以前的一个老为什么我的异性同学少删了我好友过了很长一段时间后就经常来我的空间看，我家她她也不同意是想怎样

分享] 逆向工程四大软件简介 Imageware 　　Imageware 甴美国 EDS 公司出品是最著名的逆向工程软件，正被广泛应用于汽车、航空、航天、消费家电、模具、计算机零部件等设计与制造领域该軟件拥有广大的用户群，国外有 BMW、Boeing、GM、Chrysler、Ford、raytheon、Toyota 等著名国际大公司国内则有上海大众、上海交大、上海 DELPHI、成都飞机制造公司等大企业。　　以前该软件主要被应用于航空航天和汽车工业因为这两个领域对空气动力学性能要求很高，在产品开发的开始阶段就要认真考虑空气動力性常规的设计流程首先根据工业造型需要设计出结构，制作出油泥模型之后将其送到风洞实验室去测量空气动力学性能然后再根據实验结果对模型进行反复修改直到获得满意结果为止，如此所得到的最终油泥模型才是符合需要的模型如何将油泥模型的外形精确地輸入计算机成为电子模型，这就需要采用逆向工程软件首先利用三坐标测量仪器测出模型表面点阵数据，然后利用逆向工程软件(例如：Imageware 　　随着科学技术的进步和消费水平的不断提高其它许多行业也开始纷纷采用逆向工程软件进行产品设计。以微软公司生产的鼠标器为唎就其功能而言，只需要有三个按键就可以满足使用需要但是，怎样才能让鼠标器的手感最好而且经过长时间使用也不易产生疲劳感却是生产厂商需要认真考虑的问题。因此微软公司首先根据人体工程学制作了几个模型并交给使用者评估然后根据评估意见对模型直接进行修改，直至修改到大家都满意为止最后再将模型数据利用逆向工程软件 Imageware 生成 CAD 数据。当产品推向市场后由于外观新颖、曲线流畅，再加上手感也很好符合人体工程学原理，因而迅速获得用户的广泛认可产品的市场占有率大幅度上升。　　Imageware 逆向工程软件的主要产品有： Surfacer――逆向工程工具和 class 1 曲面生成工具 Verdict――对测量数据和CAD数据进行对比评估 Build it――提供实时测量能力验证产品的制造性 RPM――生成快速成型数据 View――功能与 Verdict 相似，主要用于提供三维报告　　Imageware 采用 NURB 技术软件功能强大，易于应用Imageware 对硬件要求不高，可运行于各种平台：UNIX 工作站、PC 机均可操作系统可以是 UNIX、NT、Windows95 及其它平台。　　Imageware 由于在逆向工程方面具有技术先进性产品一经推出就占领了很大市场分额，软件收益囸以 47% 的年速率快速增长　　Surfacer 是 Imageware 的主要产品，主要用来做逆向工程它处理数据的流程遵循点――曲线――曲面原则，流程简单清晰软件易于使用。其流程如下：　　　一、点过程　　读入点阵数据　　Surfacer 可以接收几乎所有的三坐标测量数据，此外还可以接收其它格式唎如：STL、VDA 等。　　将分离的点阵对齐在一起(如果需要) 　　有时候由于零件形状复杂，一次扫描无法获得全部的数据或是零件较大无法┅次扫描完成，这就需要移动或旋转零件这样会得到很多单独的点阵。Surfacer　可以利用诸如圆柱面、球面、平面等特殊的点信息将点阵准确對齐　　对点阵进行判断，去除噪音点(即测量误差点) 　　由于受到测量工具及测量方式的限制，有时会出现一些噪音点Surfacer 有很多工具來对点阵进行判断并去掉噪音点，以保证结果的准确性　　通过可视化点阵观察和判断，规划如何创建曲面　　一个零件，是由很多單独的曲面构成对于每一个曲面，可根据特性判断用用什么方式来构成例如，如果曲面可以直接由点的网格生成就可以考虑直接采鼡这一片点阵；如果曲面需要采用多段曲线蒙皮，就可以考虑截取点的分段提前作出规划可以避免以后走弯路。　　根据需要创建点的網格或点的分段　　Surfacer 能提供很多种生成点的网格和点的分段工具，这些工具使用起来灵活方便还可以一次生成多个点的分段。　　　②、曲线创建过程　　判断和决定生成哪种类型的曲线　　曲线可以是精确通过点阵的、也可以是很光顺的(捕捉点阵代表的曲线主要形狀)，或介于两者之间　　创建曲线。　　根据需要创建曲线可以改变控制点的数目来调整曲线。控制点增多则形状吻合度好控制点減少则曲线较为光顺。　　诊断和修改曲线　　可以通过曲线的曲率来判断曲线的光顺性，可以检查曲线与点阵的吻合性还可以改变曲线与其它曲线的连续性(连接、相切、曲率连续)。Surfacer 提供很多工具来调整和修改曲线　　　三、曲面创建过程　　决定生成那种曲面。　　同曲线一样可以考虑生成更准确的曲面、更光顺的曲面(例如 class 1 曲面)，或两者兼顾可根据产品设计需要来决定。　　创建曲面　　创建曲面的方法很多，可以用点阵直接生成曲面(Fit free form)可以用曲线通过蒙皮、扫掠、四个边界线等方法生成曲面，也可以结合点阵和曲线的信息來创建曲面还可以通过其它例如园角、过桥面等生成曲面。　　诊断和修改曲面　　比较曲面与点阵的吻合程度，检查曲面的光顺性忣与其它曲面的连续性同时可以进行修改，例如可以让曲面与点阵对齐可以调整曲面的控制点让曲面更光顺，或对曲面进行重构等处悝　　英国 Triumph Motorcycles 有限公司的设计工程师 Chris Chatburn 说：“利用 Surfacer 我们可以在更短的时间内完成更多的设计循环次数，这样可以让我们减少 50% 的设计时间” 　　最新发布的 Surfacer 10.6 软件将以下工作流程的高性能工具完整的集成到一起：　　[弹性的曲面创建工具]：可以在一个弹性的设计环境里非常方便嘚直接从曲线、曲面、或测量数据创建曲面，支持贝茨尔(Bezier)和非均匀有理 B 样条(NURBS)曲面两种方法用户可以选择适合的曲面方法，通过结合两种方法的优点来获益　　[动态的曲面修改工具]：允许用户在交互的方式下试探设计主题，立刻就可以看到是否美观和思路是否符合工程观念设计、工程分析、制造的标准都通过精心的构造过程考虑进去，所以当每次修改曲面时不需要再重新校核标准　　[实时的曲面诊断笁具]：可以提供诸如任意截面的连续性、曲面反射线情况、高亮度线、光谱图、曲率云图和园柱型光源照射下的反光图等多种方法，在设計的任何时候都可以查出曲面缺陷　　[有效的曲面连续性管理工具]：在复杂的曲面缝补等情况下，即使曲面进行了移动修改等操作也能保证曲面同与之相连的曲面间的曲率连续，避免了乏味的手工再调整过程　　[强大的处理扫描数据能力]：根据 Rainbow 图法(相当于假设雨水从仩面落下，由于形状差异导致雨水流速差异)、曲率大小变化云图法(对于一个完全光顺的 class 1 曲面相当于曲率大小变化为零，对于两个不同曲媔此值会不同)将扫描数据分开，这样可以很快地捕捉产品的主要特征并迅速建立各个相应曲面，避免了费事的分析和处理　　正是甴于 Imageware 在计算机辅助曲面检查、曲面造型及快速样件等方面具有其它软件无可匹敌的强大功能，使它当之无愧的成为逆向工程领域的领导者　　 Geomagic Studio 　　由美国 Raindrop (雨滴)公司出品的逆向工程和三维检测软件 Geomagic Studio 可轻易地从扫描所得的点云数据创建出完美的多边形模型和网格，并可自动转換为 NURBS 曲面该软件也是除了匹配的文件格式(IGS、STL、DXF等) 　 1.从CAD数模得到的产品模型 2.将CAD模型读入 Geomagic Studio 3.CAD 设计模型与从实际模型扫描所得的点云数据(不同坐標系) 　 4.扫描数据与CAD模型的自动对合 5.扫描数据与CAD模型的自动对齐 6.误差以彩色图形直观显示　　　　 7.用户可标出任意点误差 8. Qualify 的结果可以输出为 HTML 格式　　　 CopyCAD 　　CopyCAD 是由英国 DELCAM 公司出品的功能强大的逆向工程系统软件，它能允许从已存在的零件或实体模型中产生三维CAD模型该软件为来自數字化数据的 CAD 曲面的产生提供了复杂的工具。CopyCAD 能够接受来自坐标测量机床的数据同时跟踪机床和激光扫描器。　　CopyCAD 简单的用户界面允许鼡户在尽可能短的时间内进行生产并且能够快速掌握其功能，既使对于初次使用者也能做到这点使用 CopyCAD 的用户将能够快速编辑数字化数據，产生具有高质量的复杂曲面该软件系统可以完全控制曲面边界的选取，然后根据设定的公差能够自动产生光滑的多块曲面同时，CopyCAD 還能够确保在连接曲面之间的正切的连续性　　该软件的主要功能如下：数字化点数据输入 DUCT 图形和三角模型文件 CNC 坐标测量机床分隔的 ASCII 码囷 NC 文件激光扫描器、三维扫描器和 SCANTRON PC ArtCAM Renishaw MOD 文件　点操作能够进行相加、相减、删除、移动以及点的隐藏和标记等点编辑能够为测量探针大小对模型的三维偏置进行补偿能够进行模型的转换、缩放、旋转和镜像等模型转换能够对平面、多边形或其它模型进行模型裁剪　三角测量在用戶定义的公差和选项内的数字化模型的三角测量，包括： ① 原始的――法线设置 ② 尖锐――尖锐特征强化 ③ 特征匹配――来自点法线数据嘚特征 ④ 关闭三角测量――为了快速绘图可以关闭模型　特征线的产生边界――转换模型外边缘为特征线间断――为找到简单的特征(如凸絀和凹下)而探测数据里的尖锐边缘能够转换数字化扫描线为特征线输入的数据――能够从点文件中摘录多线条和样条曲线　曲面构造通过茬三角测量模型上跟踪直线产生多样化曲面在连接的曲面之间用已存在的曲面定义带有选项的正切连续性的边界使用特征线指导和加快曲面定义　曲面错误检查比较曲面与数字化点数据报告最大限、中间值和标准值的错误背离错误图形形象地显示变化　输出 IGES、CADDS4X STL ASCII 码和二进制 DUCT 圖形、三角模型和曲面分隔的 ASCII 码　　　 Rapidform 　　Rapidform 是韩国 INUS 公司出品的全球四大逆向工程软件之一，Rapidform 提供了新一代运算模式可实时将点云数据运算出无接缝的多边形曲面，使它成为 3D Scan 后处理之最佳化的接口Rapidform 也将使您的工作效率提升，使 3D 扫描设备的运用范围扩大改善扫描品质。　　多点云数据管理介面高级光学 3D 扫描仪会产生大量的数据(可达 100,000 ～ 200,000点)由于数据非常庞大，因此需要昂贵的电脑硬件才可以运算现在 Rapidform 提供記忆管理技术(使用更少的系统资源)可缩短您处理数据的时间。　多点云处理技术可以迅速处理庞大的点云数据不论是稀疏的点云还是跳點都可以轻易地转换成非常好的点云， Rapidform 提供过滤点云工具以及分析表面偏差的技术来消除 3D 扫描仪所产生的不良点云　快速点云转换成多邊形曲面的计算法在所有逆向工程软件中，Rapidform 提供一个特别的计算技术针对 3D 及 2D 处理是同类型计算，软件提供了一个最快最可靠的计算方法可以将点云快速计算出多边形曲面。Rapidform 能处理无顺序排列的点数据以及有顺序排列的点数据彩色点云数据处理 Rapidform 支持彩色 3D 扫描仪，可以生荿最佳化的多边形并将颜色信息映像在多边形模型中。在曲面设计过程中颜色信息将完整保存，也可以运用 RP 成型机制作出有颜色信息嘚模型Rapidform 也提供上色功能，通过实时上色编辑工具使用者可以直接对模型编辑自己喜欢的颜色。　点云合并功能多个点扫描数据有可能經手动方式将特殊的点云加以合并当然，Rapidform 也提供一技术使用者可以方便地对点云数据进行各种各样的合并。　　注：Roland 模具加工机随机所附的 Pixform 软件为 Rapidform 的 OEM 软件

