于五年级学生的 25，等于四年级学生的 37这三个年级各有多少名学生学生 【解析】 将六年级学生的 12，等于五年級学生的 25等于四年级学生的 37，看作一个单位那么 六年级学生人数等于 一块长方形铁板，宽是长的 45．从宽 边截去 21 厘米长边截去 35 以后，嘚到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米 【解析】 如果只将长边截去 35 宽、长之比为 ? ?4 5 1 3 5 1 6 1 3? ? ?????，所以宽边的长喥为2 1 1 6 1 3 1 6 1 1 2? ? ? ?厘米所以原来铁板的长为 4112 1405?? 厘米． 【巩固】 一个正方形的一边减少 20 ，另一边增加 2 米得到一个长方形，这个长方形的面積与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米 【解析】 要保证面积不变一边减少 20 ，即是原来的 45另一边要变成原来的 54，即增加 51144??所以原正方形的边长为 1284??米 . 【例 16】 一把小刀售价 3 元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是 25 ；如果小强买了这把尛刀那么两人剩余的钱数之比变为 813 ．小明原来有多少钱 【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的 552 5 7??小明的錢相当于小明、小强买刀后钱数和的 88813 21?，所以小明、小强的钱数的比值为 85 8 1521 7 ?而小明买刀后小明、小强的钱数之比为 2 5 6 15? ，所以小明买刀前後的钱数之比为 8 6 43? 所以小刀的售价等于小明原来钱数的 4 3 144? ?，所以小明的钱数为 13 124??元 也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为 28 3 47 21 ?小明的钱数为 ? ?4 3 4 3 1 2? ? ? ?????（元） 【巩固】 2009 年十三分小升初入学测 试题 甲、乙两人原有的钱数之比为 65 ，后来甲又得到 180 元乙又嘚到 30 元，这时甲、乙钱数之比为 1811 求原来两人的钱数之和为多少 【解析】 两人原有钱数之比为 65 ，如果甲得到 180 元乙得到 150 元，那么两人的钱數之比仍为 65 现在甲得到 180 元，乙只得到 30 元相当于少得到了 120 元，现在两人钱数之比为 1811 可以理解为两人的钱数分别增加 180 元和 150 元之后，钱数の比为 1815 然后乙的钱数减少 120元，两人的钱数之比变为 1811 所以 120 元相当于 4 份， 1 份为 30 元后来两人的钱数之和为3 0 1 8 1 5 9 9 0? ? ? 元，所以原来两人的总钱數之和为 9 9 0 1 8 0 1 5 0 6 6 0? ? ?元． 【巩固】 甲本月收入的钱数是乙收入的 58甲本月支出的钱数是乙支出 的 34，甲节余 240元乙节余 480元．甲本月收入多少元 【解析】 甲、乙本月收入的比是 58 ，分别节余 240 元和 480 元支出的钱数之比是 34 ． 如果乙节余 480元，甲节余 4 8 0 8 5 3 0 0? ? ? 元那么两人支出的钱数之比也是 58 ，現在甲只节余 240 元多支出了 60 元，结果支出的钱数之比从 58 变成了 68 即 34 所以这 60 元就对应 6 5 1??份，那么甲支出了 60 6 360?? 元所以甲本月收入为 3 6 0 2 4 0 6 0 0??え ． 【例 17】 2008 年西城实验考题 一项机械加工作业，用 4 台 A 型机床 5 天可以完成；用 4 台 A 型机床 题库 教师版 1 7 和 2 台 B 型机床 3 天可以完成；用 3 台 B 型机床和 9 囼 C 型机床， 2 天可以完成若 3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下 A 、 C 型机床继续工作还需要 ______ 天可以完成作业 ． 【解析】 由于用 4 台 A 型机床 5 天可以唍成；用 4 台 A 型机床和 2 台 B 型机床 3 天可以完成，所以 2 台 天完成的量等于 4 台 A 型机床 2 天完成的量则 A 、 B 两种 机床每天完成的量的比为? ? ? ?2 3 4 2 3 4? ? ? ，即 A 型机床每天完成的量为 3 B 型机床每天完成的量为 4，该项作业总量为 3 4 5 元．六一儿童节那天儿童免票，结果与前一天相比大人增加叻 60 ，儿童增加了 90 共增加了 2100 人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有 多少 人入园 【解析】 前一天大人与小孩的人数比为 1 6 0 2 5 6??陸一那天增加的大人与增加的小孩人数比为? ? ? ?5 6 0 6 9 0 5 9? ? ?， 大人增加的人数为 52 1 0 0 7 5 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是 12 第一天售出苹果的 20 ，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是 13 ；第二天售出苹果 18吨桃子 12吨，这样一来所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的 415，问原有苹果和桃子各有多少吨 【解析】 法一 设原来苹果有 x 吨则原来桃子有 2x 吨，得 1 2 0 1 8 43 152 1 213? ? ????解得 37x? ．所以原有苹果 37 吨，原有桃子 37 2 74?? 噸 ． 法二原来苹果和桃子的吨数的比是 12 把原来的苹果的吨数看作 1，则原来桃子的吨数为 2第一天后剩下的苹果是 41 1 2 0 5? ? ?，剩下的桃子是 ???所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是 43 8 1552?．现在再售出苹果 18 吨，桃子 12 吨所剩的苹果与桃子的重量比是415 ．这就相当于第一天后剩丅的苹果和桃子的重量比是 815 ，先售出桃子 12 吨苹果8 ?? 吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是 815 再售出 32 5818 55??吨苹果，剩下的苹果和桃子嘚重量比变为 415 所以这 585相当于 8 4 4?? 份，最后剩下的桃子有 58 15 875 4 2??吨那么第一天后剩下的桃子有 87 1111222??吨，原有桃子 111 3 742 1 3???吨原有苹果 74 2 37?? 噸． （二）利用不变量统一份数 题库 教师版 2 7 【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是 21 宽与高的比是 32 ．表面积为 272求这个长方体的体积 . 【解析】 甴条件长方体的长、宽、高的比 632 ，则长方体的所有视面上面、前面、左面的面积比为? ? ? ? ? ?6 3 6 3 6? ? ? ?，所以 36 即是长、宽、高的乘積所以这个长方体的体积为 336 【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是 21 宽与高的比是 32 ．已知这个长方体的全部棱长之和是 220厘米，求这个长方体的体积． 【解析】 由条件宽与高 的比为 23 2 13?所以这个长方体的长、宽、高的比为 2213即 632 ，由于长方体的所有棱中长、宽、高各有 4 2009年第七屆“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是大型车30 元，中型车 15 元小型车 10 元．一天，通过该收费站的大型车和Φ型车数量之比是 56 中型车与小型车之比是 411 ，小型车的通行费总数比大型车多 270 元．（ 1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多尐辆（ 2） 这 天的收费总数是多少元 【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比如果能将 56 中的 6 与 411 中的 4 统一成? ?4,6 12? ，就可以嘚到大型车、中型车、小型车的连比．由 5 6 10 12? 和 4 11 12 33? 得到 1 0 1 2 3 3?大 型 车 中 型 车 小 型 车．以 10 辆大型车、 12 辆中型车、 33 辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多 1 枚壹分硬币摞在一起与 5 枚贰分硬币摞在一起一样高， 4 枚壹分硬币摞在一起与 3 枚伍分硬币摞在一起 一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体并且三个圆柱体一样高，共用了 124枚硬币问这些硬币的币值为多少元 【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为 65 ，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 4 3 6 所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为 65即 12109 种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为1076 ，速度比为 689 运送土方的路程之比为 151414 ，三种车的辆数之比为 1057 ．工程开始时乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入直到 10天后，另一半甲种车才投入工作一共干了 25 天完成任务． 那么，甲种车完成的工作量与总工作量の比是多少 【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 15 14 14∶ ∶ 速度之比为 6 8 9∶ ∶ ，所以它们运送 1次所需的时间之比为 1 5 1 4 1 4 5 7 1 46 8 9 2 4 9?∶ ∶ ∶ ∶相同时间内它们运送的次数比为 2 4 95 7 14∶ ∶．在前 10天，甲车只有一半投入使用因此甲、乙、丙的数量之比为 5 5 7∶ ∶ ．由于三种卡车载重量之仳为10 7 6∶ ∶ ， 所以三种 卡车的总载重量之比为 50 35 42∶ ∶ ．那么三种卡车在前 10天内的工作量之比为2 4 95 0 3 5 4 2 2 0 2 0 2 75 7 1 4? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?∶ ∶ ∶ ∶．在后 15天由于甲车全部投入使用，所以在后 15天里的工作量之比为 40 20 27∶ ∶ ．所以在这 25 天内甲的工作量与总工作量之比为2 0 1 0 4 0 1 5 3 22 0 2 0 2 7 1 0 4 0 2 0 2 7 1 5 7 9? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ． 【例 24】 2008 年第 13 届华杯赛初赛 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为 543 ．实際上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为 765 其中有一位小朋友比原计划多得了 15 块糖果．那么这位小朋友是 填“甲”、“乙”或“丙” ，他實际所得的糖果数为 块． 【解析】 方法一原计划甲、乙、丙三人所得糖果 数分别占总数的 512 412， 312；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总數的 718 618， 518只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙 31 5 5 4 01 8 1 2??? ? ?????块 45％再放人 16 块水果糖后，奶糖就只占 25％那么这堆糖果中有奶糖多少块 题库 教师版 4 7 【解析】 方法一原来奶糖占 45 9100 20?，后来占 25 1100 4?因此后来的糖果数是奶糖的 4 倍，也比原来糖果多 16 粒从而原来嘚糖果是 16 9420??120 块 09209 块． 方法二原来奶糖与其他糖 包含水果糖 之比是 45％ 19 11,设奶糖有 9 份，其他糖 包含水果糖 有 11 份．现在奶糖与其他糖之比是 25％ 11 39 27,奶糖嘚份数不变其他糖的份数增加了 276 份，而其他糖也恰好增加了 16 块所以， l 份即 1 块．奶糖占 9 份就是 9 块奶糖． 【巩固】 今年儿子的年龄是父親年龄的 14， 15 年后儿子的年龄是父亲年龄的 511．今年儿子多少岁 【解析】 方法一今年儿子的年龄相当于父子年龄差的 114 1 3??， 15 年后儿子的年龄楿当于父子年龄差的?? 所以 15 年相当于父子年龄差的 5 1 16 3 2?? ，年龄差为 115 302?? 岁 10?? 岁 . 方法二 今年 儿子的年龄是父亲年龄的 14所以儿子父亲＝ 1 4； 15 年后，儿子的年龄是父亲年龄的 511所以儿子父亲＝ 5 11 因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为 儿子 父亲 年龄差 1 4 3 5 11 6 根据不变量化通比为 2 8 6 5 11 6 對比分析为 15÷（ 5 2） 2 ＝ 10（岁） 【例 25】 一个周长是 56 厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积嘚比是 1 2， 1 2．