3 4 数学通讯 一 2 0 1 4 年 第 1 O期( 下半月) ·解题方 法 · 由一道函数方程与方程问题的错解引发的探索和思考 毛锡荣 钱军先 ( 江苏 省无锡市辅 仁高级 中学 2 1 4 1 2 3 ) 1 ．缘起——来 自学生的疑惑 复习导數在 函数方程与方程中的应用时， 我们备课 组为学生设计了这样一道作业题 ： 已知函数方程 ( z ) =k x， g ( z ) 一- = 2正确 解法 1 是错的． 那么 ， 解法 l 的错 因昰什么呢? 3 释疑—— 理解 错误 的症 结 学生： 解法 1是将问题转化为函数方程f ( z ) =k x与 g ( z ) 一 的图象 的交点个 数来 判断 解法 2是 将 问题转化为函数方程 =忌与 ^( ) = 嘚图象 的交点 个数来判断． 水平直线 一忌- gh( ) 一 的图象的 交点 ， 根据 ^ ( z ) 一 一1 ( 1 ≤ ≤2 ) ， 如图4 ． 若讨论直线 一 是 z与之有交点时 A 的范 围 其结果应是 忌 0 D ≤k ≤ k o c ， 而不是 忌 ∞≤k ≤k o a ． 因此 在解法 1中要考虑 直线 y =k x过曲线端点时是否会与曲线有其他交 点的情况， 这就需要先求曲线过原点的切线及其切 点 以确定曲线在端点附近是否有 曲率较大的向上 弯曲的情况． 学 生 ： 有 道 理 ． tE ~ g ( x ) === 在 [ 专 ， ] 上 的 图 象到底是什么样的?怎样才能准确地作出来呢? 教师： 请大家想想看 影响函数方程图象的因素有哪 些 呢 ? 经过一番讨论后 ， 有了比较清晰的认识． 学生： 要考虑定义域、 值域、 奇偶性 、 单调性 、 周 期性、 极值、 最值 还有 凹凸性、 渐近线等等． 教师： 很 好 !事实上 ， 由解法