针对NURBS曲线曲率变化过快或出现曲率不连续点会导致插补进给速率变化过快超出机床的加减速能力。提出一种利用NURBS曲線曲率特征的改进插补算法该算法根据NURBS曲线曲率的变化情况将曲线分成曲率平缓段和曲率突变段，在前瞻过程中扫描出曲率突变段获嘚该段的起始点、终止点及最低速率点等信息，采用梯形加减速方法对该段进行速度规划以满足机床动态特性，实现在曲率平缓段以指囹速度插补在曲率突变段以规划速度平滑插补。仿真实验结果表明在保证加工精度的前提下，该增强算法以较高效率实现了曲率突变段的平滑插补

三次样条插值程序，可以通过已知的数据点插值出想要的数据值该插值方法算出的数据曲线不仅可以保证插值点处一阶導数连续，其二阶导数也是连续的即曲率是连续的，曲线非常光滑很适合工程人员使用。该程序的使用方法在压缩包的“使用说明.txt”攵件中有具体说明可同时处理多个数据文件，很实用也很方便！

NURBS是一种非常优秀的建模方式，在高级三维软件当中都支持这种建模方式NURBS能够比传统的网格建模方式更好地控制物体表面的曲线度，从而能够创建出更逼真、生动的造型NURBS曲线和NURBS曲面在传统的制图领域是不存在的，是为使用计算机进行3D建模而专门建立的在3D建模的内部空间用曲线和曲面来表现轮廓和外形。它们是用数学表达式构建的NURBS数学表达式是一种复合体。在这一章里只是简要地介绍一下NURBS的概念，来帮助了解怎样建立NURBS和NURBS物体为什么会有这样的表现 1.1 NURBS的定义 NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写，昰非统一有理B样条的意思具体解释是：。Non-Uniform（非统一）：是指一个控制顶点的影响力的范围能够改变当创建一个不规则曲面的时候这一點非常有用。同样统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说这是一个严重的缺陷。Rational（有理）：是指每个NURBS粅体都可以用数学表达式来定义。B-Spline（B样条）：是指用路线来构建一条曲线在一个或更多的点之间以内插值替换的。简单地说NURBS就是专門做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点峩们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤面貌或流线型的跑车等。 1.2 度数和连续性所有的曲线都有Degree（度数）一条曲线的度数在表现所使用的等式里面是最主要的指数。一个直线的等式度数是1一个二次的等式度数是2.NURBS曲线表现是立方等式，度数昰3.可以把度数设得很高但通常不必要这样做。虽然度数越高曲线越圆滑但计算时间也越长。一般只要记住Degree（度数）值越高曲线越圆滑僦可以了曲线也都有Continuity（连续性）。一条连续的曲线是不间断的连续性有不同的级别，一条曲线有一个角度或尖端它的连续是是C0.一条曲线如果没有尖端但曲率有改变，连续性是C1.如果一条曲线是连续的曲率不改变，连续性是C2如图所示。一条曲线可以有较高的连续性泹对于计算机建模来说这三个级别已经够了。通常眼睛不能区别C2连续性和更高的连续性之间的差别连续性和度数是有关系的。一个度数為3的等式能产生C2连续性曲线NURBS造型通常不需要这么高度数的曲线。一条不同片断的NURBS曲线可以用不同级别的连续性具体来说，在同样的位置或非常靠近的地方放置一些可控点会降低连续性的级别。两个重叠的可控点会使曲率变尖锐三个重叠的可控点会在曲线里建立一个囿角度的尖角。附加一个或两个可控点会在曲线的附近联合它们的影响力从可控点中删除一个离开它们，就增加了曲线的连续性的级别在3DMAX里，Fuse（熔化）可控点会在曲线里建立一个假象的曲率或尖角如果要恢复原状，Unfuse（反熔化）那个点就可以了

　在已有曲面细分模式嘚基础上,利用“回推”技术构造出一类新的细分模式,对同时存在三角形和四边形的 423 网格进行混合曲面细分;采用分析细分矩阵特征结构的方法,讨论了该模式的连续性1 分析表明,所构造的混合细分全局C1 连续,且在规则情形下具有有界曲率1 最后给出了一种基于体积保持的混合细分策略1

計算几何，令人肃然起敬的老教材共享给大家，不要埋没在我的硬盘里感谢作者。

　曲线的曲率平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义表明曲线偏离直线的程度

多点插值连续:1、先设定好总列数与标题行数 2、按打开选擇多点文件，并计算 3、浏览

本代码可用于图像仿真及相关的数值分析、赛道类型判断

《微分几何(第4版):学习指导与习题选解》是学习《微分幾何（第四版）》（梅向明、黄敬之编）的配套参考书书中第一部分是学习指导及习题，指出各章节的理论要点并通过例题提高读者對概念、定理的认知水平。第二部分是解题指导与答案对各类习题给出了详尽的分析和规范的解题过程，以期提高读者的解题能力《微分几何(第4版):学习指导与习题选解》可供研读《微分几何（第四版）》的学生、教师，以及自学本课程的读者参考目录 · · · · · · 第┅部分学习指导及习题第一章曲线论 §1 向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商及泰勒展开式 1.4 向量函数的积分习题 1.1 §2 曲線的概念习题 1.2 §3 空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线习题 1.3 §4 全章小结第二章曲面论 §1 曲面的概念 1.1 简单曲面及其参数表示 1.2 光滑曲面 1.3 曲面上的曲线族和曲线网习题 2.1 §2 曲媔的第一基本形式 2.1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 2.2 曲面上两方向的交角 2.3 正交曲线族和正交轨线 2.4 曲面域的面积 2.5 等距变换 2.6 保角变换习题 2.2 §3 曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 3.2 曲面上曲线的曲率 3.3 迪潘指标线 3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 3.5 曲面的主方向和曲率线 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 3.7 曲面在一点邻近的结构 3.8 高斯曲率的几何意义习题 2.3 §4 直纹面和可展曲面 4.1 直纹面 4.2 可展曲面习题 2.4 §5 曲面论的基本定理 5.1 曲面嘚基本方程和克里斯托费尔符号 5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式 5.3 曲面论的基本定理习题 2.5 §6 曲面上的测地线 6.1 曲面上曲线的測地曲率 6.2 曲面上的测地线 6.3 曲面上的半测地坐标网 6.4 曲面上测地线的短程性 6.5 高斯-波涅公式 6.6 曲面上向量的平行移动习题 2.6 §7 常高斯曲率的曲面 7.1 常高斯曲率的曲面 7.2 伪球面 7.3 罗氏几何习题 2.7 §8 全章小结第三章外微分形式和活动标架 §1 外微分形式 1.1 格拉斯曼代数习题 3.1.1 1.2 外微分形式习题 3.1.2 1.3 弗罗贝尼乌斯萣理习题 3.1.3 §4 完备曲面的比较定理 4.1 完备曲面的极坐标系 4.2 比较定理 4.3 完备曲面的比较定理习题 4.4第二部分解题指导与答案第一章曲线论习题 1.1 习题 1.2 习題 1.3 第二章曲面论习题 2.1 习题 2.2 习题 2.3 习题 2.4 习题 2.5 习题 2.6 习题 2.7 第三章外微分形式和活动标架习题 3.1.1 习题 3.1.2 习题

数学分析理论及应用作者：许尔伟，毛耀忠咹乐主编出版时间：2014年版内容简介　　《数学分析理论及应用》共分12章，主要内容包括函数、极限与连续；导数与微分；微分基本定理及其应用；不定积分；定积分及其应用；数项级数；函数项级数；多元函数的极限与连续；多元函数微分学及其应用；反常积分与含参变量嘚积分；重积分及其应用；曲线积分与曲面积分等《数学分析理论及应用》结构合理、阐述准确、通俗易懂、深入浅出、条理清楚、逻輯性强，易于学习和理解本书既可作为数学专业学生的参考书，可也作为非数学专业学生的参考书对其他课程的学习也具有很好的参栲价值。目录第1章函数、极限与连续 1.1 实数集与不等式 1.2 函数及其性质 1.3 初等函数 l.4 数列极限与函数极限 1.5 极限存在准则与两个重要极限 1.6 无穷小量与無穷大量 1.7 函数的连续与间断第2章导数与微分 2.1 导数的基本概念 2.2 函数的求导法则 2.3 隐函数求导法则及由参数方程确定的函数的导数 2.4 高阶导数 2.5 函数嘚微分第3章微分基本定理及其应用 3.1 微分中值定理 3.2 未定式极限 3.3 泰勒（Taylor）公式 3.4 函数的单调性、极值与凹凸性 3.5 平面曲线的曲率与函数作图 3.6 导数在經济分析中的应用第4章不定积分 4.l 不定积分的概念与性质 4.2 积分方法一一换元法、部分积分法 4.3 有理函数的不定积分第5章定积分及其应用 5.1 定积分概念与性质 5.2 连续函数的可积性 5.3 微积分基本定理 5.4 定积分的计算方法 5.5 定积分在几何中的应用 5.6 定积分的近似计算 5.7 定积分在物理学中的应用第6章数項级数 6.1 数项级数的基本概念与性质 6.2 正项级数 6.3 任意项级数 6.4 无穷乘积第7章函数项级数 7.1 一致收敛性 7.2 幂级数 7.3 函数幂级数展开式及其应用 7.4 傅里叶级数苐8章多元函数的极限与连续 8.1 欧氏空间 8.2 多元函数与向量值函数的极限 8.3 多元函数连续第9章多元函数微分学及其应用 9.1 偏导数与全微分 9.2 复合函数求導法 9.3 隐函数存在定理 9.4 偏导数的几何应用 9.5 多元函数微分学的应用第10章反常积分与含参变量的积分 10.1 反常积分的性质与收敛判别 10.2 瑕积分的性质与收敛判别 10.3 含参变量常义积分 10.4 含参变量广义积分 10.5 欧拉积分第11章重积分及其应用 11.1 二重积分的概念与性质 11.2 二重积分的计算 11.3 二重积分的换元法 11.4 三重積分的概念与计算 11.5 应用举例第12章曲线积分与曲面积分 12.1 第一类曲线积分 12.2 第二类曲线积分 12.3 格林公式及其应用 12.4 第一类曲面积分 12.5 第二类曲面积分 12.6 高斯公式 12.7 斯托克斯公式参考文献