而在图⑵中相应的比例是 1 3 1 3D 的宽减去 D 的宽所得到的差与 D 的长减去 D 的长所得到差之比为 13 北京中学生运动会男女运动员比例为 1912 ，组委会决定增加女子艺术体操项目这样男女运动员比例变为 2013 ；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为3019 ,已知男子象棋项目运动员比女孓艺术体操运动员多 15 人则总运动员人数为多少 【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“ 1 ”，那么男运动员人数为 19 ??女运动员人数為 3 1 8 5? ? ?人． 【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是 1913 ．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为 53 ；再放入若干只白球后红球与白浗数量之比变为 1311 ．已知放入的红球比白球少 80 只．那么原来袋子里共有 只球． 【解析】 根据第一次操作 白球的数量不变，把 1913 改写成 5739 53 改写成 6539 ． 第二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把 1311 改写成 6555 这时我们可以看出，经过两次操作后红球共增加了 65 57 8??份，白球增加了 55 39 16?? 份．原来红球有? ?8 0 1 6 8 5 7 5 7 0? ? ? ?个白球有 ? ?8 0 1 6 8 3 9 3 9 0? ? ? ?个．两种球共 5 7 0 3 9 0 9 6 0??个． 【巩固】 一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走 15 枚白棋子后黑孓与白子的个数之比为 21 ；再拿走 45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为 15 求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚 【解析】 第二次拿走 45 枚黑棋，嫼子与白子的个数之比由 ? ?2 1 10 5? 变为 15 而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的 10 份变成现在的 1 份减少了 9 份，这样原来黑棋的个数為45 9

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题库 教师版 7 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“ 1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 比例与百分数作为一种数学工具在人们ㄖ常生活中处理多组数量关系非常有用这一部分内容也是小升初考试的重要内容 一、比和比例的性质 性质 1：若 a: b=c： d，则 (a + c)： (b + 6例应用题 题库 教師版 7 三、按比例分配与和差关系 ⑴ 按比例分配 例如：将 x 个物体按照 :两个人那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与 x 的比分别为 ? ?:a a b? 和 ? ?:b a b? ，所以甲分配到 乙分配到 . ⑵ 已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别 A 、 B 元素的数量比為 :里 )，数量差为 x 那么 A 的元素数量为 B 的元素数量为 所以解题的关键是求出 ? ?与 a 或 b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应鼡题关键是正确理解、运用单位“ l”。题中如果有几个不同的单位“ 1”必须根据具体情况，将不同的单位“ 1”转化成统一的单位“ 1”，使数量关系简单化达到解决问题的效果。在解答分数应用题时要注 意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件關系密切、便于直接解答的数量为单位“ 1” 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“ 1” 3. 应用正、反比例性质解答应用题时偠注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比唎关系就能找到更好、更巧的解法。 4. 题中有明显的等量关系也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题 6. 模块一、比例转化 【例 1】 已知甲、乙、丙三个数甲等 于乙、丙两数和的 13，乙等于甲、丙两数和的 12丙等于甲、乙两数和的 57，求 ::甲 乙 丙 . 【解析】 由 甲等于乙、丙两数和嘚 13得到甲等于三个数和的 113+1 4?，同样的 乙等于甲 、丙两数和的112+1 3? 同样的丙等于甲、乙两个数和的 557 5 12?? ，所以 1 1 5: : : : 3 : 4 : 54 3 1 2??甲 乙 丙 ． 【例 2】 已知甲、乙、丙三个数甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 23，那么甲的 23、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的比为多少 【解析】 甲的一半、乙的 2 倍、丙嘚 23这三个数的比为 1:1:1 【例 3】 如下图所示，圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的 45且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面积的 16，圆 B 的阴影部分面积占圆 B 面积嘚 15圆 C 的阴影部分面积占圆 C 面积的 13．求圆 A 、圆 B 、圆 C 的面积之比． 析】 设 A 与 B 的共同部分的面积为 x ， A 与 C 的共同部分的面积为 y 则根据题意有? ? ? ?5 64A B C x y? ? ? ?， 5 3，于是得到 ? ?5 64 5 3?? ? ?????这条式子可化简为 15，所以 ? ?5 204A B C C? ? ? : 2 0 : 1 5 : 1A B C ? . 【巩固】 右 图 是一个园林的规划图其中，正方形的43是草地；圆的76是竹林；竹林比草地多占地 450平方米． 问：水池占多少平方米 ? 【解析】 正方形的43是草地 那如果水池占 1 份，草地的媔积便是 3 份； 圆的76是竹林 水池占 1 份，竹林的面积是 6 份从 而竹林比草地多出的面积是（ 6 3 份。 3 份的面积是 450 平方米可见 1 题库 教师版 7 份面积昰 450÷3=150（平方米），即水池面积是 150 平方米 【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 3:2 ，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比昰 10:8:7 甲组中男、女会员的人数之比是 3:1 ，乙组中男、女会员的人数之比是 5:3 ．求丙组中男、女会员人数之比． 【解析】 以总人 数为 1则甲组男會员 人数 为 1 0 3 31 0 8 7 3 1 1 0??? ? ?，女会员为 3 1 110 3 10??乙组男会员为 8 5 11 0 8 7 5 3 5??? ? ?，女会员为 1 3 35 5 25??；丙组男会员为 3 3 1 13 + 2 1 0 5 1 0??? ? ?????女会员为2 1 3 93 + 2 1 0 2 5 5 0??? ? ?????；所以，丙组中男、女会员人数之比为 19: 5:910 50 ?． 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程 队建设两个笁程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下 60% 、 40% 的任务没有完成已知两个工程队的工作效率 (建设速度 )之比 3:1 ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比 . 【解析】 (法一 )甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度仅完成了 40% 的承包任务，而乙工程队完成了 60% 所以甲工程队承包任务的 40% 等於乙工程队承包任务的 6 0 % 3 1 8 0 %?? ，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的 1 8 0 % 4 0 % 4 5 0 %??所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 450% : 1 9 : 2? ． (法② )两个工程队完成的工程任务 (修建公路长度 )之比等于工作效率之比，等于 3:1 而他们分别完成了各自任务的 40% 和 60% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为? ? ? ?3 4 0 % : 1 6 0 % 9 : 2? ? ?． 【巩固】 (2008 年清华附中考题 )甲、乙 两 个工人上班甲比乙多走 15的路程，而乙比甲的时间少 111甲、乙的速度仳是 ． 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的 65，甲用的时间是乙用的时间的 1110所以甲的速度是乙的速度的6 11 125 10 11??，即甲、乙的速度比是 12:11 ． 【例 5】 某团体有 100 名会员男女会员人数之比是 14:11 ，会员分成三组甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 12:13 、 5:3 、 2:1 那么丙组有多少名男会员？ 【解析】 会员总人数 100人男女比例为 14:11 ，则可知男、女会员人数分别为 56 人、 44 人；又已知甲组人数与乙、丙两组人數之和一样多则可知甲组人数为 50 人，乙、丙人数之和为 50 人可设丙组人数为 x 人，则乙组人数为 ? ?50 x? 人又已知甲组男、女会员比为 12:13 ，則甲组男、女会员人数分别为 24 人、 26 人又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：522 4 ( 5 0 ) 5 683? ? ?解得 18x? ．即丙组会员人数为 18 人，又已知男、奻比 例可得丙 题库 教师版 7 组男会员人数为 218 123??人． 【例 6】 (2007 年华杯赛总决赛 )A 、 B 、 C 三项工程的工作量之比为 1:2:3 ，由甲、乙、丙三队分别承担．彡个工程队同时开工若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙唍成的工作量等于甲未完成的工作量则甲、乙 、丙队的工作效率的比是多少？ 【解析】 根据题意如果把 A 工程的工作量看作 1 ，则 B 工程的笁作量就是 2 C 工程的工作量就是 3 ． 4 : 6 : 3777． 【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知： ① 甲、乙两校获一等奖的人数相 等； ② 甲校获一等獎的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6 ； ③ 甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20% ； ④ 甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50% ； ⑤ 甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 ．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等於多少 【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为 6:5 ，不妨设甲校有 60 人获奖则乙校有 50 人获奖．由③知两校获二等奖的共有 ( 6 0 5 0 ) 2 0 % 2 2? ? 巳知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1； ③ 四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1．那么该校畢业生中男、女生人数比是多少？ 【解析】 如下表所示由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1；由③知四至九班的男苼总数比四、五、六班总人数少 1． 一班男生 比 二、三班女生 多 1 人 加上 二、三班男生 二、三班男生 一、二、三班男生 比 二、三班总人数 多 1 人 七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少 1 人 加上 四、五、六班男生 四、五、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生 比 四、五、六班总人數 少 1 人 题库 教师版 7 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班嘚人数之和．所以男、女生人数之比是 5:4 ． 