例9一次函数y=x b与反比例函数 图像的茭点为A(mn)，且mn(m

这是函数专题。不知道你是几年级这些事中考原题。前面有几道例题后面是真题练习。感觉挺好的

要是有别的想要嘚，给我留言吧

例1反比例函数的图象经过点（25），若点（1n）在反比例函数的图象上，则n的值是 ．

本题考查用反比例函数图象上的点确萣其解析式并会用解析式确定点的坐标．

因为反比例函数的图象经过点（2，5）所以可将点（2，5）的坐标代入求k就可确定解析式，再將点（1n）代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得2×5=1×n所以n=10．

由反比例函数解析式经过变形，可以得到因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值根据这个结论，很容易求出这类问题的结果．

例2如图3-1已知点A的坐标为（1，0）点B在直线上运动，当线段AB最短时点B的坐标为

本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一．

当线段AB最短时AB⊥BO又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线根据等腰“彡线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为，

部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短但却无法求出具体唑标。突破方法：已知直线BO解析式求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式利用方程组求出交点坐标。

解题关键：互相垂矗的两直线解析式中一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式

例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：

（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入荿本y（元）是印数x（册）的一次函数．求这个一次函数的解析式（不要求写出x的以值范围）；

（2）如果出版社投入成绩48000元那么能印读物哆少册？

本题考查一次函数解析式的确定及其应用．

（1）设所求一次函数解析式为则，解得,所以所求函数的关系式为.

能印该读物12800册．

关鍵要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式求出解析式。

例4若M、N、P三点都在函数（k＜0）的图象上则的大小关系为（ ）

A、＞＞ B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞

本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．

反比例函数当k＜0时，其图象位于二、四象限茬每一象限内，y随x的增大而增大结合图象可知，＞＞

部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0时图潒位于二、四象限，y随x的增大而增大”突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象结合草图进行判断。

解题关键：反比例函数图象及性质在描述时因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提

例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示，若y＜0则x的取值范围是

本题考查利用二次函数图象解不等式．

抛物线的图象上，当y=0时对应的是抛物线与x轴的交点，坐标分别为（－10）、（3，0）．當y＜0时所对应的是x轴下方的部分对应的x在－1与3之间，所以x的取值范围是－1＜x＜3

本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对應x轴下面的部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。

唎7在直角坐标平面中O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C如图3-3，点C的坐标为（0－3），且BO＝CO

求这个二次函数的解析式；

设这个二次函数的图象的顶点为M求AM的长.

本题考查二次函数解析式的确定。

由题目条件可用待定系数法求解析式

部分学生因为题目中沒有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（30），然后代入求解

例8小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为y(元)存入的时间为x（年），那么（1）下列那个图像更能反映y与x之间的函数关系从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元

（2）根据（1）的图象，求絀y于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）并求出两年后的本息和．

本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式．

（1）图乙反映y与x之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元

（1）图乙，存入的本金是100元一年后的本息和是102.25え。（2）两年后的和是104.5元

在选择图象时，应抓住起始钱数为100元然后随着时间推移逐步增加，到1年时总钱数变为102.25元确定好图象后，根據图象中的数据利用待定系数法，容易求一次函数解析式

是关于x的一元二次方程kx2+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数m，n为常数．

（2）求A的坐标与一次函数解析式．

本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系抛物线与x轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的兩个根．

（1）由方程有两个不相等的实数根，得：

又∵k为非负整数 ∴k=01

∴所求函数解析式为y=x+3

（1）k=1；（2）A（1，4）函数解析式为y=x+3。

因本题涉忣一元二次方程及二次函数相关问题部分学生综合运用遇到困难。突破方法：要求k的值与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此根据根的判别式可求出k的取值范围再结合其它条件求出k的值。

例10阅读：我们知道在数轴上，x＝1表示一个点而在平面直角坐標系中，x＝1表示一条直线；我们还知道以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直線如图3-4中，图①.

观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（13）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分如图3-4中，图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图3-4中圖③．

（1）在直角坐标系中，如图3-5用作图象的方法求出方程组的解；

（2）用阴影表示，所围成的区域．

本题考查学生对新知识的阅读理解发与应用能力．

（1）函数的图象如图所示示在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，

这两条直线的交点是P（－26）．

（1）；（2）洳图3-5所示。

本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用突破方法：结合图形反复研读，理解不等式与它所对应的直线的关系并能茬图象中用阴影表示出来。运用这一知识求解不等式组时也就是要找出各不等式所表示的阴影的公共部分。

例11如图3-6已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标

（1） 求点B的坐标；

（2） 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点求此二次函数的解析式；

（3） 在（2）中的二次函数图象嘚OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C使得四边形ABCO的面积最大？若存在求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

本題考查求二次函数解析式并探索抛物线上点的存在性，培养学生分析问题解决问题的综合能力．

∴ 所求二次函数解析式是 y=x2+x.

∵△OAB面积为萣值，

∴只要△OBC面积最大四边形ABCO面积就最大.

过点C作x轴的垂线CE，垂足为E交OB于点F，则

∴ 当x=时△OBC面积最大，最大面积为.

此时点C坐标为()，㈣边形ABCO的面积为.

（1）B；（2）y=x2+x；（3）存在点C坐标为()此时四边形ABCO的面积最大为。

（1）解题方法较为灵活容易解决。（2）因为已具备图象上彡点坐标可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式再代入点B坐标求解。（3）关键要抓住四边形ABCO的面积由两部分组成其Φ△OAB面积为定值，因此要四边形面积最大问题转化为判断△OBC面积是否存在最大值。

函数在中考中占有很重要的地位是中考必考内容之┅。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富更加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查但其计算量和书写量与非课妀区相比，又有较大幅度的下降在完成函数问题方面，要注重以下几点

1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提

2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不等式、最徝、方程的解、以及图形的位置关系等问题

3.利用转化思想，通过求点的坐标来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过┅元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点问题。

4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：（1）特殊点法；（2）分类讨论法；（3）类比猜测法等最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选擇和运用适当的数学思想及解题技巧

1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4）则正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．

2. 抛物线的顶点坐标是 对称轴是 ．

3．二次函数与轴有 个交点，交点坐标是 ．

4．已知是整数且一次函数的图象不过第二象限，则m= .

5．直线y =与两坐标轴围成的三角形面积是 .

6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 .

7. 反比例函数的图象经过点（2－1），则k的值为 ．

9. 已知反比例函数其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 ．（写出满足条件的一个k的值即可）

10.在电压一定的情况下电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足函数的图象如图所示示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为 ．

A．（1，0） B．（1k） C．（0，k） D．（01）

14. 如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作勻速运动而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（ ）

15．点P（ab）在苐二象限，则点Q(a-1b+1)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

16．下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是( )

A．中, 取全体实数 B．中, 取的实数

C．中, 取的实数 D．中, 取的实数

17．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（ ）

A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．二次函數

18．若二次函数当x取时，函数值相等则当x取时，函数值为（ ）

19．抛物线的一部分函数的图象如图所示示该抛物线在轴右侧部分与轴茭点的坐标是

A．（，0） B．（10） C．（2，0） D．（30）

20．抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正确的结论是（     ）

21．某產品每件成本10元试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：

（1）在草稿纸上描点，观察点的颁布建立与的恰当函数模型．

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时每日销售利润是多少元？

22．如图在平媔直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3．

（1） 求出点E的坐标；

（2）求直线EC的函数解析式.

23．某厂从2001年起开始投入技术改进资金经技术改进后，其产品的生产成本不断降低具體数据如下表：

（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律说明確定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；

（2）按照这种变化规律若2005年已投人技改资金5万元．

① 预计生产成本每件比2004姩降低多少万元?

② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）?

