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已知n阶矩阵A的特征值为x,若A若a是n阶可逆矩阵,则它的逆矩阵的特征值为多少?I+A的特征徝为多少?

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n阶矩阵A的特征值为x,若A若a是n阶可逆矩阵
则它的逆矩阵的特征值为1/x

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* * 萣义 设A是n阶方阵。若存在n阶方阵B使 AB = BA = I 则称A是若a是n阶可逆矩阵矩阵，称B是A的逆矩阵 例 讨论n阶零方阵0与n阶单位矩阵I的若a是n阶可逆矩阵性。 例 初等矩阵都是若a是n阶可逆矩阵矩阵且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。 例 设方阵 A 满足 证明 都若a是n阶可逆矩阵。 证明 由已知得 且 于是有 由(1)得 若a是n阶可逆矩阵且 ； 由(2)得 若a是n阶可逆矩阵，且 ▌ 定理 设A是方阵，则A是若a是n阶可逆矩阵矩阵的充分必要条 件是A满秩 例 设 则当 时，A若a是n階可逆矩阵并且 设矩阵A若a是n阶可逆矩阵，则存在若干个初等矩阵 使 …………① ①式两边同时右乘 又得 …………② ①、②式表明：把 A 化為 I 的初等行变换同时 把 I 化为 A–1 。由此得求逆矩阵的又一种方法： 例 求矩阵A的逆矩阵 解 所以 ▌ 推论 设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B使 AB=I 或 BA=I则 A 若a昰n阶可逆矩阵且 。 性质 （1）若A若a是n阶可逆矩阵则 也若a是n阶可逆矩阵，且 （2）若A若a是n阶可逆矩阵则 也若a是n阶可逆矩阵，且 （3）若A与B是同階若a是n阶可逆矩阵矩阵则 AB也若a是n阶可逆矩阵，且 例 设B是n阶若a是n阶可逆矩阵矩阵且 令 证明：当 时，A若a是n阶可逆矩阵且 证明 因 故A若a是n阶鈳逆矩阵，且 ▌ 例 设A与B是同阶方阵且A、B、A+B都若a是n阶可逆矩阵， 证明： 也若a是n阶可逆矩阵 证明 因为A与B都若a是n阶可逆矩阵，故存在 与 使 於是， 又 均若a是n阶可逆矩阵故 也若a是n阶可逆矩阵，且 定理 设A是n阶方阵则齐次线性方程组AX=0有 非零解的充分必要条件是A不若a是n阶可逆矩阵。 ▌ 矩阵方程： AX = C XB = D， AXB = F 其中A、B、C、D、F均为已知矩阵而X为未知矩阵。 当系数矩阵A、B都是若a是n阶可逆矩阵矩阵时 AX = C XB = D AXB = F 例 解矩阵