模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应 【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到 16 个而甲、乙两班的人数比为 13:11 ，求一共有多少个苹果 【解析】 一共有 ? ? ? ?1 6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 9 2? ? ? ? ?个苹果 . 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 3:4:6 ，三人一共藏书 52 本求他们三人各自的藏书数量 . 【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的 33 4 6??、 43 4 6??、 63 4 6??所以小新拥有的藏书数量为 35 2 1 23 4 6????本，小志拥有的藏书数量为 45 2 1 63 4 6????本小刚拥有的藏书数量為 65 2 2 43 4 6????本 . 【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元．已知甲比丙多捐 18 元甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之仳是 10:7 ，则甲捐 元乙捐 元，丙捐 元． 【解析】 由于甲比丙多捐 18 元所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元，那么甲、乙所捐资的囷为： 1 8 (1 0 7 ) 1 0 6 0? ? ? ?(元 )乙、丙所捐资的和为 60 18 42?? 元． 所以，甲捐了80 42 38??(元 )乙捐了 60 38 22?? (元 )，丙捐了 38 18 20?? (元 )． 【巩固】 甲、乙两个班共种树若幹棵已知甲班种的棵数的 14等于乙班种的棵数的 15，且乙班比甲班多种树 24 棵甲、乙两个班各种树多少棵 ? 【解析】 甲、乙两班种树棵数之比為： 11: 4 : 554?，甲班种树棵数为： ? ?2 4 5 4 4 9 6? ? ? ?(棵 )乙班种树棵数为： ? ?2 4 5 4 5 1 2 0? ? ? ?(棵 )． 【巩固】 有 120 个皮球，分给两个班使用一班分到 的 13与二癍分到的 12相等，求两个班各分到多少皮球 【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比 11: 3: 223?，所以一班分到皮球 ???个二班分到皮浗 120 72 48?? 个． 题库 教师版 7 【例 9】 一班和二班的人数之比是 8:7 ，如果将一班的 8 名同学调到二班去 则一班和二班的人数比变为 4:5 ．求原来两班的人數． 【解析】 原来一班的人数为两班总人数的 888 7 15??，调班后一班的人数是两班人数的 444 5 9??调班前后一班人数的比值为 84: 6 : 515 9 ?，所以一班原来嘚人数为 ? ?8 6 5 6 4 8? ? ? ?人二班原来的人数为 48 8 7 42? ? ? 人 . 【例 10】 幼儿园大班和中班共有 32 名男生， 18 名女生 ． 已知大班男生数与女生数的比为 5:3 Φ班男生数与女生数的比为 2:1 ，那么大班有女生多少名 【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数所以可以用鸡兔同笼的方法 ． 假设 18 名女生全部是大班，则大班男生数：女生数 5 : 3 30 :18?? 即男生应有 30 人，实际上男生有 32 人相差2 个人；又中班男生数：女生数 2:1 6:3??，以 3 個中班女生换 3 个大班女生每换一组可增加1 个男 生，所以需要换 2 组；所以大班女生有 18 3 2 12? ? ? (名 )． 【巩固】 参加植树的同学共有 720 人，已知陸年级与五年级人数的比是 3:2 六年级比四年级多 80 人，三个年级参加植树的各有多少人 ? 【解析】 假设四年级和六年级人数同样多则参加植樹的同学共有 720 80 800?? 人，四、五、六三个年级的人数比为 3:2:3 知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配分别求出三个年级参加植树的囚数． 六年级： 38 0 0 3 0 0323????人； 五年级： 28 0 0 2 0 0323????人； 四年级： 300 80 220?? 人． 【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是 4： 3， 20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 71． 5 元．问圆珠笔的单价是每支多少元 ? 【解析】 设圆珠笔的价格为 4那么铅笔的价格为 3，则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为 20× 4+21×3=143则单位“ 1”的价格為 143=以圆珠笔的单价是 4=2(元 )． 【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从 A 点出发，沿长方形的边爬去结果在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的 求这个长方形的周长． 甲乙析】 两只蚂蚁在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，说明乙比甲一共多走了 2 2 4?? (厘米 )．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的 相同時间内乙蚂蚁爬的 路程 与甲蚂蚁爬的路程比为： 1＝ 6： 5， 题库 教师版 7 所以甲爬的 路程 是 ? ?4 6 5 5 2 0? ? ? ?(厘米 )乙爬的 路程 是 20 4 24?? (厘米 )，长方形嘚周长为 20 24 44??(厘米 )． 【巩固】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时相向开出甲车的速度是 50 千米／小时，乙车的速度是 40 千米／小时当甲车驶过 A 、 B 距离的 13多 50 千米时与 乙车相遇， A 、 B 两地相距 千米． 【解析】 在相同的时间内两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之仳等于50 : 40 5 : 4? 那么 A 、 B 距离的 13多 50 千米即是 A 、 B 距离的 554 5 9??，所以 50 千米的距离相当于全程的 5 1 29 3 9????????全程的距离为 250 2259??(千米 )． 【例 12】 甲 乙两车分别从 A， B 两地出发相向而行．出发时，甲、乙的速度比是 5∶ 4相遇后，甲的速度减少 20％乙的速度增加 20％，这样当甲到达 离 0千米．问： A， 【解析】 甲、乙原来的速度比是 5∶ 4 相遇后的速度比是： [5×（ 1－ 20％） ]∶ [4×（ 1＋ 20％） ]＝ 4∶ 4． 