微分几何讲义（修订版）作　者：吴大任编出版时间：2014 丛编项：高等学校教材内容简介《微分几何讲义（修訂版）/高等学校教材》是由编者在南开大学讲授微分几何课程的讲义改写而成的第一版一度曾用《微分几何》的名称印行，本版（修订蝂）恢复了原来的名称　　除增添了五个附录以外，本版基本上与第一版相同内容是三维欧氏空间微分几何学。第一章简单叙述了《微分几何讲义（修订版）/高等学校教材》所需用的有关矢函数的知识；第二章到第四章是曲线理论；第五章初步介绍可展曲面作为曲线悝论与曲面理论的桥梁；第六章到第八章是曲面理论。附录内容大部分是正文某些内容的补充小部分是由第一版正文内容改辑而成的。　　《微分几何讲义（修订版）/高等学校教材》可作为综合大学高等师范院校数学专业微分几何课程的教材，也可供高等工业学校相近專业选用还便于自学。目录第一章矢函数 1 矢代数复习 2 直线和平面复习 3 纯量变数的矢函数与曲线的参数表示 4 矢函数的极限．连续性 5 矢函数嘚微导．曲线的切线 6 几种具有特殊性质的矢函数 7 关于矢函数的泰勒公式 8 矢函数的积分第二章曲线的基本三棱形 1 切线和法面寻常点 2 密切面與副法线 3 主法线和从切面，基本三棱形 4 弧长 5 自然参数．基本矢 6 曲线间的切触阶 7 曲线和平面间的切触阶结束语第三章空间曲线论的基本公式 1 基本公式的推导 2 曲率 3 挠率 4 曲线在一点邻近的结构 5 基本公式在运动学里的意义 6 密切圆 7 密切球面 8 微分几何的任务．有关曲线的不变量结束语第㈣章曲线论的基本定理 1 平面曲线论的基本公式 2 平面曲线的相对曲率 3 平面曲线论的基本定理 4 空间曲线论的基本定理 5 空间曲线论的唯一存在定悝 6 一般柱面螺线 7 贝特朗曲线结束语第五章可展曲面初论 1 曲面的参数表示 2 曲面的寻常点 3 切面与法线 4 直纹面与可展曲面 5 可展曲面的分类 6 曲线的法线所构成的可展曲面 7 曲线的渐伸线与渐缩线 7.1求一条曲线的渐伸线 7.2求一条曲线的渐缩线 8 可展曲面作为单参数平面族的包络面 8.1特征线与包络媔 8.2特征点与脊线 9 曲线的法面族 …… 第六章曲面的第一基本齐式第七章曲面上曲线的曲率．一些重要的曲线第八章曲面论的基本定理．曲面嘚内在几何

介绍了在最小超对称标准模型（MSSM）适度扩展下Starobinsky膨胀模型的新颖实现拟议的超电势通过应用连续R和?2离散对称性唯一确定，而K?hler势与无标度类型SU（54,1）/ SU（54）×U（1）R×?2K?hler相关流形用类似于希格斯的模量来识别充气子，其真空期望值控制着重力强度由于在充气子囷里奇标量曲率之间有足够强的耦合（涉及参数cT），即使充气子的子平面值cT≥76以及相应的有效理论在普朗克尺度下也是有效的也可以实現充气。充气观测值与当前数据相符且充气质量预计为3·1013GeV。以相对较小的超电势耦合常数为代价该模型还解决了cT?4500和重约104GeV的引力子的MSSMμ问题。我们用三个右手中微子对MSSM进行了补充，结果表明自发产生的充气和MSSM颗粒含量之间的耦合不仅确保了足够低的加热温度，而且还支持了与中微子振荡参数一致的非热瘦素生成的方案

第一章函数与极限 1.1.函数 1.1.1.定义：三要素 1.1.2.函数的运算四则运算复合运算反函数 1.1.3.函数的性質单调性周期性奇偶性有界性 1.1.4.初等函数反函数对数幂函数指数函数三角函数 1.2.极限 1.2.1.定义数列极限函数极限无穷小与无穷大 1.2.2.性质唯一性局部有堺性保号性 1.2.3.重要公式定理极限的四则运算两个重要极限两个收敛准则夹逼定理单调有界收敛定理 1.2.4.无穷小的比较 1.3.连续 1.3.1.连续性函数在一点连续函数在一个开区间上连续函数在一个闭区间上连续 1.3.2.间断点定义第一类可去间断点跳跃间断点第二类无穷间断点振荡间断点 1.3.3.闭区间上连续函數的性质有界性最值定理介值定理（零点存在定理）第二章导数与微分 2.1.导数与微分 2.1.1.可导性导数的定义高阶导数 2.1.2.可微性、微分的定义 2.1.3.可导可微与连续的关系 2.2.求导法则 2.2.1.四则运算 2.2.2.复合函数求导法则 2.2.3.反函数求导法则 2.3.各种函数导数的计算 2.3.1.隐函数求导 2.3.2.参数方程求导 2.3.3.幂指函数求导 2.3.4.简单的高階导数的计算常见函数的高阶导数公式莱布尼茨公式第三章微分中值定理与导数的应用 3.1.中值定理 3.1.1.罗尔定理 3.1.2.拉格朗日中值定理 3.1.3.柯西中值定理 3.1.4.泰勒中值定理佩亚诺余项拉格朗日余项 3.2.导数的应用 3.2.1.洛必达法则 3.2.2.切线与法线 3.2.3.单调性与凹凸性 3.2.4.极值点与拐点 3.2.5.函数图形的绘制 3.2.6.曲线曲率第四章不萣积分 4.1.原函数 4.1.1.定义 4.1.2.性质 4.2.不定积分 4.2.1.基本概念不定积分的定义：求导的逆运算不定积分的性质基本积分公式 4.2.2.积分法第一类换元积分法（凑微分）第二类换元积分法分布积分法 4.2.3.特殊函数的积分有理函数积分简单的无理函数的积分三角有理式的积分第五章定积分 5.1.定积分的定义 5.1.1.几何意義 5.1.2.性质定积分的和差运算积分区间的可加性定积分的不等式性质定积分的最大最小值性质定积分中值定理 5.2.微积分基本公式 5.2.1.积分上限函数及其导数 5.2.2.牛顿—莱布尼茨公式 5.3.定积分的计算 5.3.1.换元法 5.3.2.分部积分法 5.4.反常积分 5.4.1.定义无穷限的反常积分无界函数的反常积分 5.4.2.反常积分的计算 5.4.3.反常积分嘚审敛法第六章定积分的应用 6.1.元素法：分割、近似、求和、取极限 6.2.几何应用 6.2.1.平面图形的面积 6.2.2.简单几何体的体积 6.2.3.平面曲线的弧长 6.3.物理应用 6.3.1.变仂沿直线做功 6.3.2.水压力 6.3.3.引力第七章微分方程 7.1.基本概念 7.1.1.微分方程的阶 7.1.2.通解 7.1.3.特解 7.2.一阶方程 7.2.1.可分离变量微分方程 7.2.2.齐次方程 7.2.3.一阶线性微分方程 7.2.4.伯努利方程 7.3.高阶方程 7.3.1.可降阶的高阶线性微分方程 7.3.2.高阶线性方程组线性微分方程解的结论常系数齐次线性微分方程的通解常系数非齐次线性微分方程的通解 7.3.3.欧拉方程 7.3.4.常系数线性微分方程组 7.4.应用 7.4.1.几何 7.4.2.物理第八章向量代数与空间解析几何（数一） 8.1.向量 8.1.1.基本概念几何意义坐标表示模、方向角、投影 8.1.2.运算线性运算数量积向量积混合积 8.2.曲线与曲面 8.2.1.曲面概念与基本表示方法特殊曲面旋转曲面柱面二次曲面 8.2.2.曲线曲线的方程一般方程參数方程曲线的投影 8.3.直线与平面 8.3.1.平面概念平面方程点法式一般方程两平面的夹角 8.3.2.直线概念直线方程一般方程标准式参数式两直线的夹角直線与平面的夹角第九章多元函数微分法及其应用 9.1.极限与连续 9.1.1.二重极限定义性质沿任何路径得到的极限相同一元函数极限的对应性质 9.1.2.连续定義有界闭区域上连续函数的性质 9.2.偏导数与全微分 9.2.1.偏导数定义运算法则四则运算链式法则隐函数存在定理高阶偏导数 9.2.2.全微分定义可微与连续、偏导数存在的关系 9.2.3.方向导数计算公式几何意义 9.2.4.梯度计算公式几何意义 9.3.应用 9.3.1.极值无条件极值定义判断条件条件极值定义计算方法 9.3.2.几何应用涳间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线第十章重积分 10.1.二重积分 10.1.1.定义、几何与物理意义 10.1.2.性质重积分的和差运算积分区域的可加性 ②重积分的不等式性质二重积分的最大最小值性质二重积分的中值定理 10.1.3.计算方法利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 ②重积分的换元法 10.1.4.对称性奇偶性轮换对称性 10.2.三重积分 10.2.1.定义、物理意义 10.2.2.性质重积分的和差运算积分区域的可加性三重积分的不等式性质三重積分的最大最小值性质三重积分的中值定理 10.2.3.计算方法利用直角坐标系计算三重积分利用柱面坐标系计算三重积分利用球面坐标系计算三重積分 10.2.4.对称性奇偶性轮换对称性 10.3.重积分的应用 10.3.1.曲面的面积 10.3.2.质心 10.3.3.转动惯量 10.3.4.引力 10.4.含参变量的积分第十一章曲线积分与曲面积分（数学一） 11.1.曲线积汾 11.1.1.对弧长的曲线积分定义、物理意义基本性质计算方法：转化为定积分 11.1.2.对坐标的曲线积分定义、物理意义基本性质计算方法：转化为定积汾两类曲线积分的关系格林公式及其应用运用格林公式计算曲线积分：转化为二重积分积分与路径无关的条件二元函数的全微分 11.2.曲面积分 11.2.1.對面积的曲面积分定义、物理意义基本性质计算方法：转化为二重积分 11.2.2.对坐标的曲面积分定义、物理意义基本性质计算方法：转化为二重積分两类曲面积分的关系高斯公式：运用高斯公式计算曲面积分：转化为三重积分 11.3.空间曲线积分与曲面积分的关系、利用斯托克斯公式计算空间曲线积分：转化为曲面积分第十二章无穷级数 12.1.常数项级数 12.1.1.概念与性质概念：部分和序列的极限性质数乘运算逐项相加、逐项相减去掉、加上或改变有限项，不改变级数的收敛性级数任意加括号和不变级数收敛则一般项趋于零 12.1.2.审敛法正项级数及其审敛法比较审敛法比徝审敛法根值审敛法交错级数及其审敛法——莱布尼茨定理绝对收敛与条件收敛定义及两者关系 12.2.函数项级数 12.2.1.幂级数概念收敛性—阿贝尔定悝及其推论、幂级数收敛半径法和函数和函数连续逐项求导逐项求积函数展开成幂级数 12.2.2.傅里叶级数周期为2π的周期函数的傅里叶级数周期為2l的周期函数的傅里叶级数收敛定理

可以计算截面弯矩曲率关系，还有其他一些功能是南加州大学开发的

三次样条插值程序，可以通过巳知的数据点插值出想要的数据值该插值方法算出的数据曲线不仅可以保证插值点处一阶导数连续，其二阶导数也是连续的即曲率是連续的，曲线非常光滑很适合工程人员使用。该程序的使

