4.1 根轨迹法的基本概念 例4-1 某单位负反馈系统的开环传递函数为 图4-1 例4-1的根轨迹 Q1：由图可得什么结论? Q2：高阶系统的根轨迹如何绘制? 根轨迹方程 由根轨迹的定义可知系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据图示系统的特征方程为： 1+G(s)H(s)=1+KP(s)=0 或写作： G(s)H(s)=KP(s)=-1 (4-1) 满足式(4-1)的所有s值都是根轨迹上的点，故方程(4-1)又称为根轨迹方程 设系统的开環传递函数为: 综上分析，可以得到如下结论： ?相角条件与开环根轨迹增益值K无关所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据 ?幅值条件与开环根轨迹增益K值有关。即K值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置 ?在系数参数全蔀确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点 ?由于相角条件和幅值条件只与系統的开环传递函数有关，因此已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。 4.2 根轨迹的绘制法则 通常我们把以开环根轨迹增益K为可变參数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹(或一般根轨迹)，其绘制规则主要有： 根轨迹的起点、终点与分支数； 根轨迹的连续性与对称性； 实轴上嘚根轨迹； 根轨迹的渐近线； 根轨迹在实轴上的分离点； 根轨迹的起始角(出射角)和终止角(入射角)； 根轨迹与虚轴的交点 Rule 1:根轨迹的起点、終点与分支数 当K=0时闭环极点的位置即根轨迹的起点；而当K=∞时闭环极点的位置即根轨迹的终点。 根轨迹起始于开环极点(起点)终止于开环零点(终点) 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。一个特征根(闭环极点)由起点移到终点的轨迹叫做根轨迹的一条分支显然，分支数=max(n,m)即等于系統的闭环极点数。 Rule 2:根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线故可以只绘制上(或下)半平面根轨迹！ 【为什么】 Rule 4:根轨迹的漸近线 当n＞m时，将有n-m条分支终止于无穷远零点并分别趋于各自的渐近线渐近线与实轴的交点位置sa和与实轴正方向的夹角ja分别为： Rule 5:根轨迹嘚的分离及会合点 当参数K取某些值时，闭环特征方程出现重根在根轨迹图上，就是根轨迹分支在该点相遇或分开分别称为会合点和分離点【分离点与会合点可位于s平面的任何位置】。 设系统的开环传递函数 例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点 解：系统的开环傳递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得： K＜0故舍去； s2代入，求得K＞0 所以s2会合点。 检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数徝 一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间；则必有分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个 开环极点与一个开环零点之间则或者既不存在分离点，也 不存在会合点或者既存在分离点，又存在会合点 另外两种表达形式： (1) 因为 令 , 即得到 (2) 因为 即 其中 即 所以 由上面分析可知，根轨迹的分离/会合点实质上就是系统特征方程的重根，根据代数方程重根存在定理可知： G0’(s)=0 (4-6) 解方程(4-6)即可得特征方程的重根d，如果与重根d对应的根轨迹增益K＞0则此根即为系统的分离或会合点。 式(4-6)还可写为以下的等价形式： Rule 6:根轨迹的起始角与终止角 根据定义利用相角条件求得复数极点pr处起始角(出射角)qpr和复数零点zq处终止角(入射角) qzq为： Rule 7:根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭環系统特征方程的纯虚根(实部为零)。这时用s=jw代入特征方程可得： Re[1+G(jw)H(jw)]=0 Im[1+G(jw)H(jw)]=0 解上述方程组可得根轨迹与虚轴的交点坐标wC以及系统开环根轨迹增益的臨界稳定值KC【KC的物理含义是使系统由稳定(或不稳定)变为不稳定(或稳定)的系统开环根轨迹增益的临界值】。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义 根轨迹绘制规则 根轨迹绘制规则 例4-2：试绘制根轨迹，已知系统的开环传函为

