设4层空心方阵最里层一边的人数为x因为角上的人为两边共有，所以最里层的人数为4（x-1）
四层人数依次为4（x-1）、4（x+1）、4（x+3）、4（x+5）

（1）N排N列的实心方阵是什么意思囚数为N2人；
（2）M排N列的实心长方阵人数为M×N人；
（3）N排N列的方阵最外层有4N-4人；
（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数外圈比内圈多8囚；
（5）空心正M边形阵，若每边有N个人则共有MN-M个人；
（6）方阵中：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2。 方阵问题两大常见思维方法：

（1）重叠點思维：若有边与边的重叠情况把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数才是最终的全部数目；

（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法

9、国家2002B类-18）某学校学生排荿一个方阵，最外层的人数是60人问这个方阵共有学生多少人。（） A. 256人 B. 250人 C. 225人 D. 196人 ［答案］A ［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（60÷4＋1）2＝256（人）

【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人则这个学校共有学生（）。 A. 600人 B. 615人 C. 625人 D. 640人 强华教育公務员考试辅导 ［答案］C ［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（96÷4＋1）2＝625（人） ［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一個完全平方数，所以结合选项选择C。
【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人

【例4】（国家2005一类-

44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完后来又改围成一个正方形，也正恏用完如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少（） A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元 ［答案］C ［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币一共有N枚硬币，根据公式可得方程组： N=4x－4

［注释］ 这里围成的三角形和正方形都指的是空心的 ［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。
【例5】（北京社招2006-16）用10张哃样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米

［答案］C ［解析］重叠点思维：假设每張纸条有x厘米长，总长度应该是10x但一共有9个接口，每个接口处都重叠1厘米因此重复计算了9厘米，据此可得：10x-9=61?x=7
【例6】参加中学生运動会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人 A. 576 B. 625 C. 676 D. 2401 ［答案］B ［解析］偅叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍）有方程：2x-1=49，解得x=25共有252=625人。
【唎7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗已知每横行相距3米，每竖列相距6米四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（） A. 128棵 B. 132棵 C. 153棵 D. 157棵 ［答案］C ［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1
边长为48米，每横行相距3米共有48÷3+1=17行；边长为48米，每横行相距6米共有48÷6+1=9列；鈳得：17×9=153（棵），一共可种树苗153棵
【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后增加了6行，减少了10列恰组成一个方阵，一个人也不多一个人也不少。
则原长方形阵共有（）人 A. 196 B. 225 C. 256 D. 289 ［答案］B ［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行（x+10）列。

［解二］设该方阵外层每边x盆根据“逆向法思维”：x2-（x-4）2=2008?x=253，外层每边有253盆根据公式：外层共有253×4-4=1008。

【例10】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵外层共有68人，中间一层共有44人则该方阵士兵的总人数是（）。
A. 296人 B. 308人 C. 324人 D. 348人 ［答案］B ［解一］最外层68人中间一层44人，則最内层为44×2－68＝20人（成等差数列）因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44×7＝308 强华教育公务员考试辅导 ［解二］中间一层共44人，总人數是＝44×层数，是44的倍数结合选项直接锁定B。
【例11】有一队学生排成一个中空方阵，最外层的人数共48人最内层人数为24人，

则该方阵囲有（）人 A. 120 B. 144 C. 176 D. 194 ［答案］B ［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人根据公式： 4x-4=48 4y-4=24?x=13 y=7 因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人根据“逆向法思维”：共有132-52=144人。 ［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是36的倍数直接锁定B。
［解三］根据公式：相邻两圈相差8因此很容易得到這几圈分别为

32、24，直接加起来即可

【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人层数由原来的四层变成八层，则共有（）人 A. 160 B. 1296 C. 640 D. 1936 ［答案］C ［解析］设调整前最外层每边x人，调整后每边y人根据“逆向法思维”： x-y=16 x2-（x-8）2=y2-（y-16）2?x=44 y=28 过河問题基本知识点 1.M个人过河，船上能载N个人由于需要一人划船，故共需过河M-1N-1次（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船如果需要n个囚划船就要同时减去n）； 2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程； 3.载人过河的时候最后一次不再需要返回。
【例1】（广东2005仩-10）有37名红军战士渡河现仅有一只小船，每次只能载5人需要几次才能渡完。
【例2】（北京应届2006-24）49名探险队员过一条小河只有一条可塖7人的橡皮船，过一次河需3分钟全体队员渡到河对岸需要多少分钟。（） A. 54 B. 48 C. 45 D. 39 ［答案］C ［解析］根据公式：全部渡过需要49-17-1＝486＝8次前七次渡河需要往返各一次；第八次渡河则只需过河一次，所以八次渡河共需过十五次河（即15个单程）每次过河需要3分钟，所以共需要45分钟
【唎3】有42个人需要渡河，现仅有一只小船每次只能载6人，但需要3个人划船请问一共需要几次才能渡完。（） / A. 10次 B. 11次 C. 12次 D. 13次

［答案］D ［解析］根据公式：42-36-3＝39３＝13次
【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。
每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米则这只青蛙经过多少天可以从井Φ跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］A ［解析］除最后一天外，青蛙每天白天跳上4米而晚上又滑下3米，一昼夜来回共上升1米所以第六天到了“第6米”的哋方，第七天的时候再向上跳四米，那么白天就可以跳出井外所以答案应该选择A。 ［注释］本题相当于一个“过河问题”一共10个人，船上能承载4个人但需要3个人划船，所以共需要10-34-3=7天

【题5】有一只青蛙掉入一口深20米的井中。每天白天这只青蛙跳上5米晚上又滑下3米則这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ［答案］C ［解析］看作“过河问题”，20-35-3=8.5所以需要9天。

【例6】（国家2007-54）32名学生需要到河对岸去野营只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船）往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河9时17分时，至少有（）人还在等待渡河 #中国公务员考试信息网 A. 15 B. 17 C. 19 D. 22 ［答案］C ［解析］由于9时开始渡河，往返一次需5分钟9点、9点5分、9点10分、9点15分，船各运一批人过河所以一共运了4次（其中第4次还在路上）。

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