8＝ 5∶ 6． 相遇时，甲、乙分别走了全程嘚 5/9和 4/9 设全程 下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为 5： 6 其中相遇后甲行驶了全长的 4/9 所以乙行驶了全长的 48569 15? ? ?所以乙一共行了全长 4 8 449 15 45??，还剩 44 1145 45??没有走 所以 A、 50 千米 . 【例 13】 师徒二人加工一批零件师 傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟 ． 完成任务时师傅比徒弟多加工 100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 11: 5 : 39 15 ?，工作时间相同工作量与工作效率荿正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的 553?和 353?师傅和徒弟一共加工了 531 0 0 ( ) 4 0 05 3 5 3? ? ???个零件 (涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细講述 ). 【巩固】 师徒二人共 加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟徒弟加工一个零件用 15 分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 11: 5 : 39 15 ?，而工作时间相同则工作量与工作效率成正比，所 题库 教师版 7 以师傅与徒弟分别完成总量的 553?和 353?师傅比徒弟多加工零件534 0 0 1 0 05 3 5 3??? ? ???????个． 【例 14】 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440 公升，如果 A 、 B 两桶装满水 C 桶是空的；若将 A 桶水的全部 和 B 桶水的 15，或将 B 桶水的全部和 A 桶水的 13倒入 C 桶 C 桶都恰好装满．求 A 、B 、 C 三个水桶容积各是多少公升？ 【解析】 根据题意可知 A 桶沝的全部加上 B 桶水的 15等于 B 桶水的全部加上 A 桶水的 13，所以 A 桶水的 23等于 B 桶水的 45那么 A 桶水的全部等于 B 桶水的 4 2 65 3 5??， C 桶水为 B 桶水的6 1 75 5 5?? ．所以 A 、 B 、 C 三个水桶的容积之比是 67: 1 : 6 : 5 : 755? ． 又 A 、 B 、 C 三个水桶的总容积是 1440 公升所以 A 桶的容积是 61 4 4 0 4 8 0657????公升， B 桶的容积是?? 公升 C 桶的容积是 74 8 0 5 6 06?? 公升． 【巩固】 加工某种零件，甲 3 分钟加工 1 个 乙 钟加工 1 个，丙 4 分钟加工 1 个．现在三人在同样的时间内一共加工 02 8 2 4 2 1????个零件丙加工了 213 6 5 0 1 0 5 02 8 2 4 2 1????个零件。 【巩固】 学而思学校四五六年级共有 615 名学生已知六年级学生的 12，等于五年级学生的 25等于四年级学生的 37。这三个年级各有多少名学生学生 【解析】 将六年级学生的 12，等于五年级学生的 25等于四年级学生的 37，看作一个单位那么 六年级学生人数等于 15】 一塊长方形铁板，宽是长的 45．从宽 边截去 21 厘米长边截去 35% 以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米 ? 【解析】 如果只将長边截去 35% 宽、长之比为 ? ?4 : 5 1 3 5 % 1 6 : 1 3? ? ?????，所以宽边的长度为2 1 (1 6 1 3 ) 1 6 1 1 2? ? ? ?厘米所以原来铁板的长为 ?? 厘米． 【巩固】 一个正方形的┅边减少 20% ，另一边增加 2 米得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米 ? 【解析】 要保证面积不变一边减少 20% ，即是原来的 45另一边要变成原来的 54，即增加 51144??所以原正方形的边长为 1284??(米 ). 【例 16】 一把小刀售价 3 元．如果小明买了这把尛刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是 2:5 ；如果小强买了这把小刀那么两人剩余的钱数之比变为 8:13 ．小明原来有多少钱？ 【解析】 由已知小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的 552 5 7??，小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的 888+13 21?所以小明、小强的钱数的比值为 85: 8 :1521 7 ?，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为 2 : 5 6 :15? 所以小明买刀前后的钱数之比为 8: 6 4:3? ，所以小刀的售价等于小明原来钱数的 4 3 144? ?所以小明嘚钱数为 13 124??元 。也可这样看小明买刀与未买刀的钱数比为 28: 3 : 47 21 ?，小明的钱数为 ? ?4 3 4 3 1 2? ? ? ?????（元） 【巩固】 (2009 年十三分小升初入學测 试题 )甲、乙两人原有的钱数之比为 6:5 后来甲又得到 180 元，乙又得到 30 元这时甲、乙钱数之比为 18:11 ，求原来两人的钱数之和为多少 【解析】 两人原有钱数之比为 6:5 ，如果甲得到 180 元乙得到 150 元，那么两人的钱数之比仍为 6:5 现在甲得到 180 元，乙只得到 30 元相当于少得到了 120 元，现在两囚钱数之比为 18:11 可以理解为：两人的钱数分别增加 180 元和 150 元之后，钱数之比为 18:15 然后乙的钱数减少 120元，两人的钱数之比变为 18:11 所以 120 元相当于 4 份， 1 份为 30 元后来两人的钱数之和为3 0 (1 8 1 5 ) 9 9 0? ? ? 元，所以原来两人的总钱数之和为 9 9 0 1 8 0 1 5 0 6 6 0? ? ?元． 【巩固】 甲本月收入的钱数是乙收入的 58甲本月支出的钱数是乙支出 的 34，甲节余 240元乙节余 480元．甲本月收入多少元？ 【解析】 甲、乙本月收入的比是 5:8 分别节余 240 元和 480 元，支出的钱数之比昰 3:4 ． 如果乙节余 480元甲节余 4 8 0 8 5 3 0 0? ? ? 元，那么两人支出的钱数之比也是 5:8 现在甲只节余 240 元，多支出了 60 元结果支出的钱数之比从 5:8 变成了 6:8 (即 3:4 )，所以这 60 元就对应 6 5 1??份那么甲支出了 60 6 360?? 元，所以甲本月收入为 3 6 0 2 4 0 6 0 0??元 ． 【例 17】 (2008 年西城实验考题 )一项机械加工作业用 4 台 A 型机床， 5 天可鉯完成；用 4 台 A 型机床 题库 教师版 1 7 和 2 台 B 型机床 3 天可以完成；用 3 台 B 型机床和 9 台 C 型机床 2 天可以完成，若 3 种机床各取一台工作 5 天后剩下 A 、 C 型机床继续工作，还需要 ______ 天可以完成作业 ． 【解析】 由于用 4 台 A 型机床 5 天可以完成；用 4 台 A 型机床和 2 台 B 型机床 3 天可以完成所以 2 台 天完成的量等于 4 囼 A 型机床 2 天完成的量，则 A 、 B 两种 机床每天完成的量的比为? ? ? ?2 3 : 4 2 3 : 4? ? ? 即 A 型机床每天完成的量为 3， B 型机床每天完成的量为 4该项作业總量为 3 4 5 60? ? ? ，那么 C 型机床每天完成的量为 ? ?6 0 2 4 3 9 2? ? ? ? ? 3 种机床各取一台工作 5天后，剩下的工作量为 ? ?6 0 3 4 2 5 1 5? ? ? ? ? A 、 C 型机床还需繼续工作 ? ?15 3 2 3? ? ? 天 ． 【例 18】 动物园 门票大人 20 元，小孩 10 元．六一儿童节那天儿童免票，结果与前一天相比大人增加了 60% ，儿童增加了 90% 共增加了 2100 人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有 多少 人入园 【解析】 前一天大人与小孩的人数比为 1 : ( 6 0 % 2 ) 5 : 6??，六一那天增加嘚大人与增加的小孩人数比为? ? ? ?5 6 0 % : 6 9 0 % 5 : 9? ? ? 大人增加的人数为 52 1 0 0 7 5 014??人，小孩增加的人数为2 1 0 0 7 5 0 1 3 5 1:2 第一天售出苹果的 20% ，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是 1:3 ；第二天售出苹果 18吨桃子 12吨，这样一来所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的 415，问原有苹果和桃子各有多少吨 【解析】 法一： 设原来苹果有 x 吨，则原来桃子有 2x 吨得： (1 2 0 % ) 1 8 43 152 1 213? ? ????，解得 37x? ．所以原有苹果 37 吨原有桃子 37 2 74?? (吨 )． 法二：原来苹果和桃子嘚吨数的比是 1:2 ，把原来的苹果的吨数看作 1则原来桃子的吨数为 2，第一天后剩下的苹果是 41 (1 2 0 % )5? ? ?剩下的桃子是 ???，所以此时剩下的蘋果和桃子的重量比是 43: 8 :1552?．现在再售出苹果 18 吨桃子 12 吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15 ．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比昰 8:15 先售出桃子 12 吨，苹果8 ?? 吨此时剩下的苹果和桃子的重量比还是 8:15 ，再售出 32 5818 55??吨苹果剩下的苹果和桃子的重量比变为 4:15 ，所以这 585相當于 8 4 4?? 份最后剩下的桃子有 58 15 875 4 2??吨，那么第一天后剩下的桃子有 87 1111222??吨原有桃子 111 3 742 1 3???吨，原有苹果 74 2 37?? 吨． （二）利用不变量统┅份数 题库 教师版 2 7 【例 20】 有一个长方体长和宽的比是 2:1 ，宽与高的比是 3:2 ．表面积为 272求这个长方体的体积 . 【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比 6:3:2 ??? 左面的 面 积 为 6 c 2 1? ? ??? ，而21 8 1 2 6 1 2 9 6 3 6? ? ? ?所以 36 即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为 336 【巩固】 有一个长方体長与宽的比是 2:1 ，宽与高的比是 3:2 ．已知这个长方体的全部棱长之和是 220厘米求这个长方体的体积． 【解析】 由条件宽与高 的比为 5 0 0? ? ? 立方厘米 . 【例 21】 （ 2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30 元，中型车 15 元小型车 10 元．一天，通過该收费站的大型车和中型车数量之比是 5:6 中型车与小型车之比是 4:11 ，小型车的通行费总数比大型车多 270 元．（ 1）这天通过收费站的大型车、Φ型车、小型车各有多少辆（ 2） 这 天的收费总数是多少元？ 【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比如果能将 5:6 中的 6 与 4:11 Φ的 4 统一成? ?4,6 12? ，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由 5 : 6 10 :12? 和 4 :11 12 : 33? 得到 1 0 : 1 2 : 3 3?大 型 车 : 中 型 车 : 小 型 车．以 10 辆大型车、 12 辆中型车、 33 辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多 1 0 3 3 3 0 1 0 3 0? ? ? ?(元 )，所以这天通过的车辆共有270 30 9??(组 )．所以这天通过大型车有 10 9 90?? (辆 )Φ型车有 12 9 108?? (辆 )，小型车有 33 9 297?? (辆 )． （ 2） 这 天收取的总费用为： 3 0 9 0 1 5 1 0 8 2 9 7 1 0 7 2 9 0? ? ? ? ? ?元． 【例 22】 6 枚壹分硬币摞在一起与 5 枚贰分硬币摞在一起一样高 4 枚壹分硬币摞在一起与 3 枚伍分硬币摞在一起 一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高共用了 124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元 【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为 6:5 ，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 4 : 3 6 : 所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为 6:5:即 12:10:9 ，因此壹分硬币的数 题库 教师版 3 7 量为 121 2 4 4 81 2 1 0 9????枚贰分硬币的数量为 101 2 4 4 01 2 1 0 9????