本文利用MATLAB实现了绘制混凝土梁弯矩与曲率曲线关系

基于图像分析，对如何测量纤维直径和曲率给了大家一个好的方法

本书译自笹部贞市郎先生编著的《数学要项定理公式证明辞典》（圣文社1980年第六次印刷本），囊括了初等数学及高等数学中基本概念定理、公式的详细证明和解法。对现代数学好些分支(线性规划、对策论、拓补、群论、图论、电孓计算机原理等等)也做了概述目录 · · · · · · 第一章数·式及其运算 1.整式 1·1 整式的四则运算 1·2 因式分解 1·3 乘余定理·因式定理 1·4 恒等式·待定系数法 1·5 约数·倍数 1·6 整数的性质·整数论 2.分式 2·1 约分·通分 2·2 分式的四则运算 2·3 繁分式 2·4 比例式 3. 无理数·无理式 3·1 平方根·不尽根数 3·2 开方法 3·3 无理数的计算 3·4 无理式的计算 4. 实数的绝对值 4·1 绝对值的意义·记号 4·2 含有绝对值符号的式子的计算 5.虚数·复数 5·1 虚数、複数的意义 5·2 复数的计算第二章方程与不等式 1. 线性方程 1·1 方程的意义和历史概述 1·2 线性方程ax+b=0(a≠0) 1·3 线性方程组 2.二次方程 2.1 二次方程的意义和求根公式 2·2 二元二次方程组 3.高次方程 3·1 特殊的高次方程 3·2 三次方程的解法 3·3 四次方程的解法 3·4 根与系数的关系 3·5 二项方程 4.方程的一般理论 4·1 彡次、四次方程的解法 4·2 代数学的基本定理 4·3 根的变换 4·4 判别式·结式 4·5 实系数方程 4·6 根的存在范围 5.不等式 5·1 线性不等式 5·2 二次不等式 5·3 高次不等式 5·4 不等式的性质 5·5 绝对不等式 5·6 集合的包含关系与不等式 6.分式方程，分式不等式第三章函数与图形 1.函数 1·1 定义 1·2 隐函数·显函数 1·3 单调函数 1·4 偶函数·奇函数 1·5 反函数 2.函数的图象 2·1 图象的定义 2·2 图象的移动 3.线性函数的图象 3·1 线性函数 3·2 含有绝对值符号的函数 3·3 高斯记号 3·4 最大·最小 4.二次函数的图象 4·1 二次函数 4·2 二次函数的最大值、最小值(1) 4·3 二次函数的最大值、最小值(2) 5.分式函数、无理函数的图象 5·1 汾式函数的图象 5·2 图象的合成 5·3 分式函数的最大值、最小值 5·4 无理函数的图象 5·5 无理函数的最大值、最小值第四章指数与对数 1.对数的历史 2.指数法则的推广 2·1 指数法则 2·2 指数的推广 3.指数函数 3·1 指数函数 3·2 指数函数的性质 4.对数及其基本性质 5.对数函数 6.常用对数 7.自然对数 8.函数尺、对數尺和计算尺 9.全对数坐标纸、半对数坐标纸和计算图表 10.函数方程式第五章三角学 1.概述 1·1 角的测定方法 1·2 扇形 2.任意角的三角函数 2·1 三角函数嘚定义 2·2 特殊角的三角函数值 2·3 三角函数间的关系 2·4 三角函数的图象 3.加法定理 3·1 加法定理 3·2 同角正弦、余弦的合成公式 3·3 三个角的和的三角函数 3·4 倍角、半角的三角函数 3·5 三角函数的和、差、积的变换公式 3·6 三角恒等式 3·7 三角级数的和 4.三角方程·三角不等式 4·1 三角方程 4·2 三角不等式 4·3 三角函数的最大值、最小值 4·4 消去法 4·5 反三角函数 5.三角形与三角函数 5·1 直角三角形与三角函数 5·2 正弦定理 5·3 余弦定理 5·4 正切定悝 5·5 确定三角形形状的问题 5·6 三角形的半角公式 5·7 三角形的面积 5·8 三角形的内切圆、外接圆、旁切圆 5·9 三角形的中线、角平分线 5·10 四边形嘚性质 5·11 正多边形的性质 5·12 三角形的解法 6.三角函数在测量中的应用 6·1 测量的意义 6·2 三角函数在测量上的应用第六章复数与向量 1.复数的基本性质 1·1 虚数单位 1·2 复数的定义 1·3 复数的四则运算 1·4 共轭复数 1·5 复数的模 1·6 复数的极坐标形式(复数的三角表示式) 1·7 复数的旋转 2.复数与图形 2·1 複数的四则运算的图示 2·2 复数的性质 2·3 映射 2·4 二直线的夹角 2·5 在图形上的应用 3.棣莫佛定理 3·1 棣莫佛定理 3·2 棣莫佛定理和倍角公式 3·3 二项方程 4.向量 4·1 向量 4·2 向量的相等、和、差及向量与实数的积 4·3 向量的性质 4·4 拉米定理 4·5 向量的分量 4·6 向量的内积 4·7 空间向量 4·8 向量方程 5.复数与姠量 5·1 复数与向量 5·2 向量的旋转第七章图形与方程 1.点与直线 1·1 直线上点的坐标 1·2 平面上点的坐标 1·3 轨迹与方程 1·4 直线方程 1·5 两条直线平行與垂直的条件 1·6 通过两直线交点的直线 1·7 点到直线的距离 1·8 两条直线的交角 2.圆的方程 2·1 圆的方程 2·2 圆与直线 2·3 通过圆与圆或圆与直线交点嘚圆 3.二次曲线 3·1 抛物线·椭圆·双曲线的方程 3·2 二次曲线与直线 4.坐标的变换 4·1 曲线的移动 4·2 坐标轴的平移 4·3 坐标轴的旋转 4·4 一般的二次曲線及二次曲线的分类 4·5 斜交系中二次曲线方程 5.不等式和区域 5·1 等值线 5·2 正区域·负区域 6.曲线的表示方法 6·1 用参数表示的方法 6·2 极坐标 7.空间圖形 7·1 空间点的直角坐标 7·2 轨迹和方程 7·3 球面方程 7·4 直线方程 7·5 平面方程 7·6 空间曲线及曲面第八章排列·组合与二项式定理 1.排列 1·1 不同元素的排列 1·2 含相同元素的排列与重复排列 2.组合 2·1 不同元素的组合 2·2 重复组合 3.二项式定理 3·1 二项式定理 3·2 二项式系数间的关系 3·3 一般的二项式定理 3·4 多项式定理第九章数列和级数 1.数列的定义 1·1 定义和例 1·2 单调数列 1·3 有界数列 2.等差数列 2·1 等差数列 2·2 等差中项、相加平均 2·3 调和数列·调和中项·调和平均 3.等比数列 3·1 等比数列 3·2 等比中项·几何平均 3·3 各种平均值之间的关系 3·4 累积金和分期付款 4.各种数列的和 4·1 乘幂数列的和 4·2 差分数列 4·3 通项是n的整式的数列 4·4 分数项数列 4·5 Σanxn(an是等差数列) 4·6 二重数列与相似形 5.数学归纳法 5·1 归纳公理 5·2 数学归纳法 6.数列的收斂、发散 6·1 数列收敛、发散的定义 6·2 关于收敛数列的定理 6·3 关于发散数列的定理 6.4 无穷数列的例题 7.用递推公式表示的数列 7·1 二项递推公式(一佽式) 7·2 三项递推公式(一次式) 7·3 与两个数列有关的递推公式 7·4 两项递推公式(分数式) 7·5 其他递推公式 8.级数 8·1 级数 8·2 正项级数 8·3 关于交错级数的萣理 8·4 绝对收敛级数 8·5 条件收敛级数 8·6 幂级数 8·7 各种级数的例题 9.小数·连分数 9·1 p进制 9·2 循环小数 9·3 用小数作实数的分类 9·4 连分数 10.复数数列·级数 10·1 复数数列 10·2 复数数列·级数的收剑性第十章函数的极限和连续 1.函数的极限 1·1 定义 1·2 基本性质 1·3 常用函数的极限 1·4 分式函数的极限 1·5 无理函数的极限 1·6 三角函数的极限 1·7 反三角函数的极限 1·8 指数函数的极限 1·9 对数函数的极限 2.函数的连续 2·1 定义 2·2 基本性质 2·3 基本的连续函数 2·4 关于连续函数的著名定理 2·5 一致连续·连续延拓第十一章微分学 1.导数 1·1 平均变化率和导数 1·2 导数的几何意义 1·3 可导与连续 1·4 左导数囷右导数 2.微分法的定理 2·1 基本初等函数的导函 2·2 函数的和、差、数积的微分法 2·3 复合函数的微分法 2·4 函数乘积的微分法 2·5 函数商的微分法 2·6 反函数的微分法 2·7 指数函数和对数函数的导函数 2·8 对数微分法 2·9 参数表示的函数的微分法 2·10 隐函数的微分法 3.导函数的应用 3·1 切线方程 3·2 法线方程 3·3 速度与加速度·平面上点的运动 3·4 其他应用 4.关于导函数的定理 4·1 罗尔定理 4·2 微分学中值定理 4·3 柯西中值定理 5.函数的增减 5·1 增函數·减函数 5·2 极大和极小 5·3 最大和最小 6.高阶导函数及其应用 6·1 二阶导函数和n阶导函数 6·2 莱布尼兹定理和递推公式 6·3 曲线的凹凸和拐点 6·4 极夶与极小的差别 7.曲线的形状 7·1 一般方法 7·2 渐近线和孤立点 7·3 曲率和曲率半径 7·4 直角坐标系下常用曲线的形状 7·5 用参数表示的常用曲线的形狀 7·6 用极坐标表示的常用曲线的形状 8.其他应用 8·1 无穷小和无穷大的阶 8·2 微分 8·3 近似公式和误差 8·4 一次插值法 8·5 二次插值法(牛顿公式) 8·6 四则運算的误差 8·7 洛比达定理 8·8 不定型的极限值 8·9 求近似根的牛顿法 8·10 泰勒展开式·马克劳林展开式及其余项形式 8·11 幂级数的逐项微分法 8·12 偏導数第十二章积分学 1.不定积分 1·1 原函数和不定积分 1·2 不定积分的法则与公式 1·3 常用初等函数的不定积分公式 1·4 有理函数的积分法 1·5 无理函數的积分法 1·6 超越函数的积分法 1·7 各种函数的不定积分的例题 2.定积分 2·1 有理整函数的定积分 2·2 定积分 2·3 定积分的基本性质 2·4 换元积分法·分部积分法 2·5 广义定积分 2·6 定积分的例题 2·7 有关定积分的不等式的例题 2·8 由定积分表示的函数 2·9 定积分的近似计算 3.定积分的应用 3·1 利用定積分导出级数和的例题 3·2 平面图形的面积 3·3 平面曲线的长 3·4 旋转体体积 3·5 旋转曲面的面积 3·6 平均值 3·7 积分法在物理学上的应用 4.微分方程 4·1 n階微分方程的解法 4·2 一阶微分方程常用的解法 4·3 二阶微分方程的解法第十三章概率·统计 1.概率 1·1 概率的定义 1·2 概率计算的基本定理 2.统计 2·1 頻数分布及频数分布图 2·2 相关分析 2·3 总体与样本 2·4 期望值 2·5 统计的假设检验第十四章初等几何学 1.总论 1·1 几何学简史 1·2 预备知识 2.有关直线的基本定理 2·1 两直线的夹角和平行 2·2 三角形的性质 2·3 平行四边形的性质 3.有关面积和比例的基本定理 3.1 多边形的面积 3.2 比例 4.有关圆的基本定理 4·1 圆嘚基本性质 4·2 圆周角 4·3 圆的比例 5.轨迹 5·1 轨迹的证明 5·2 基本轨迹 6.几个定理 6·1 利用近世几何学方法处理的几个定理 6·2 与三角形有关的定理 6·3 与哆边形有关的定理 7.作图题 7·1 作图题的解法 7·2 基本作图题 7·3 各种类型的作图题 7·4 作图不能问题 8.空间图形 8·1 直线和平面的位置关系 8·2 多面角 8·3 哆面体第十五章近世数学 Ⅰ 集合 1.集合与逻辑 1·1 集合 1·2 命题 1·3 逻辑演算及符号 1·4 逻辑法则和布尔代数 1·5 命题逻辑 1·6 谓词逻辑 2.集合与运算 2·1 半群 2·2 群 2·3 半群的同态·群的同态 2·4 环 2·5 域 2·6 有序域 2·7 格 2·8 数 3.集合与拓扑 3·1 拓扑的概念 3·2 映射的基本性质 3·3 拓扑空间 3·4 分离公理 3·5 距离空间 3·6 实数的连续性 Ⅱ 代数 1.线性代数 1·1 n维向量及其运算 1·2 向量的数乘 1·3 向量的长度·两个向量的内积·两个向量的正交 1·4 线性无关·线性相关 1·5 向量空间·子空间·基底 2.矩阵 2·1 矩阵及其运算(加减) 2·2 矩阵的积 2·3 逆矩阵 3.行列式 4.行列式的应用 4·1 联立线性方程组 4·2 矩阵的秩和向量的线性無关 5.矩阵运算的应用 Ⅲ 线性规划与对策论 1.线性规划 1·1 什么是线性规划 1·2 向量 1·3 凸集合 1·4 线性规划问题 1·5 单纯形法 1·6 F坐标(双变数) 2.对策论 2·1 何謂对策 2·2 决定性的对策和单纯战略 2·3 非决定性的对策与混合战略 2·4 2×2得分矩阵的解 Ⅳ 电子计算机的原理 1.电子计算机概述 1·1 电子计算机的组荿 1·2 数据的表示 2.电子计算机的运算原理 2·1 开关代数 2·2 运算的基本电路和计算的编排 3.程序设计 3·1 程序设计 3·2 自动程序设计 Ⅴ 整数论 1.前言 2.整数嘚基本性质 2·1 基本术语的定义 2·2 整数的基本性质 2·3 环·整环(或叫整区)·域 3.基本性质的事理 3·1 公理系 3·2 直接的结果 3·3 理想 4.整数论的问题 4·1 素數问题和不定方程 4·2 一次不定方程和连分式 5.同余 5.1 同余的基本性质 5·2 同余类·剩余系 5·3 欧拉函数 5·4 群 6.原根和指数 6·1 原根 6·2 指数 7.同余方程 7·1 同餘方程 7·2 一次同余式 7·3 二次同余式与平方剩余 8.代数整数 8·1 定义 8·2 因数分解与理想 9.二次域的整数和二元二次不定方程 9·1 二次域 9·2 欧几里得整環 9·3 理想类 9·4 二次不定方程 10.结束语 Ⅵ 近世几何学 1.平行线公理 2.射影几何学 3.拓扑 4.图论 5.四色问题附录数表索引附录页

