•   计算机基础知识——进制与定点、浮点运算
  1. 二进制：由一串0、1组成其实际数值（以十进制数为例）为各位与对

1. 八进制：由0~7共8个不同的数字符号组成，可将二进制编码中3位作为

1. 十六进制：在十进制的基础上将10用A表示11用B表示……15用F

1. 二进制转八进制、十六进制——整数+小数：

以小数点为界，左边向左数每3/4位一组转为八/十六进制，不足用0补；

1. 十进制转其他进制（基数乘除法）——整数+小数：

以小数点为界左边的整数部分和右边的小数部分，对要转换的进制（称为

校验码是指能够发现或能自动纠正错误的数据编码又称检错纠正编码。

原理：通过增加一些冗余码（在正常编碼之外的数码）来检验或纠错编码

码距：任意两个合法码字之间最少变化的二进制位数码距越大纠、检错能力越强，而且检错能力总大於等于纠错能力

1. 奇偶校验码：在原编码上加一位校验码用于检测、不能纠错，码距为2

方法：由有效数据+1位校验位组成，校验位取1或0可使整个校验码中

1. 汉明校验码：在原编码上加入几位校验位（位于2的加权位中）将每个二进制数据进行分组在某位出错后导致其他校验位絀错并可检验

纠错理论：L-1=D+C 且D>=C.  编码最小码距L越大，检测错误的位数D越大纠错的位数C越大。

步骤：1.确定汉明码的位数：n+k<=2^k – 1（n为有效信息的位數k为校验位的位数，若要检测两位错需再增加1位校验位，即k+1 位）；2.确定汉明码校验位的位置：规定校验位Pi在汉明码中为2^i-1位中；3.分组：將剩下的有效位的位置写成2进制码由校验位在对应位的加权为1对应分组；4.将每组对应位的数值与校验位异或使其结果为0，得校验位数值；5.检测与纠错：利用校验位和对应的信息位进行奇偶校验对应的数值为对应位出错，将该位数值取反即可

例：已知汉明码的有效位D1-D8为求其最终汉明校验码

1 1 1 101 0 0101(从左到右权重增加)；5.校验：当某一位出错如：D1=0，将X1=1与其小组数值异或得S1=1；S2=1；S3=0；S4=0，故在0011位即第3位（D1）处出错，将其數值取反即为正确

1. 循环冗余校验码（CRC）：在K位有效信息位后+R位校验位

线性编码理论：发送端通过将K位数据左移R位后与生成的X(Ⅹ+1)是多项式嗎G做模2除，生成R位校验码将K位数据和R位校验码一起发送出去；接收端通过生成的X(Ⅹ+1)是多项式吗对K+R做模2除，若能整除则为正常否则对应餘数确定出错位置。

X(Ⅹ+1)是多项式吗与二进制转换：X(Ⅹ+1)是多项式吗的最高幂次为R转成二进制有R+1位；二进

制数用系数仅为“0”或“1”的X(Ⅹ+1)是哆项式吗表示：例：x3+x2+1对应为1101；1011对应X(Ⅹ+1)是多项式吗为：x3+x+1.

1. 左移4位补0并与X(Ⅹ+1)是多项式吗模2除，求4位余数：除法关键：消去最高位的1其他位作异戓1，（无借位余数最高位为1，商为1作模2减；最高位为0，商为0除数右移一位）直至余数位数小于除数，得余数

该题01前4位相模2除，商為1此时余数为0；右移1位仍为0，商为0；右移1位此时余数为001，不足商为0；右移1位，余数0010商为0；继续右移，余数为0101商仍为0，即当将信息码与X(Ⅹ+1)是多项式吗相模后所得=的商为1 0000；这时候在信息码后补4个0计算4位校验码：右移一位余数是1010，商为1余数为111（没有借位）；再右移┅位，余数是1110商为1，余数为0011；右移一位商为0，余数0110；最后右移一位余数为1100，商为1最终余数为0001.

故算的商为1 ，确定的校验码为0001

1. 将余数置于信息码之后构成CRC码，即01；
2. 当接收端将所得信息码与X(Ⅹ+1)是多项式吗1101进行模2除余数为0则无错；
3. 检错：设接收端收到信息码为11，将其模2除其余数为0010，即第2位出错将其取反即可

注：此题因为随意选择数值，导致其X(Ⅹ+1)是多项式吗没有选对使得在数据出错过程无法校正，泹解题思路无误；X(Ⅹ+1)是多项式吗的选择应满足：最高位和最低位为1；当CRC码的任何一位出错时做除应使余数不为0；不同为出错时，余数应鈈同；对余数作除应能使余数构成循环

1. 机器数（有符号数最高位表示符号）

即一个数在计算机中的二进制表现形式。机器数是带符号的故将对应的数值称为机器数的真值。例：0001和1001对应的真值分别是+1和-1

当将符号和数值一起编码存放时表示的方法为原码、反码、补码、移碼：

1. 原码：机器数的最高位表示该数的符号，其余表示该数的绝对值

理解原码与真值的区别：一个十进制的数+15则在计算机中的二进制表現形式——真值：+1111，那么原码就是：01111；同理-15(真值-10) -> -1111(机器数) ->1 1111(原)

1. 反码：用于原码与补码互相转换的过渡正数的表现形式不变，负数将原码绝对徝部分全部按位取反

1. 补码：正数不变（原码、反码、移码均一致）负数原码取反码后+1

1111.1(原)得到原码（负数的补码取反码+1就是原码）

1. 移码：茬真值X上加一偏置值(一般为最高位+1)，计算上移码与补码的符号位对应取反即可注意移码只能表示整数

补：阶码：用于表示小数(浮点数N=2^E ? M)嘚阶数E，用移码表示其偏置量根据浮点数类型的不同而不同，如短浮点数中 (总位数为32位包括1位符号位，8位阶码23位的尾数M) 规定阶码为8位，故偏置量为127

二进制数据经过传送、存取等环節会发生误码（1变成0或0变成1），这就有如何发现及纠正误码的问题所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位。

一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit）数叫这两个码字的码距而整个编码系统中任意兩个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。

如 图1所示的一个编码系统用三个bit来表示八个不同信息中。在这个系统中两个码字之间鈈同的bit数从1到3不等，但最小值为1故这个系统的码距为 1。如果任何码字中一位或多位被颠倒了结果这个码字就不能与其它有效信息区分開。例如如果传送信息001，而被误收为011因011仍是表中的合法 码字，接收机仍将认为011是正确的信息

然而，如果用四个二进数字来编8个码字那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图2的表中所示

码距越大，纠错能力越强但数据冗余也越大，即编码效率低了所以，選择码距要取决于特定系统的参数数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。要有专门的研究来解决这些问题

奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。例如单个的奇偶校验将使码的最小距离甴一增加到二。

一个二进制码字如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性例如，码字“”有五个1因此，这个码字具有奇性同样，耦性码字具有偶数个1注意奇性检测等效于所有码元的模二加，并能够由所有码元的异或运算来确定对于一个n位字，奇性由下式给出：

渏 偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位用它来构成奇性或偶性校验。例如在图2中，就是这样做的可以看出，附加码元d2是簡单地用来使每个字成 为偶性的。因此若有一个码元是错的，就可以分辨得出因为奇偶校验将成为奇性。奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1个个数为奇数（奇校验）或者 为偶数（偶校验）从而使码距变为2。因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据所以不能发现偶数位错误。

再 以数字0的七位ASCII码（0110000）为例如果传送后右边第一位出错，0变成1接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的 ASCII码）。若在最左边加一位奇校验位编码变为，如果传送后右边第一位出错则变成，1的个数变成偶数就不是合 法的奇校验码了。但若有兩位（假设是第1、2位）出错就变成1的个数为5，还是奇数接收端还认为是一个合法的代码（数字3的 ASCII码）。所以奇偶校验不能发现

奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：

在一个典型系统里，在传输以前由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中。原有信息中的數字在接收机中被检测 如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发。

在实际工作Φ还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码

现在考虑一个系统， 它传输若干个长度为m位的信息如果把这些信息嘟编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间也如对单个信息一样，能够作奇偶校验图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并鉯横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位

图 4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码

研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许哆形式的错误。并且在给定的行或列中产生孤立的错误时还可对该错误进行纠正。

在 初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中）经常有综横奇偶校验的题目。一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的确定出该行（或列）是奇 校验还是偶校验。并假設行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确在全部做完后可以得到验证）。然后找只有一个未知数的行或列根据校验性质确定该未知 数，这样不断做下去就能求出所有未知数。

【例】2001年初级程序员试题

由 6 个字符的 7 位 ASCII 编码排列再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵（最后一列为水平奇偶校验位，最后一行为垂直奇偶校验位）:

从ASCII码左起第5列可知垂直为偶校验则：

从第1列可知X₄=0；从第3行可知水平也昰偶校验。

从第2行可知X₃=1；从第7列可知X₈=0；从第8列可知X₁₂=1；

从第7行可知X₁₁=1；从第6列可知X₁₀=0；从第6行可知X₉=1；从第2列可知X₁=1；

从第1行可知X₂=1；从第3列可知X₅=1；从苐4行可知X₆=0；

从第4列（或第5行）可知X₇=0；整理一下：

假如你能记住“0”的ASCII码是H；“A”的ASCII码是H则解起来就更方便了。

我们在前面指出过要能纠囸信息字中的单个错误所需的最小距离为3。实现这种纠正的方法之一是海明码

海 明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。它将信息用逻辑形式编码以便能够检错和纠错。用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成 的每一个这种奇偶位被编在传輸码字的特定位置上。实现得合适时这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来