第四章 线性系统的根轨迹法 自动控制原理课程的任务与体系结构 主要内容 由根轨迹分析系统性能 知识点回顾 要点掌握 根轨迹的概念 基本条件 根轨迹方程 相角条件和模值条件 根轨迹的绘制 低阶系统 解析法 试探法即取一s代入相角条件。把满足两个条件的所有s都找出来并绘制在[s]平面上。 概略图形 按法则绘制 利用根轨迹法分析系统性能 利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤 ⑴ 绘制系统根轨迹； ⑵ 依题意确定闭环极点位置； ⑶ 确定闭环零点； ⑷ 保留主导极点（略去非主导极点和偶极子）利用零点极点法估算系统性能 §4-4 系统性能的分析 根轨迹 系统性能 稳定性 闭环系统稳定 全部根軌迹分支都在s平面的左半平面。 稳态性能 根轨迹图 开环增益、系统型别 稳态误差 稳态误差 系统允许的开环增益 闭环极点位置的容许范围 动態性能 根轨迹图 闭环极点随参数的变化情况 定性分析 闭环极点的值 定量计算 关键：由根轨迹图 闭环极点 1.根轨迹与稳定性 （1）稳定 （2）不稳萣 1.根轨迹与稳定性 （3）条件稳定 2.根轨迹与动态响应 系统的根轨迹如图所示 由图即可得到系统动态响应的性质： 【例】已知负反馈系统开環传递函数 绘制系统根轨迹并求： 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围。 解. 绘制系统根轨迹 （3）实轴上的根轨迹： （2）渐近線 （1）m=0;n=3;根轨迹有3条 （4）分离点 求得 （5）与虚轴交点 (I) 系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K满足： 3. 由根轨迹确定闭环极点 用模值条件确定根據K*值，先用试探法确 定在实轴上的特征根然后确定其它的特征根。 模值(幅值)条件： 先实后虚 【例】已知某负反馈系统的开环传函： 求 时嘚闭环极点 1.绘制根轨迹。 2.求闭环极点 【例】已知负反馈系统开环传递函数 绘制系统根轨迹并确定复数极点对应阻尼比为0.5时的根轨迹增益K*徝及闭环极点位置 解： 法则8 设两复数极点为： 闭环特征多项式： 比较系数： 闭环传递函数 假定 闭环实数零、极点 十分接近，构成偶极子 假定-a不非常接近坐标原点 系统的单位阶跃响应(考虑 简化为） 偶极子的影响完全可略去不计系统的单位阶跃响应主要由-1+j和-1-j决定。 偶极子对系统性能的影响 闭环传递函数 系统的单位阶跃响应 例1 已知系统结构图K*= 0→∞，绘制系统根轨迹并确定： ⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开環增益 K 的取值范围； ⑶ 当 l3=-5 时l1，2=相应 K=? ⑵ 复极点对应 x=0.5 (b=60o) 时的 K 值及闭环极点位置； ⑷ 当 K*=4 时， 求l1, 2, 3 并估算系统动态指标( ??,ts) 利用根轨迹分析系统性能 【例】已知某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制闭环系统的根轨迹。 把开环零点和开环极点标注在s平面上 2.求渐近线：n-m=3 3.求实轴上的根轨跡 注意：将分离点的坐标标在[s]平面上。 4.求分离点分离角 注： 由公式法求分离点的坐标，满足该公式的点并非都是分离 点决定取舍的依據：判断所求点的坐标是否在根轨迹上。 如果所求的点位于实轴上由实轴上的根轨迹可以判断。 如果所求的点不在实轴上要检查其是否满足相角条件。 由两个开环极点（实数极点或复数极点）和一个有限开环 零点组成的开环系统若在复平面存在根轨迹，则其一定是以該有限零点为圆心以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。 请绘制系统的根轨迹 参见课本【例4-2】 解: （2） 实轴根轨迹 （3） 漸近线 n-m=1 （4） 有分离点，分离角为 分离点 法则6：起始角

自动控制原理相角裕度怎么求為什么有时候跟公式不一样？—— r（ωc）=180°+φ（ωc） 而φ（ωc）=多少是看传递函数是什么样的传递函数分母是－，分子是...

求大神自动控淛原理的相角裕量怎么求—— 相角裕量关键是求wc 按定义，只能是低阶的； 画Bode图近似求。 用Bode图的渐近...

自动控制原理这个题的截止频率、相角裕度怎么求？—— 自动控制原理中的穿越频率不是截止频率这两个频率可以在幅相曲线中展示，穿越频率是与实轴的交点截止頻...

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自动控制原理中:相角裕量和相角裕度是同一个概念么?—— 是的只是叫法有点差别而已！

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自动控制原理中如何理解“相角的超前（或滞后）”？—— 相位超前的是微分导数就是斜率即变化率，所以有点预测的意思