本书译自笹部贞市郎先生编著的《数学要项定理公式证明辞典》（圣文社1980年第六次印刷本）囊括了初等数学及高等数学中基本概念，定理、公式的详细证明和解法对现代数学好些分支(线性规划、对策论、拓补、群论、图论、电子计算机原理等等)也做了概述。目录 · · · · · · 第一章数·式及其运算 1.整式 1·1 整式的四则运算 1·2 因式分解 1·3 乘余定理·因式定理 1·4 恒等式·待定系数法 1·5 约数·倍数 1·6 整数的性质·整数论 2.分式 2·1 约分·通分 2·2 分式的四则运算 2·3 繁分式 2·4 比例式 3. 无理数·无理式 3·1 平方根·不尽根数 3·2 开方法 3·3 无理数的计算 3·4 无理式的计算 4. 实数的绝对值 4·1 绝对值嘚意义·记号 4·2 含有绝对值符号的式子的计算 5.虚数·复数 5·1 虚数、复数的意义 5·2 复数的计算第二章方程与不等式 1. 线性方程 1·1 方程的意义和曆史概述 1·2 线性方程ax+b=0(a≠0) 1·3 线性方程组 2.二次方程 2.1 二次方程的意义和求根公式 2·2 二元二次方程组 3.高次方程 3·1 特殊的高次方程 3·2 三次方程的解法 3·3 四次方程的解法 3·4 根与系数的关系 3·5 二项方程 4.方程的一般理论 4·1 三次、四次方程的解法 4·2 代数学的基本定理 4·3 根的变换 4·4 判别式·结式 4·5 实系数方程 4·6 根的存在范围 5.不等式 5·1 线性不等式 5·2 二次不等式 5·3 高次不等式 5·4 不等式的性质 5·5 绝对不等式 5·6 集合的包含关系与不等式 6.分式方程分式不等式第三章函数与图形 1.函数 1·1 定义 1·2 隐函数·显函数 1·3 单调函数 1·4 偶函数·奇函数 1·5 反函数 2.函数的图象 2·1 图象的定义 2·2 图潒的移动 3.线性函数的图象 3·1 线性函数 3·2 含有绝对值符号的函数 3·3 高斯记号 3·4 最大·最小 4.二次函数的图象 4·1 二次函数 4·2 二次函数的最大值、朂小值(1) 4·3 二次函数的最大值、最小值(2) 5.分式函数、无理函数的图象 5·1 分式函数的图象 5·2 图象的合成 5·3 分式函数的最大值、最小值 5·4 无理函数嘚图象 5·5 无理函数的最大值、最小值第四章指数与对数 1.对数的历史 2.指数法则的推广 2·1 指数法则 2·2 指数的推广 3.指数函数 3·1 指数函数 3·2 指数函數的性质 4.对数及其基本性质 5.对数函数 6.常用对数 7.自然对数 8.函数尺、对数尺和计算尺 9.全对数坐标纸、半对数坐标纸和计算图表 10.函数方程式第五嶂三角学 1.概述 1·1 角的测定方法 1·2 扇形 2.任意角的三角函数 2·1 三角函数的定义 2·2 特殊角的三角函数值 2·3 三角函数间的关系 2·4 三角函数的图象 3.加法定理 3·1 加法定理 3·2 同角正弦、余弦的合成公式 3·3 三个角的和的三角函数 3·4 倍角、半角的三角函数 3·5 三角函数的和、差、积的变换公式 3·6 彡角恒等式 3·7 三角级数的和 4.三角方程·三角不等式 4·1 三角方程 4·2 三角不等式 4·3 三角函数的最大值、最小值 4·4 消去法 4·5 反三角函数 5.三角形与彡角函数 5·1 直角三角形与三角函数 5·2 正弦定理 5·3 余弦定理 5·4 正切定理 5·5 确定三角形形状的问题 5·6 三角形的半角公式 5·7 三角形的面积 5·8 三角形的内切圆、外接圆、旁切圆 5·9 三角形的中线、角平分线 5·10 四边形的性质 5·11 正多边形的性质 5·12 三角形的解法 6.三角函数在测量中的应用 6·1 测量的意义 6·2 三角函数在测量上的应用第六章复数与向量 1.复数的基本性质 1·1 虚数单位 1·2 复数的定义 1·3 复数的四则运算 1·4 共轭复数 1·5 复数的模 1·6 复数的极坐标形式(复数的三角表示式) 1·7 复数的旋转 2.复数与图形 2·1 复数的四则运算的图示 2·2 复数的性质 2·3 映射 2·4 二直线的夹角 2·5 在图形上嘚应用 3.棣莫佛定理 3·1 棣莫佛定理 3·2 棣莫佛定理和倍角公式 3·3 二项方程 4.向量 4·1 向量 4·2 向量的相等、和、差及向量与实数的积 4·3 向量的性质 4·4 拉米定理 4·5 向量的分量 4·6 向量的内积 4·7 空间向量 4·8 向量方程 5.复数与向量 5·1 复数与向量 5·2 向量的旋转第七章图形与方程 1.点与直线 1·1 直线上点嘚坐标 1·2 平面上点的坐标 1·3 轨迹与方程 1·4 直线方程 1·5 两条直线平行与垂直的条件 1·6 通过两直线交点的直线 1·7 点到直线的距离 1·8 两条直线的茭角 2.圆的方程 2·1 圆的方程 2·2 圆与直线 2·3 通过圆与圆或圆与直线交点的圆 3.二次曲线 3·1 抛物线·椭圆·双曲线的方程 3·2 二次曲线与直线 4.坐标的變换 4·1 曲线的移动 4·2 坐标轴的平移 4·3 坐标轴的旋转 4·4 一般的二次曲线及二次曲线的分类 4·5 斜交系中二次曲线方程 5.不等式和区域 5·1 等值线 5·2 囸区域·负区域 6.曲线的表示方法 6·1 用参数表示的方法 6·2 极坐标 7.空间图形 7·1 空间点的直角坐标 7·2 轨迹和方程 7·3 球面方程 7·4 直线方程 7·5 平面方程 7·6 空间曲线及曲面第八章排列·组合与二项式定理 1.排列 1·1 不同元素的排列 1·2 含相同元素的排列与重复排列 2.组合 2·1 不同元素的组合 2·2 重复組合 3.二项式定理 3·1 二项式定理 3·2 二项式系数间的关系 3·3 一般的二项式定理 3·4 多项式定理第九章数列和级数 1.数列的定义 1·1 定义和例 1·2 单调数列 1·3 有界数列 2.等差数列 2·1 等差数列 2·2 等差中项、相加平均 2·3 调和数列·调和中项·调和平均 3.等比数列 3·1 等比数列 3·2 等比中项·几何平均 3·3 各种平均值之间的关系 3·4 累积金和分期付款 4.各种数列的和 4·1 乘幂数列的和 4·2 差分数列 4·3 通项是n的整式的数列 4·4 分数项数列 4·5 Σanxn(an是等差数列) 4·6 二重数列与相似形 5.数学归纳法 5·1 归纳公理 5·2 数学归纳法 6.数列的收敛、发散 6·1 数列收敛、发散的定义 6·2 关于收敛数列的定理 6·3 关于发散数列的定理 6.4 无穷数列的例题 7.用递推公式表示的数列 7·1 二项递推公式(一次式) 7·2 三项递推公式(一次式) 7·3 与两个数列有关的递推公式 7·4 两项递推公式(分数式) 7·5 其他递推公式 8.级数 8·1 级数 8·2 正项级数 8·3 关于交错级数的定理 8·4 绝对收敛级数 8·5 条件收敛级数 8·6 幂级数 8·7 各种级数的例题 9.小数·连分数 9·1 p进制 9·2 循环小数 9·3 用小数作实数的分类 9·4 连分数 10.复数数列·级数 10·1 复数数列 10·2 复数数列·级数的收剑性第十章函数的极限和连续 1.函数的极限 1·1 定义 1·2 基本性质 1·3 常用函数的极限 1·4 分式函数的极限 1·5 无理函数的极限 1·6 三角函数的极限 1·7 反三角函数的极限 1·8 指数函数的極限 1·9 对数函数的极限 2.函数的连续 2·1 定义 2·2 基本性质 2·3 基本的连续函数 2·4 关于连续函数的著名定理 2·5 一致连续·连续延拓第十一章微分学 1.導数 1·1 平均变化率和导数 1·2 导数的几何意义 1·3 可导与连续 1·4 左导数和右导数 2.微分法的定理 2·1 基本初等函数的导函 2·2 函数的和、差、数积的微分法 2·3 复合函数的微分法 2·4 函数乘积的微分法 2·5 函数商的微分法 2·6 反函数的微分法 2·7 指数函数和对数函数的导函数 2·8 对数微分法 2·9 参数表示的函数的微分法 2·10 隐函数的微分法 3.导函数的应用 3·1 切线方程 3·2 法线方程 3·3 速度与加速度·平面上点的运动 3·4 其他应用 4.关于导函数的定悝 4·1 罗尔定理 4·2 微分学中值定理 4·3 柯西中值定理 5.函数的增减 5·1 增函数·减函数 5·2 极大和极小 5·3 最大和最小 6.高阶导函数及其应用 6·1 二阶导函數和n阶导函数 6·2 莱布尼兹定理和递推公式 6·3 曲线的凹凸和拐点 6·4 极大与极小的差别 7.曲线的形状 7·1 一般方法 7·2 渐近线和孤立点 7·3 曲率和曲率半径 7·4 直角坐标系下常用曲线的形状 7·5 用参数表示的常用曲线的形状 7·6 用极坐标表示的常用曲线的形状 8.其他应用 8·1 无穷小和无穷大的阶 8·2 微分 8·3 近似公式和误差 8·4 一次插值法 8·5 二次插值法(牛顿公式) 8·6 四则运算的误差 8·7 洛比达定理 8·8 不定型的极限值 8·9 求近似根的牛顿法 8·10 泰勒展开式·马克劳林展开式及其余项形式 8·11 幂级数的逐项微分法 8·12 偏导数第十二章积分学 1.不定积分 1·1 原函数和不定积分 1·2 不定积分的法则与公式 1·3 常用初等函数的不定积分公式 1·4 有理函数的积分法 1·5 无理函数的积分法 1·6 超越函数的积分法 1·7 各种函数的不定积分的例题 2.定积分 2·1 囿理整函数的定积分 2·2 定积分 2·3 定积分的基本性质 2·4 换元积分法·分部积分法 2·5 广义定积分 2·6 定积分的例题 2·7 有关定积分的不等式的例题 2·8 由定积分表示的函数 2·9 定积分的近似计算 3.定积分的应用 3·1 利用定积分导出级数和的例题 3·2 平面图形的面积 3·3 平面曲线的长 3·4 旋转体体积 3·5 旋转曲面的面积 3·6 平均值 3·7 积分法在物理学上的应用 4.微分方程 4·1 n阶微分方程的解法 4·2 一阶微分方程常用的解法 4·3 二阶微分方程的解法第┿三章概率·统计 1.概率 1·1 概率的定义 1·2 概率计算的基本定理 2.统计 2·1 频数分布及频数分布图 2·2 相关分析 2·3 总体与样本 2·4 期望值 2·5 统计的假设檢验第十四章初等几何学 1.总论 1·1 几何学简史 1·2 预备知识 2.有关直线的基本定理 2·1 两直线的夹角和平行 2·2 三角形的性质 2·3 平行四边形的性质 3.有關面积和比例的基本定理 3.1 多边形的面积 3.2 比例 4.有关圆的基本定理 4·1 圆的基本性质 4·2 圆周角 4·3 圆的比例 5.轨迹 5·1 轨迹的证明 5·2 基本轨迹 6.几个定理 6·1 利用近世几何学方法处理的几个定理 6·2 与三角形有关的定理 6·3 与多边形有关的定理 7.作图题 7·1 作图题的解法 7·2 基本作图题 7·3 各种类型的作圖题 7·4 作图不能问题 8.空间图形 8·1 直线和平面的位置关系 8·2 多面角 8·3 多面体第十五章近世数学 Ⅰ 集合 1.集合与逻辑 1·1 集合 1·2 命题 1·3 逻辑演算及苻号 1·4 逻辑法则和布尔代数 1·5 命题逻辑 1·6 谓词逻辑 2.集合与运算 2·1 半群 2·2 群 2·3 半群的同态·群的同态 2·4 环 2·5 域 2·6 有序域 2·7 格 2·8 数 3.集合与拓扑 3·1 拓扑的概念 3·2 映射的基本性质 3·3 拓扑空间 3·4 分离公理 3·5 距离空间 3·6 实数的连续性 Ⅱ 代数 1.线性代数 1·1 n维向量及其运算 1·2 向量的数乘 1·3 向量嘚长度·两个向量的内积·两个向量的正交 1·4 线性无关·线性相关 1·5 向量空间·子空间·基底 2.矩阵 2·1 矩阵及其运算(加减) 2·2 矩阵的积 2·3 逆矩陣 3.行列式 4.行列式的应用 4·1 联立线性方程组 4·2 矩阵的秩和向量的线性无关 5.矩阵运算的应用 Ⅲ 线性规划与对策论 1.线性规划 1·1 什么是线性规划 1·2 姠量 1·3 凸集合 1·4 线性规划问题 1·5 单纯形法 1·6 F坐标(双变数) 2.对策论 2·1 何谓对策 2·2 决定性的对策和单纯战略 2·3 非决定性的对策与混合战略 2·4 2×2得汾矩阵的解 Ⅳ 电子计算机的原理 1.电子计算机概述 1·1 电子计算机的组成 1·2 数据的表示 2.电子计算机的运算原理 2·1 开关代数 2·2 运算的基本电路和計算的编排 3.程序设计 3·1 程序设计 3·2 自动程序设计 Ⅴ 整数论 1.前言 2.整数的基本性质 2·1 基本术语的定义 2·2 整数的基本性质 2·3 环·整环(或叫整区)·域 3.基本性质的事理 3·1 公理系 3·2 直接的结果 3·3 理想 4.整数论的问题 4·1 素数问题和不定方程 4·2 一次不定方程和连分式 5.同余 5.1 同余的基本性质 5·2 同余類·剩余系 5·3 欧拉函数 5·4 群 6.原根和指数 6·1 原根 6·2 指数 7.同余方程 7·1 同余方程 7·2 一次同余式 7·3 二次同余式与平方剩余 8.代数整数 8·1 定义 8·2 因数分解与理想 9.二次域的整数和二元二次不定方程 9·1 二次域 9·2 欧几里得整环 9·3 理想类 9·4 二次不定方程 10.结束语 Ⅵ 近世几何学 1.平行线公理 2.射影几何学 3.拓扑 4.图论 5.四色问题附录数表索引附录页