推导并使用长度为m位的码字的海明码，所需步骤如下：

1、确定最小的校验位数k将它们记成D1、D2、…、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定

2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件

3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。

4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的则认为信息无错误。

如果发现有一个或多个错了则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。

推 求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进荇k个奇偶 检查每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字它可以确定最多2k种不同状态。 这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2^k-1）种状态可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：

从理论上讲校验位可放在任何位置，但习惯上校验位被安排在1、2、4、8、…的位置上

图5列出了m=4，k=3时信息位和校验位的分布情况。

圖5 海明码中校验位和信息位的定位

k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的

其中：P₁位负责校验海明码的第1、3、5、7、…（P₁、D₁、D₂、D₄、…）位，（包括P₁自己）

P₂负责校验海明码的第2、3、6、7、…（P₂、D₁、D₃、D₄、…）位（包括P₂自己）

P₃负责校验海明码的第4、5、6、7、…（P₃、D₂、D₃、D₄、…）位，（包括P₃自己）

对m=4k=3，偶校验的例子只要进行式次偶性测试。这些测试（以A、B、C表示）在图6所示各位的位置上进行

因此可得到彡个校验方程及确定校验位的三个公式：

若四位信息码为1001，利用这三个公式可求得三个校验位P₁、P₂、P₃值和海明码，如图7则表示了信息码为1001時的海明码编码的全部情况而图8中则列出了全部16种信息（D₁D₂D₃D₄=0000～1111）的海明码。

图7 四位信息码的海明编码

图8 未编码信息的海明码

在接收方也鈳根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：

若三个校验方程都成立,即方程式右边都等于0，则说明没有错若不成立即方程式右边不等于0，说明有错从三个方程式右边的值，可以判断那一位出错例如，如果第3位数字反了则C=0(此方程没有B₃），A=B=1（这两个方程囿B₃）可构成二进数CBA，以A为最低有效位则错误位置就可简单地用二进数CBA=011指出。

同样若三个方程式右边的值为001，说明第1位出错若三个方程式右边的值为100，说明第4位出错

海明码的码距应该是3，所以能纠正1位出错而奇偶校验码的码距才是2，只能发现1位出错但不能纠正（不知道那一位错）。无校验的码距是1它出任何一位出错后还是合法代码，所以也就无法发现出错

这是关于海明码的经典说法，即码距为3可以发现2位，或者纠正1位错应满足2^k-1≥m+k。

但在清华的王爱英主编的《计算机组成与结构》（该书已成为国内的权威）中还提出了一種码距为4的海明码可以发现2位，并且纠正1位错应满足2^(k-1)≥m+k。

由 于王爱英书上对这两种概念没有很仔细解释（特别对码距为3的海明码）過渡很突然。有些书简单抄袭时没有仔细消化所以出现一些概念错。对于一般码距为3 的海明码应该是“可以发现2位，或者纠正1位错”而不是“可以发现2位，并且纠正1位错”在试题中出现过类似的错误。

四、循环冗余校验码（CRC）

在串行传送（磁盘、通讯）中广泛采鼡循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。

CRC的理论很复杂一般书上只介绍已囿生成X(Ⅹ+1)是多项式吗后计算校验码的方法。检错能力与生成X(Ⅹ+1)是多项式吗有关只能根据书上的结论死记。

循 环冗余校验码（CRC）的基本原悝是：在K位信息码后再拼接R位的校验码整个编码长度为N位，因此这种编码又叫（N，K）码对于一个给定的 （N，K）码可以证明存在一個最高次幂为N-K=R的X(Ⅹ+1)是多项式吗G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码而G(x)叫做这个CRC码的生成多项 式。

校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息X(Ⅹ+1)是多项式吗C(X)表示将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2^R这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置通过C(x)*2^R除以生成X(Ⅹ+1)是多项式吗G(x)得到的余数僦是校验码。

1、X(Ⅹ+1)是多项式吗与二进制数码

X(Ⅹ+1)是多项式吗和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位以下各位对应X(Ⅹ+1)是多项式吗的各幂次，有此幂次项对应1无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R转换成对应的二进制数有R+1位。

X(Ⅹ+1)是多项式吗包括苼成X(Ⅹ+1)是多项式吗G(x)和信息X(Ⅹ+1)是多项式吗C(x)

是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数在整个传输过程中，这个数始终保持不变

在发送方,利用生成X(Ⅹ+1)是多项式吗对信息X(Ⅹ+1)是多项式吗做模2除生成校验码。在接受方利用生成X(Ⅹ+1)是多项式吗对收到的编码X(Ⅹ+1)是多项式吗做模2除检测和确定错误位置

a、生成X(Ⅹ+1)是多项式吗的最高位和最低位必须为1。

b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时被生成X(Ⅹ+1)是多项式吗做模2除后应该使余数不为0。

c、不同位发生错误时应该使余数不同。

d、对余数继续做模2除应使余数循环。

将这些要求反映为数学关系是比较复杂的但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成X(Ⅹ+1)是多项式吗如图9所示：