把e^x在x=0处展开得：

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

幂级数的求导和积分可以逐项进行因此求和函数相对比较容易。

一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上嘚一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数并使得复分析这种手法可行。

泰勒级数可以用来近似计算函数的值

泰勒以微积分學中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值組成的无穷级数表示出来

然而，在半个世纪里数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的怹把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后由柯西给出的。