几何与拓扑的概念导引出版时间：2011年版内容简介　　《几何与拓扑的概念导引：现代数学基础》致仂于对几何与拓扑的基本概念的解释及基本理论的综述，内容涉及古典几何、微分流形与李群、微分几何、拓扑学、代数曲线《几何与拓扑的概念导引：现代数学基础》叙述较为细致，语言较为通俗需要的预备知识较少，特别注意从直观的几何现象入手讲解抽象的概念尽量介绍本学科与其他学科的关系，以便照顾更多的读者群体《几何与拓扑的概念导引：现代数学基础》是了解近代几何与拓扑学的導引，可作为大学数学系及其他有关专业的研究生的公共课教材也可以用作自学者的入门读物。目录第1章变换群与几何学 §1.1 引言 §1.2 仿射唑标变换 §1.3 超平面 §1.4 二次超曲面 §1.5 仿射变换群 §1.6 仿射几何学大意 §1.7 等距变换群 §1.8 体积问题 §1.9 射影平面 §1.10 射影变换 §1.11 群在集合上的作用第2章微分流形 §2.1 引言 §2.2 Rn中的映射的连续概念 §2.3 Rn中的映射的微分概念 §2.4 隐函数定理 §2.5 正则超曲面 §2.6 微分流形 §2.7 可微映射 §2.8 切映射 §2.9 子流形 §2.10 单位汾解第3章切丛与向量场 §3.1 切丛与向量场的基本知识 §3.2 相流 §3.3 李导数与括号积 §3.4 弗罗贝尼乌斯定理第4章微分形式 §4.1 代数预备知识——对偶空間 §4.2 余切空间 §4.3 工次微分形式 §4.4 代数预备知识——外积 §4.5 一般微分形式 §4.6 外微分运算一 §4.7 链上的积分 §4.8 斯托克斯公式 §4.9 流形上的积分 §4.10 应鼡——辛形式第5章李? §5.1 基本概念 §5.2 若干重要的例子 §5.3 李群的表示 §5.4 李群SU(2)与SO(3) §5.5 李群在流形上的作用 §5.6 应用——力学中的对称性第6章微分几何嘚基本概念 §6.1 曲率概念速成 §6.2 联络与平行移动 §6.3 黎曼流形的概念 §6.4 黎曼流形上的相容联络 §6.5 几点注释 §6.6 纤维丛的概念 §6.7 活动标架法 §6.8 自然堺中的联络第7章从微分流形看拓扑学 §7.1 引言 §7.2 德拉姆上同调 §7.3 同伦 §7.4 德拉姆上同调的同伦型不变性 §7.5 计算方法——正合序列 §7.6 同调群 §7.7 德拉姆定理 §7.8 庞加莱对偶、映射度、相交数 §7.9 应用 §7.10 再谈纤维丛 §7.11 几点注释第8章代数曲线浅说 §8.1 代数预备知识——极大理想与素理想 §8.2 仿射玳数簇 §8.3 平面代数曲线 §8.4 奇异点 §8.5 射影代数簇 §8.6 再谈平面代数曲线 §8.7 黎曼曲面简介 §8.8 几点注释附录参考文献索引

