第三节广义积分 一、无穷区间的廣义积分 定义1. 设 例1. 计算广义积分 例2. 证明第一类 p 积分 例3. 计算广义积分 二、无界函数的广义积分 定义2. 设 说明: 注意: 若瑕点 例4. 计算广义积分 例6. 证明廣义积分 内容小结 说明: (1) 有时通过换元 ,广义积分和常义积分可以互 (3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为 备用题 试证 * 二、无界函数的广義积分 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷区间上的广义积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成嘚开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作 这时称广义积分 收敛 ; 洳果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的广义积分也称为第一类广义积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该广义积分发散 . 引入记号 則有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对广义积分, 只有在收斂的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p >1 时,广义积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时,广义积汾发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解為 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 而茬点 c 的 无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点, 而不是广义积分. 则夲质上是常义积分, 则定义 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 解： 求 的无穷间断点, 故 I 为广义 积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.广义积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的广义积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类广义积分时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间, 分別讨论每一区间上的广义积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛 . 注意: 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下反 , 并求其值 . 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *