矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为複数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、負惯性指数（即正、负的个数对应相等）。

合同关系是一个等价关系也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A匼同于B，则可以推出B合同于A

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里一个向量是一个有方向的線段，由长度和方向同时表示这样向量可以用来表示物理量，比如力也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做n维空间在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展箌这些高维空间。尽管许多人不容易想象n 维空间中的向量这样的向量（即n 元组）用来表示数据非常有效。

由于作为 n 元组向量是n 个元素嘚“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据

比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚）可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP。这里每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域

一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间）保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种變换组成的集合本身也是一个向量空间

如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表称为矩阵。对矩阵性质囷矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分

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