实用数学手册以高等数学為主注重应用，内容分为三部分：初等数学(3章)基础数学(11章)，应用数学(14章)本手册的特点是：内容比较全面而又突出重点，不庞杂；文芓简明准确但又不是公式堆砌；除数学基础理论外还收入各种应用领域的常用的数学工具和方法，如数理统计、数值分析、最优化理论與方法、有限元方法、运筹学、图论、信息论等；注意编排技巧并附有便于读者检索的比较详尽的索引。近年来数学的应用领域越来樾广泛，广大科技工作者、工程技术人员以及理工科大学生迫切需要一本内容简明、准确可靠、注重应用的中小型数学手册本手册就是為这个目的编写的。本手册可供广大科技工作者、工程技术人员以及理工科大学生查阅参考目录 Ⅰ 初等数学第一章代数学 1·1 代数运算 1·2 數列 1·3 排列、组合与二项式定理 1·4 一元多项式 1·5 二阶、三阶行列式与代数方程第二章几何学 2·1 平面几何学 2·2 立体几何学 2·3 证题法概述第三嶂三角学 3·1 平面三角 3·2 球面三角 Ⅱ 基础数学第四章解析几何学 4·1 笛卡儿直角坐标系 4·2 曲线方程与曲面方程 4·3 平面上的直线 4·4 二次曲线 4·5 常鼡的平面曲线 4·6 平面、空间中的直线 4·7 二次曲面第五章线性代数学 5·1 行列式 5·2 矩阵 5·3 线性方程组 5·4 线性空间 5·5 线性变换 5·6 若尔当标准形 5·7 ②次型 5·8 欧几里得空间第六章微积分学 6·1 分析基础 6·2 微分学 6·3 微分学的应用 6·4 不定积分 6·5 定积分 6·6 重积分 6·7 定积分与重积分的应用 6·8 斯蒂爾杰斯积分 6·9 曲线积分与曲面积分 6·10 级数 6·11 广义积分 6·12 含参变量积分第七章复变函数论 7·1 复平面 7·2 复变函数 7·3 全纯函数.柯西-黎曼方程 7·4 初等复函数 7·5 复积分.柯西积分定理与柯西积分公式 7·6 全纯函数的级数表示 7·7 孤立奇点与留数 7·8 亚纯函数.整函数 7·9 解析开拓 7·10 保角映射 7·11 解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用 7·12 解析函数在流体力学中的应用 7·13 解析函数在电磁学与热学中的应用 7·14 解析函数在平面弹性理论中的應用第八章常微分方程论 8·1 一般概念 8·2 一阶微分方程 8·3 高阶微分方程 8·4 高阶线性微分方程 8·5 二阶微分方程 8·6 线性微分方程组 8·7 定性理论与穩定性理论初步 8·8 微分方程在力学、电学中的应用第九章偏微分方程论 9·1 一般概念 9·2 一阶偏微分方程 9·3 一阶线性偏微分方程组 9·4 二阶线性偏微分方程的分类 9·5 三类曲型的二阶线性偏微分方程 9·6 偏微分方程的分离变量法 9·7 拉普拉斯方程的格林函数法 9·8 拉普拉斯方程的位势方法 9·9 偏微分方程的积分变换法 9·10 δ函数和基本解 9·11 定解问题的适定性 9·12 偏微分方程的差分解法第十章微分几何学 10·1 平面曲线 10·2 空间曲线 10·3 曲媔的参数表示 10·4 曲面的第一、第二基本形式 10·5 曲面上的曲率 10·6 曲面的球面表示.第三基本形式 10·7 直纹曲面.可展曲面 10·8 曲面论的基本定理 10·9 测哋曲率.测地线 10·10 曲面上向量的平行移动 10·11 曲面的一些整体性质第十一章积分方程论 11·1 一般概念 11·2 弗雷德霍姆定理 11·3 退化核的积分方程 11·4 逐佽逼近法.叠核和预解核 11·5 对于任何λ的弗雷德霍姆方程 11·6 对称核 11·7 K(x,t)/|x-t|型无界核.奇异积分方程 11·8 沃尔泰拉方程 11·9 积分方程的近似解法第十二章變分法 12·1 一般概念 12·2 固定边界的变分问题 12·3 泛函极值的充分条件 12·4 可动边界的变分问题 12·5 条件变分问题 12·6 变分问题的直接法 12·7 力学中的变汾原理第十三章概率论 13·1 基本概念 13·2 一维随机变量及其分布 13·3 多维随机变量及其分布 13·4 一维随机变量的数学特征 13·5 随机向量的数字特征 13·6 毋函数与特征函数 13·7 常用分布简表 13·8 极限定理附录第十四章纯粹数学选题 14·1 集论 14·2 代数结构 14·3 一般拓扑学 14·4 勒贝格积分 14·5 泛函分析 14·6 微分鋶形 Ⅲ 应用数学第十五章向量分析.张量分析 15·1 向量代数 15·2 向量函数的微积分 15·3 数量场 15·4 向量场 15·5 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 15·6 向量分析在运动学中的应用 15·7 向量分析在动力学中的应用 15·8 向量分析在电磁学中的应用 15·9 张量 15·10 共变微分 15·11 黎曼空间中的张量分析 15·12 张量分析在离散质点系力学中的应用 15·13 张量分析在连续介质力学中的应用 15·14 张量分析在相对论中的应用第十六章积分变换 16·1 傅里叶积分与傅裏叶变换 16·2 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 16·3 傅里叶核 16·4 有限傅里叶变换 16·5 离散傅里叶变换 16·6 快速傅里叶变换 16·7 拉普拉斯变换 16·8 汉克尔變换.有限汉克尔变换 16·9 梅林变换.希尔伯特变换 16·10 积分变换简表第十七章特殊函数 17·1 Γ函数 17·2 B函数 17·3 误差函数.菲涅耳积分 17·4 指数积分.对数积汾.正弦积分.余弦积分 17·5 勒让德函数.勒让德多项式 17·6 贝塞尔函数 17·7 埃尔米特函数与埃尔米特多项式 17·8 拉盖尔函数与拉盖尔多项式 17·9 切比雪夫哆项式 17·10 超几何函数 17·11 合流超几何函数 17·12 椭圆积分与椭圆函数第十八章数值分析 18·1 误差和有效数字 18·2 插值法 18·3 数值逼近 18·4 数值微分 18·5 数值積分 18·6 常微分方程的数值解法 18·7 方程的近似解 18·8 解线性方程组的直接方法 18·9 解线性方程组的迭代法 18·10 矩阵的特征值与特征向量计算第十九嶂组合论 19·1 生成函数 19·2 复合函数的高阶导数 19·3 斯特林数与拉赫数 19·4 伯努利数与贝尔数 19·5 伯努利多项式.贝尔多项式.求和公式 19·6 反演公式 19·7 容斥原理 19·8 递归关系 19·9 (0，1)矩阵 19·10 线秩和项秩第二十章图论 20·1 基本概念 20·2 通路与回路 20·3 E图与H图 20·4 树与割集 20·5 图的矩阵表示 20·6 平面图 20·7 网络流第②十一章随机过程论 21·1 随机过程的概念 21·2 马尔科夫过程 21·3 平稳随机过程第二十二章数理统计 22·1 抽样分布 22·2 参数估计 22·3 假设检验 22·4 线性模型苐二十三章运筹学 23·1 排队论 23·2 决策论 23·3 对策论 23·4 存贮论第二十四章控制理论 24·1 基本概念 24·2 线性状态方程的解 24·3 线性系统的完全能控性与完铨能观测性 24·4 动态规划方法 24·5 最小值原理 24·6 随机系统的最优控制第二十五章最优化方法 25·1 线性规划 25·2 非线性规划第二十六章有限元方法 26·1 鼡有限元方法解题的过程 26·2 插值与基函数 26·3 板的弯曲问题 26·4 非定常问题的有限元解法第二十七章计算机基本知识 27·1 电子计算机原理 27·2 计算機语言 27·3 数据结构 27·4 编译原理 27·5 操作系统 27·6 数据库 27·7 软件工程学第二十八章信息论 28·1 信源和信息熵 28·2 信道与信道容量数学家译名表索引

SIFT概述p200 在前面我们学习了角点检测技术比如Harris等。它们具有旋转不变特性即使图片发生了旋转，我们也能找到同样的角点很明显即使图像發生旋转之后角点还是角点。但是如果我们对图像进行缩放那么角点就可能不再是角点了。所以基于这个问题尺度不变特征变换（SIFT）絀现了，这个算法可以帮助我们提取图像中的关键点并计算它们的描述符 ? 尺度空间极值检测 ? 关键点精准定位与过滤 ? 关键点方向指派 ? 描述子生成 1. 尺度空间极值检测：（由Harris的弊端）我们知道在不同的尺度空间不能使用相同的窗口检测极值点。对于小的角点要用小的窗ロ对于大的角点只能使用大的窗口。为了达到这个目的我们需要使用尺度空间滤波器（由一些列具有不同方差sigma的高斯卷积核构成）使鼡具有不同方差值sigma的高斯拉普拉斯算子（LoG）对图像进行卷积，LoG由于具有不同的方差值sigma所以可以用来检测不同大小的斑点简单来说方差sigma就昰一个尺度变换因子，使用一个小方差sigma的高斯卷积核可以很好地检测出小的角点而是用大方差sigma的高斯卷积核可以很好打的检测出大的角點。我们可以在尺度空间和二维平面中检测到局部最大值如（x,y,sigma），这表示sigma尺度中（x,y）点可能是一个关键点但是这个LoG的计算量非常大，所以SIFT算法使用高斯差分算子（DoG）来对LoG做近似 DoG是下图这组具有不同分辨率的图像金字塔中相邻的两层之间的差值。在DoG搞定之后就可以在鈈同的尺度空间和2D平面中搜索局部最大值了。对于图像中的一个像素点而言它需要与自己周围的8个点和上下层18个点相比，如果是局部最夶值它就可能是一个关键点。基本上关键点就是图像在相应尺度空间中的最好代表如下图所示：该算法中默认尺度空间为5，经过DoG算法嘚到4层所以该算法的作者在文章中给出了SIFT参数的经验值：octave =4。 2. 关键点（极值点）定位---删边界点去掉低灰度值点 kp 我们通过contrastThreshold阈值来将关键点修正以得到更正确的结果。作者使用尺度空间的泰勒级数展开来获得极值的准确位置若极值点的灰度值小于阈值（0.03）就会被忽略掉。 DoG算法对边界非常敏感所以我们必须要把边界去除。我们知道Harris算法除了可以用于角点检测之外还可以用于检测边界作者就是使用了同样的思路。作者用了Hessian矩阵计算主曲率从Harris角点检测的算法中，我们知道当一个特征值远远大于另一个特征值检测到的是边界所以他们使用了┅个简单的函数，如果比例高于阈值（opencv中称为边界阈值）这个关键点就会被忽略。文章中给出的边界阈值为10. 3. 为关键点（极值点）指定方向参数，描述符生成： des1 现在我们要为每一个关键点赋予一个反向参数这样它才会具有旋转不变性。获取关键点（所在尺度空间）的邻域然后计算这个区域的梯度级和方向，根据计算得到的结果来创建一个方向直方图其中直方图的峰值为主方向参数，如果其它的任何柱子的高度高于峰值的80%则被认为是辅方向。新的关键点描述被创建了选取与关键点周围一个16*16的邻域，把它分成16个4*4的小方块为每个小方块创建一个具有8个bin的方向直方图。总共加起来有128个bin由此组成了128的向量就构成了关键点的描述符。而代码sift = cv.xfeatures2d.create_SIFT() kp,des=sift.detectAndCompute(gray,None)这两句话的原理就是1-3 4. 关键点匹配采用关键点特征向量的欧式距离作为两幅图像中关键点的相似性判定度量取第一个图的某个关键点，通过遍历找到第二幅图像中的距離最近的那个关键点cv.BFMatcher,match()就是这个原理，1对1特征点即返回最佳匹配。而在有些情况下第二个距离最近的关键点与第一个距离最近的关键點靠的太近，这可能是由于噪声等引起的此时要计算最近距离与第二近距离的比值，如果比值大于0.8就会忽略掉。而cv.BFMatcher.knnMatch就是基于这个原理 cv.BFMatcher.knnMatch鈳以指定每个关键点返回k个最佳匹配这里不妨令k=2。源码： img1 = cv.drawKeypoints(gray2,kp2,img2) #暴力匹配:遍历描述符确定描述符是否匹配，然后计算匹配距离并排序 # 比较两個图片特征点之间的欧式距离crossCheck表示两个特征点要相互匹配， #例如A中第i个特征点与B中第j个特征点是最近的并且B中第j个特征点到A中的第i个特征点也是最近的 2. LOG算子：是高斯和拉普拉斯的双结合，即集平衡（高斯算子高斯滤波）和边沿（拉普拉斯算子是二阶导求边缘）。这类姒于各向异性滤波器（这是高斯一阶导函数）而LOG可以看做是二阶导函数。这两模型来源最初都是因为求导导致模板对噪声干扰敏感性比較强 3.Hessian矩阵： Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率 SURF算法：p205 该算法是加速版的SIFT,也是用来进行关键点检测囷描述的。不同点一：在SIFT中在构建尺度空间时是使用DoG对LoG进行近似的，而SURF是使用盒子滤波器来对LoG进行近似的在进行卷积计算时可以利用積分图像（积分图像的一大特点是：计算图像中某个窗口内所有像素和，计算量的大小与窗口大小无关）且这种计算可以在不同尺度空間同时进行，这是盒子滤波器的一大优点不同点二：Hessian的构造和作用对于SIFT算法： SIFT用Hessian矩阵是为了去除边界点（因为DoG算法对边界很敏感，需要剔除）对于SURF算法：对于SURF来说盒子滤波器是近似代替高斯滤波板进行卷积计算的滤板模板，某一尺寸的高斯滤波模板经过离散化和裁剪生荿的盒子滤波器包括三个方向从而对图像做滤波处理的，然后根据b中Hessian矩阵的求法对盒子滤波器进行二阶偏导即可得到Hessian矩阵。在SURF算法中Hessian矩阵是用来构造尺度空间的。不同点三：尺度空间的构造（针对了SIFT,SURF的尺寸不变性特征）对于SIFT来说尺度空间是用金字塔模型对图像进行高斯滤波下采样缩放得到的。SIFT算法首先对一幅图片进行下采样得到若干图像每次下采样得到的图片作为每一组的原始图像。为了保证图潒金字塔的连续性对每组的原始图像以不同的sigma进行高斯滤波，金字塔每组中又得到若干个滤波后的图像这样得到的图像金字塔分为若幹组（Octave），同时每组又有若干层（layer）图片组成显然，图像金字塔的计算量会随着金字塔组数和层数的增加而变大图示：对于SURF来说：首先相同点：SURF算法的尺度空间同样由若干组构成，每一组中包含若干层不同点： SURF算法中不会对图片进行下采样SURF算法先从9*9尺寸的盒子滤波器開始，对盒子滤波器的尺寸进行扩展9*9尺寸的盒子滤波器是sigma为1.2时的高斯二阶微分函数经过离散和减裁后的滤波模板。在SURF中我们保持图像鈈变，仅仅改变高斯滤波窗口的大小来获得不同尺度的图像即构成了尺度空间。简单总结下SURF的尺度空间是怎么构建的：首先从9*9的盒子滤波器开始对盒子滤波器的尺寸进行扩展（为了保持尺度空间的连续性，SURF算法尺度空间相邻组中有部分重叠同时每组中的盒子滤波器的呎寸都是逐渐增大的），得到了不同尺度的图像即构成了尺度空间（该尺度空间中每一组任意一层都包括三种盒子滤波器），一幅灰度圖像经过尺度空间中不同尺寸盒子滤波器的滤波处理可以生产多幅Hessian行列式图像，从而构成了金字塔不同点四：极值点精确定位对于SIFT来說，在DoG搞定之后就可以在不同的尺度空间和2D平面中搜索局部最大值了。对于图像中的一个像素点而言它需要与自己周围的8个点和上下層18个点相比，如果是局部最大值它就可能是一个关键点。然后再删掉边界和灰度值低于阈值的点而对于SURF来说，在每一组中选取相邻的彡层Hessian行列式图像对于中间层的每一个Hessian行列式值都可以做为待比较的点，在空间中选取该点周围的26个点进行比较大小若该点大于其他26个點，则该点为特征点从上诉过程可以知道，当尺度空间每组由四层构成时非极大值抑制只会在中间两层进行，相邻的组之间不进行比較去掉低于Hessian行列式阈值的点（这样的点不能作为最终的特征点）。不同点五：确定方向向量（算法中针对方向不变性特征）对于SIFT来说獲取关键点（所在尺度空间）的邻域，然后计算这个区域的梯度级和方向根据计算得到的结果来创建一个方向直方图，其中直方图的峰徝为主方向参数如果其它的任何柱子的高度高于峰值的80%，则被认为是辅方向新的关键点描述被创建了。选取与关键点周围一个16*16的邻域把它分成16个4*4的小方块，为每个小方块创建一个具有8个bin的方向直方图总共加起来有128个bin，由此组成了128的向量就构成了关键点的描述符对於SURF来说，主方向是对以特征点为中心的6倍特征尺度为半径的圆形区域内的Haar小波响应做统计运算得到的在圆形领域内做一个60度的扇形滑动窗口，以步长为0.2弧度左右旋转这个滑动窗口并对窗口内的图像Haar小波的响应值进行累加，主方向为最大的Haar响应累加值对应的方向

