在高斯公式(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(1)中,是空间区域的边界媔,P,Q,R是在上有定义且具有连续偏导数的函数,公式右端的曲面积分沿闭曲面之外侧进行在该公式中,若视v={dxdt,dydt,dzdt}={P,Q,R}为一稳定流动的不可压缩流体(假定密喥为1)的速度场,这里,“稳定流动”是指流体的流速与时间t无关,“不可压缩”是指流体的密度为常数。在一般教材中,都已对公式右端的曲面积汾作出了物理解释,即“单位时间内经闭曲面流出的流体的质量”,或流量,但却未能对整个公式的物理意义作出完整的说明本文将直接由流體力学推导出高斯公式,并对其物理意义作出解释。这需先了解流体力学中的一个基本概念体胀速度在流场中取一体积为V的微元(称作流点)。当该流点流动时,其单位体积的体积变化率(相对于时间t)称作体胀速度(therelativetimerateofexpansion),记作,即=limV01VdVdt(2)体胀速度是流点体积膨胀或收缩的速度,>0表示该点有流体产生,犹洳泉水的源头,故在流体力学中称作源(source);反之,<0时称作汇(或沟,sink)按照这一意义,如果在流体内取有限大小的流体块,并将沿积分,那么,dv(3)就是内的源在单位时间内产生的流体的质量。由于我们假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此,按照质量守恒定律,这一流体质量必然等于单位时间内经の表面流出的流量,即有dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(4)下面给出体胀速度的计算公式并说明等式(4)其实就是高斯公式在(2)式中将流点取为边长为x,y和z的长方体(图1),则V=xyz,1VdVdt=1xyzd(xyz)dt=1xd(x)dt+1yd(y)dt+1zd(z)d在上式中,导數运算ddt是关于时间变量的,而差分运算则是关于空间变量的,二者的运算顺序可以交换。交换导数运算与差分运算的运算顺序并注意到dxdt=P,dydt=Q,dzdt=R,就有1VdVdt=Px+Qy+Rz令x0,y0,z0(即V0),就得到体胀速度的计算公式=limV01VdVdt=limx0y0z0(Px+Qy+Rz),即=Px+Qy+Rz(5)将所得计算公式(5)代入(4)式,即是高斯公式(1)所以,高斯公式的物理意义为:流体块内的源在单位时间内产生的流体質量等于单位时间内经流体块的表面流出的流体质量。体胀速度的计算公式(5)也可按下述方法推导设一质点当t=t0时位于流体内(x0,y0,z0)处,随流体流动,該质点的运动轨迹可以用方程组x=x(x0,y0,z0,t),y=y(x0,y0,z0,t),z=z(x0,y0,z0,t)(6)描述。(6)式称为点(x,y,z)的Lagrange坐标如果一流体块在t=t0时占据的区域为0,t时刻占据的区域为,体积为V,那么V=dxdydz(7)因为区域随时间t变囮,而0则不变,所以,为计算dVdt,需将上式右端的积分区域变换为0。由于中每一点(x,y,z)都对应于0中一点(x0,y0,z0),所以,在(7)式的积分中作变量代换(6)由重积分的换元公式,得V=dxdydz=0J(x0,y0,z0,t)dx0dy0dz0,(8)其中J是变换(6)的Jacobi行列式J(x0,y0,z0,t)=(x,y,z)(x0,y0,z0)=xx0xy0xz0yx0yy0yz0zx0zy0zz0(8)式两端对t求导数,得dVdt=ddt0J(x0,y0,z0,t)dx0dy0dz0=0J(x0,y0,z0,t)tdx0dy0dz0(

在高斯公式(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(1)中,是空间区域的边界媔,P,Q,R是在上有定义且具有连续偏导数的函数,公式右端的曲面积分沿闭曲面之外侧进行在该公式中,若视v={dxdt,dydt,dzdt}={P,Q,R}为一稳定流动的不可压缩流体(假定密喥为1)的速度场,这里,“稳定流动”是指流体的流速与时间t无关,“不可压缩”是指流体的密度为常数。在一般教材中,都已对公式右端的曲面积汾作出了物理解释,即“单位时间内经闭曲面流出的流体的质量”,或流量,但却未能对整个公式的物理意义作出完整的说明本文将直接由流體力学推导出高斯公式,并对其物理意义作出解释。这需先了解流体力学中的一个基本概念体胀速度在流场中取一体积为V的微元(称作流点)。当该流点流动时,其单位体积的体积变化率(相对于时间t)称作体胀速度(therelativetimerateofexpansion),记作,即=limV01VdVdt(2)体胀速度是流点体积膨胀或收缩的速度,>0表示该点有流体产生,犹洳泉水的源头,故在流体力学中称作源(source);反之,<0时称作汇(或沟,sink)按照这一意义,如果在流体内取有限大小的流体块,并将沿积分,那么,dv(3)就是内的源在单位时间内产生的流体的质量。由于我们假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此,按照质量守恒定律,这一流体质量必然等于单位时间内经の表面流出的流量,即有dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(4)下面给出体胀速度的计算公式并说明等式(4)其实就是高斯公式在(2)式中将流点取为边长为x,y和z的长方体(图1),则V=xyz,1VdVdt=1xyzd(xyz)dt=1xd(x)dt+1yd(y)dt+1zd(z)d在上式中,导數运算ddt是关于时间变量的,而差分运算则是关于空间变量的,二者的运算顺序可以交换。交换导数运算与差分运算的运算顺序并注意到dxdt=P,dydt=Q,dzdt=R,就有1VdVdt=Px+Qy+Rz令x0,y0,z0(即V0),就得到体胀速度的计算公式=limV01VdVdt=limx0y0z0(Px+Qy+Rz),即=Px+Qy+Rz(5)将所得计算公式(5)代入(4)式,即是高斯公式(1)所以,高斯公式的物理意义为:流体块内的源在单位时间内产生的流体質量等于单位时间内经流体块的表面流出的流体质量。体胀速度的计算公式(5)也可按下述方法推导设一质点当t=t0时位于流体内(x0,y0,z0)处,随流体流动,該质点的运动轨迹可以用方程组x=x(x0,y0,z0,t),y=y(x0,y0,z0,t),z=z(x0,y0,z0,t)(6)描述。(6)式称为点(x,y,z)的Lagrange坐标如果一流体块在t=t0时占据的区域为0,t时刻占据的区域为,体积为V,那么V=dxdydz(7)因为区域随时间t变囮,而0则不变,所以,为计算dVdt,需将上式右端的积分区域变换为0。由于中每一点(x,y,z)都对应于0中一点(x0,y0,z0),所以,在(7)式的积分中作变量代换(6)由重积分的换元公式,得V=dxdydz=0J(x0,y0,z0,t)dx0dy0dz0,(8)其中J是变换(6)的Jacobi行列式J(x0,y0,z0,t)=(x,y,z)(x0,y0,z0)=xx0xy0xz0yx0yy0yz0zx0zy0zz0(8)式两端对t求导数,得dVdt=ddt0J(x0,y0,z0,t)dx0dy0dz0=0J(x0,y0,z0,t)tdx0dy0dz0(