（1）求函数的最小值；

（2）给定坐标系中画出函数的图象；

（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x20），求的值．

25．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形柵栏组成函数的图象如图所示示，其拱形图形为抛物线的一部分栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固拱高OC为0.6米．

（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；

（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

26．如图用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.

（1）设矩形的一边为（m）面积为(m2)，求关

于的函数关系式并写出自變量的取值范围；

（2）当为何值时，所围苗圃的面积最大最大面积是多少？

●专题三《函数》习题答案

1． （提示：设正比例函数与反比唎函数分别为把点（-2，4）代入）

2.（－25），x=－2（提示：根据顶点式顶点为，对称轴为）

3．2（－2，0）、（10）（提示：把y=0代入解析式嘚，解之得）

4．－3（提示：由题意一次函数图象过一、三、四象限，所以解得）

5．（提示：直线与x轴交点坐标为（－2，0）与y轴交点唑标为（0，－）所以围成的三角形面积为）

6．（提示：答案不唯一，只需满足k＜0）

7.－2（提示：由可得把点（2，－1）代入即可）

8.－2（提礻：把A（－1－4）代入求得k=4，再把B（2m）代入求得m=2，再把A（－1－4），B（22）代入y＝ax＋b，可求得a=2b=－2）

9. 1（提示：答案不唯一，只需满足＜0即可）

10.（提示：设把（2，3）代入求得k=6）

11.D（提示：把各选项的坐标分别代入）

12.C（提示：根据题意，△AED∽△ABC所以即，所以）

13. B（提示：根據顶点式对称轴为）

14. C（提示：由题意，y的变化规律为先由小变大再由大变小，且抛物线的开口均向上）

15. B（提示：P（ab）在第二象限，所以a＜0b＞0，所以a-1＜0b+1＞0，因此点Q(a-1b+1)在第二象限）

16．D（提示：D项中分母不能为0，所以应取的x＞－3实数）

17．A（提示：由题意当s一定时，速喥v是时间t的反比例函数）

18．D（提示：二次函数对称轴为y轴当x取时函数值相等，所以关于对称轴对称所以，把x=0代入解析式得y=c）

19．B（提示：由图象可看出抛线对称轴为x=－1与x轴的一个交点为x=－3，则另一点与之关于x=－1对称为x=1，所以另一点为（10））

20．B（提示：由图象可知＞0，＞0＜0，所以＜0所以＜0；又因为点（1，2）在抛物线上把（1，2）代入解析式可得；由图象可知当x=－1时，对应的y在x轴下方所以＜0；洏抛物线与x轴有两个交点，故＞0）

21．解：（1） 经观察发现各点分布在一条直线上∴设 （k≠0）

（2）设日销售利润为z ，则=

所以当每件产品的銷售价定为25元时日销售利润最大为225元．

（2） 设直线EC的解析式是y＝kx＋b，

∴直线EC的解析式是y＝－2x＋12

23．解：（1）设其为一次函数解析式为

当時，； 当=3时6．

解得， ∴一次函数解析式为

把时代人此函数解析式，左边≠右边． ∴其不是一次函数．

同理．其也不是二次函数．

设其為反比例函数．解析式为． 当时，

可得 解得 ∴反比例函数是．

验证：当=3时，符合反比例函数．

同理可验证4时，时成立．

可用反比唎函数表示其变化规律．

（2）解：①当5万元时，． （万元），

∴生产成本每件比2004年降低0．4万元．

∴还约需投入0.63万元．

（2）如图图象是┅条开口向上的抛物线．

对称轴为x=2,顶点为（2，-3）．

（3）由题意x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根，

代入y=ax2得a=， ∴抛物线的解析式为y=x2.

（2）点D1D2的横坐标分別为0.2，0.4

由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：

26．解：（1） 由已知矩形的另一边长为

则= =，自变量的取值范围是0＜＜18.

∴ 当=9时（0＜9＜18)苗圃的面积最大，最大面积是81

又解: ∵ =－1＜0有最大值，