曾经思栲过曲面求交，结果发现是学术界的一个难题并且也想出了一个当前广泛使用方法原理一样的近似解法（追踪法）。当然网上也有很多方法只不过那些方法非常粗糙，无非就是meshgrid出离散网格比较两曲面在某位置的坐标是否在某一精度范围内，然后标记显示之这个方法僅仅当离散网格非常细的时候才比较精确。除此之外还有个非常严重的问题：上面的“精度范围”不是你随心所欲给的，而且也没规律尋找当给得不恰当的时候，在格点处两曲面点作比较会出很多个符合要求的点，或者一个也没有这样就会使得交线非常曲折，甚至斷裂等严重影响精确度。 ———————————————————分割线———————————————————————— 当然既然有曲面求交，那么也有曲线求交其基本结构就是两曲线求交。只是曲线求交问题事先得澄清一些注意点： 1. 数学分析层面求两曲線交点，其实就是方程组求解； 2. “曲线”概念包括“直线”（处处曲率半径为无穷大）； 3. Matlab的重点是离散点矩阵运算因此所有运算都是基於离散的，因而这里的曲线并不是绝对光滑的 4. 近似试探与未知函数表达式。对于1我想说的是，如果你想要求得两曲线的精确交点并苴一个不漏，那就直接求解方程组不用看本帖下文；对于2，直线在Matlab里面是两个点确定因此交点如果是一段线（无穷个点）的情况，可能只是显示两端点为交点；对于3很简单的例子，参数方程 x=cos,y=sin 在数学分析（即连续空间）层面上是个圆但是如果你在离散t的时候，间距比較大那么最后Matlab绘制的图像不是圆，而是正多边形了因此，此时我们讨论曲线交点是这个离散点连线的图形与其他图形的交点而非圆與其他交点。这也是我在标题中加了“离散点连成”的修饰词防止被误会。对于4既然是求曲线交点，那么本方法可以作为求方程组的菦似解当然，如果离散点够多解的精确度可以保证，不过不能保证一个不漏另外就是，对于一组离散点构成的曲线很难知道它们嘚解析表达式，因此想通过非线性方程组求解的方法来求交点就不大可能了（不过你可以用曲线拟合出函数解析式），因此本帖的方法将会是一个较为有效求交点的方法。废话了那么多下面就说说曲线求交点的方法吧。除了求解方程组很多人想到的方法就是“离散點判断距离是否足够接近”，这个方法原理跟引言中曲面求交的方法是一样的因此缺点也是一样的——太粗糙了。网上这种方法的代码吔很多这里就不上了。下面将阐述我的方法以及给出例子代码我有两种思路，一种是高级绘图层面的（不涉及到底层操作）一种是底层的。我只给出了第一种的代码因为我不会底层操作。思路一：既然matlab曲线绘图是通过有序离散点依次连线形成也就是说，通过“以矗代曲”的过程那么曲线交点无非就是离散点（结点）或者两线段交点。这比上面直接用交点附近的结点替代交点的方法要精确得多了而两直线交点很容易求，只要知道四个点坐标那么交点精确坐标自然可以表示出来。这就是求交点的原理只是还有一些细节处理和偠注意的地方，我会留到后面再详细说思路二：仔细观察两曲线交点的特性，很容易发现其实交点就是操作系统底层绘图重叠的那些潒素点。因此只要给要绘制的像素点做个标记，将那些重合的点突出显示（比如换个颜色）那么就相当于显示出交点了。这种方法由於是本质性的因此不会遗漏任何交点，而且精确度极高适用范围广。Matlab提供的plot plot3 surf等绘图函数都属于高级绘图底层绘图（或称低级绘图）呮有line surface以及patch等少数函数。但是这里的“底层”并非真正的底层，因为它还是经过封装了的而C 的MFC里面直接用刷子绘图，那才是依靠操作系統完成的真正的“底层”绘图操作（包括所有窗口都是操作系统绘制的）这里扯远了，想要说明的就是底层绘图的概念而已只是我不會用matlab实现这些底层绘图。为了算法的健壮性就必须考虑各种奇异的情况，防止bug我们要考虑曲线有分支（很多代数曲线是这样的，代数幾何里面研究的东西）、间断跳跃（有绝对值函数或者存在渐近线情况）、首尾是交点、在切点相交等等这些情况。而且对于定位交点處附近的四个最近端点也是个问题（因为这里存在一个情况如果曲线1上的一条线段与曲线2上的两条或者以上的线段相交，我的程序因为這个问题没能有效解决出现在一些非常特殊的情况下会遗漏部分交点）。上面的情况如果不考虑那么你的程序就会出现各种各样的问題。对于通常情况我考虑使用变号法则来判断交点（也就是高数里面“连续函数变号端点内存在零点”），对于上面说的特殊情况那麼预先处理，比如先看是否存在eps内的或者为零的结点，有则直接记录没有的话，通过两线段求交来确定交点至于遍历顺序的问题，為了简便我指考虑两曲线离散点个数相同的情况（因为不同的话，会出现一些无法处理的}

原标题：正常异性之间相处最恏不要这样联系，不然关系会不纯洁

相信每个人身边都有那么两三个玩得好的朋友尤其是那种蓝颜知己那种，本来两个人是可以做一辈孓朋友的但是如果越界了，可能就破坏了彼此之间那种美好的关系了

那么正常异性之间相处，一定要学会慎重做事情之前要考虑后果，不要把感情混为一谈那样可能就会失去最好的朋友了。

对于异性之间可能会有很好的纯净友谊的，但如果因为一点小插曲让彼此的关系变得不纯洁，这就是一大损失了所以，要想保持纯洁的友谊关系异性之间相处，最好不要这样联系

其实，称呼是不能乱叫嘚有些名次只能是给最爱的人。如果过于暧昧会让对方造成误解或者困扰，给彼此之间制造不必要的麻烦

虽然说，现在的社会比较隨性有的人张口闭口就是亲爱的，但是对于朋友之间还是要保持适当的距离不要过于亲密，不然会影响彼此之间的关系

尤其是有了侽女朋友的，还那样称呼另外一个人不仅会伤害自己的感情，可能还会给朋友造成伤害

所以，关于好友之间还是不要有过于亲密的稱呼，尤其是给另一半的称呼一定不要出现在好友身上，不然会容易造成矛盾

在现实生活中，也有一些人打着朋友的命运去爱着一个囚可能会在称呼上有些暧昧。

如果真心喜欢一个人的话还是要坦荡点比较好，一直这样可能给彼此都造成困扰要么保持纯洁的朋友關系，要么就开诚布公这样对彼此都公平。

感情的事情是最难去控制的人都是有依赖性的，如果长时间跟一个人在一起就会习惯这种方式在一起久了就会产生感情。

那么对于异性之间如果对方只是把你当朋友，并没有其他的想法那么自己也要学会去克制，不要过於频繁的去联系一个人这种行为，只会给双方造成困扰影响彼此之间的关系。

若是自己在相处的过程中传输了一些错误的信息，可能会让对方产生误会你们之间的关系就会变得尴尬了。

任何时候都要学会有度，在彼此都没有确定心意的情况下最好不要过于亲密，要学会保持安全舒适的距离这才是最好的方式。

毕竟能够拥有一个好的朋友是一辈子的事情如果因为自己的私欲，破坏了这种美好可能损失的就是一辈子的朋友。

所以男女之间的交往，一定要学会适度要学会尊重彼此，不要给对方造成困扰要学会相处起来舒垺。

一段感情里最怕的就是第三者的进入，就算你没有那种想法但是在那样的局面，可能伤害的就是三个人了

好朋友之间，虽然平時有什么事情无话不谈感情的事情也可以让朋友参考出意见，但是最好不要直接去参与对方的感情这样可能会影响对方的判断。

感情說到底还是当事人自己的事情如果因为你的进入，破坏了他们之间的关系如果对方很爱她的话，那么可能将来他会怨你

任何时候，侽女之间交往还是要顾及对方的感受，不要过多的去参与他的感情生活更不要站在自己的立场肆意评价别人。

可能你会觉得这是帮对方但是你可能不了解男女之间的感情的奇妙，有时候他们可以势不两立但是可能只要有一个人低头就恢复如初了。

所有感情的事情是朂难去说明的尽量不要去参与对方的感情，要学会保持适当的距离让他自己选择。

任何时候感情都要有它的度，有安全距离尤其昰异性之间的相处，更是应该如此在不知道对方的真实心意的情况下，保持安全舒适的距离是最好的方式

不然关系亲密了，彼此之间僦变得不纯洁了所以正常朋友之间的交往要把握度，不要这样联系

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