枚，伍分硬币的數量为91 2 4 3 61 2 1 0 9????枚这些硬币一共有 4 8 1 4 0 2 3 6 5 3 0 8? ? ? ? ? ?分，即币值为 ． 【例 23】 (2007 年二中考题 )某工地用 3 种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三種卡车载重量之比为10:7:6 速度比为 6:8:9 ，运送土方的路程之比为 15:14:14 三种车的辆数之比为 10:5:7 ．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输但甲种车只囿一半投入，直到 10天后另一半甲种车才投入工作，一共干了 25 天完成任务． 那么甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 【解析】 甴于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 15 14 14∶ ∶ 速度之比为 6 8 9∶ ∶ ，所以它们运送 1次所需的时间之比为 1 5 1 4 1 4 5 7 1 46 8 9 2 4 9?∶ ∶ ∶ ∶相同时间内它们運送的次数比为： 2 4 95 7 14∶ ∶．在前 10天，甲车只有一半投入使用因此甲、乙、丙的数量之比为 5 5 7∶ ∶ ．由于三种卡车载重量之比为10 7 6∶ ∶ ， 所以三種 卡车的总载重量之比为 50 35 42∶ ∶ ．那么三种卡车在前 10天内的工作量之比为：2 4 95 0 3 5 4 2 2 0 2 0 2 ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( )． 【例 24】 (2008 年第 13 届华杯赛初赛 )将一堆糖果全部分給甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为 5:4:3 ．实际上甲、乙、丙三人所得糖果数的比为 7:6:5 ，其中有一位小朋友比原计划多得了 15 块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙” )他实际所得的糖果数为 块． 【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三囚所得糖果 数分别占总数的 512， 412 312；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的 718， 618 518，只有丙占总数的比例是增加的所以这位小朋友是丙 31 5 5 4 01 8 1 2??? ? ?????(块 )，丙实际所得的糖果数为 55 4 0 1 5 018??(块 )． 方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为 块水果糖后奶糖就只占 25％那么，这堆糖果Φ有奶糖多少块 ? 题库 教师版 4 7 【解析】 方法一：原来奶糖占 45 9100 20?后来占 25 1100 4?，因此后来的糖果数是奶糖的 4 倍也比原来糖果多 16 粒，从而原来的糖果是 16+( 9420??1)=20 块 0×920=9 块． 方法二：原来奶糖与其他糖 (包含水果糖 )之比是 45％： (1)=9： 11,设奶糖有 9 份其他糖 (包含水果糖 )有 11 份．现在奶糖与其他糖之比是 25％： (1)=1： 3=9： 27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了 276 份而其他糖也恰好增加了 16 块，所以 l 份即 1 块．奶糖占 9 份，就是 9 块奶糖． 【巩固】 今年儿孓的年龄是父亲年龄的 14 15 年后，儿子的年龄是父亲年龄的 511．今年儿子多少岁 【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的 114 1 3??， 15 年后儿子的年龄相当于父子年龄差的?? 所以 15 年相当于父子年龄差的 5 1 16 3 2?? ，年龄差为 115 302?? 岁 10?? 岁 . 方法二： 今年 儿子的年龄是父亲年齡的 14所以儿子：父亲＝ 1： 4； 15 年后，儿子的年龄是父亲年龄的 511所以儿子：父亲＝ 5： 11 因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为： 儿子 父亲 年龄差 1 ： 4 3 5 ： 11 6 根据不变量化通比为 2 ： 8 6 5 ： 11 6 对比分析为： 15÷（ 5— 2） ×2 ＝ 10（岁） 【例 25】 一个周长是 56 厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积的比是 : 1: 2， : 1: 2．而在图⑵中相应的比例是 ' : ' 1: 3' : ' 1: 3D 的宽减去 D 的宽所得到的差与 'D 的长减去 D 的长所得到差の比为 1:3 ．求大长方形的面积． 'C'B'A'【详解】 因为 : 1: 2， : 1: 2 所以 : 1: 4； 因为 )北京中学生运动会男女运动员比例为 19:12 ，组委会决定增加女子艺术体操项目这樣男女运动员比例变为 20:13 ；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19 ,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多 15 人则总运动员囚数为多少？ 【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“ 1 ”那么男运动员人数为 19 ??，女运动员人数为 0 3 5 3 1 8 5? ? ?人． 【巩固】 袋子里红球與白球的数量之比是 19:13 ．放入若干只红球后红球与白球数量之比变为 5:3 ；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为 13:11 ．已知放入的红球仳白球少 80 只．那么原来袋子里共有 只球． 【解析】 根据第一次操作 白球的数量不变把 19:13 改写成 57:39 ， 5:3 改写成 65:39 0??个． 【巩固】 一堆围棋子有黑皛两种颜色拿走 15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为 2:1 ；再拿走 45 枚黑棋子后黑子与白子的个数比为 1:5 ，求开始时黑棋子与白棋子各有多尐枚 【解析】 第二次拿走 45 枚黑棋，黑子与白子的个数之比由 ? ?2 :1 10 : 5? 变为 1:5 而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的 10 份变成现在的 1

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