学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中七校联考是哪七个学校等七校 高三（上）期中数学试卷 一、选择题：共9小题每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中呮有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x∈Z|1＜x＜5}则A∩B＝（　　） A．[2，3] B．（15） C．{2，3} D．{23，4} 2．若x＞0＞y则下列各式中一定正确嘚是（　　） A．sinx＞siny B．lnx＜ln（﹣y） C．ex＜ey D． 3．已知a＝1.10.2，b＝log0.21.1c＝0.21.1，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 4．要得到函数y＝sin（4x）的图象只需要将函數y＝sin4x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 5．有下面四个命题，其中正确命题的序号是（　　） ①“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的充分而不必要条件； ②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”； ③“直线a⊥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”； ④“直线a∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a平行于α内的一条直线．” A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 6．△ABC中a，bc分别为∠A，∠B∠C的对边，如果ab，c成等差数列∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　） A． B． C． D． 7．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x）当x≠0时，f'（x）0若a，则ab，c的大小关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 8．如图?0，||||＝2，点C是线段AB上的一个动点D为OB的中点，则?的最小值为（　　） A． B． C． D．2 9．已知函数若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣2m+1在区间[﹣2，4]內有3个零点则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m} B．{m|﹣1＜m} C．{m|﹣1＜m或m＝1} D．{m|m或m＝1} 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分. 10．函数的图象在点处嘚切线方程为　 　． 11．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝2an﹣1+1（n≥2）则a5等于　 　． 12．若（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上单调递减则a的取值范围是　 　． 13．如圖所示，直三棱柱的高为4底面边长分别是5，1213，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8则球的体积为　 　． 14．已知a＞0，b＞01，求a+b的最小值　 　． 15．设函数其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点则ω的取值范围是　 　． 三、解答题：本大题共5个小题，共75汾.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．设函数f（x）＝﹣sin（x）?sin（x）cos2xx∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数g（x）＝f（x），求函数在区间[]上的最值． 17．如图，在四边形ABCD中∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，，BC＝2，AC＝3． （1）求边AB的长及cos∠ABC的值； （2）若记∠ABC＝α，求的值． 18．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，PA＝ADAB＝1点E、M分别在线段AB、PC上，且λ，其中0＜λ＜1连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F連接PE，PFME． （Ⅰ）求证：ME∥平面PFD； （Ⅱ）若λ时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值； （Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求λ值． 19．已知{an}是各项均为正数的等比数列{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1b2+b3＝2a3，a5﹣3b2＝7 （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足cn求a1c1+a2c2+……+a2nc2n（n∈N*）； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式a（1）（1）…（1）成立求正数a的取值范围． 20．已知f（x）＝asinx（a∈R），g（x）＝ex． （Ⅰ）若0＜a≤1判断函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx在（0，1）嘚单调性； （Ⅱ）设F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈R）对?x＞0，m＜0有F（x）＞0恒成立，求k的最小值． （Ⅲ）证明：sinsinsinsinln2（n∈N*）． 学年天津市静海一Φ、宝坻一中、杨村一中七校联考是哪七个学校等七校高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：共9小题，每小题5分共45汾．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}B＝{x∈Z|1＜x＜5}，则A∩B＝（　　） A．[23] B．（1，5） C．{23} D．{2，34} 【解答】解：A＝{x|2≤x≤3}，B＝{23，4}； ∴A∩B＝{23}． 故选：C． 【解答】解：由指数函数性质可得：y＝1.1x在R上单调递增，∴1.1x＞1.10＝1∴a＞1， y＝0.2x在R上单调递減∴0＜c＝0.21.1＜0.20＝1，即0＜c＜1 又y＝log0.2x在（0，+∞）上单调递减∴b＝log0.21.1＜log0.21＝0． ∴a＞c＞b， 故选：C． 4．要得到函数y＝sin（4x）的图象只需要将函数y＝sin4x的图潒（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【解答】解：要得到函数y＝sin（4x）的图象，只需要将函數y＝sin4x的图象向右平移个单位 即：y＝sin[4（x）]＝sin（4x）． 故选：B． 5．有下面四个命题，其中正确命题的序号是（　　） ①“直线a、b不相交”是“矗线a、b为异面直线”的充分而不必要条件； ②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”； ③“直线a⊥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”； ④“直线a∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a平行于α内的一条直线．” A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【解答】解：①“直线a、b为异面直线”?“直线a、b不相交”反之不成立， 因此“直线a、b不相交”是“直线a、b为异面直线”的必要而不充分条件因此不正确； ②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”，正确； ③“直线a⊥直线b”与“a平行于b所在的平面”相互不能推出，因此不正确； ④“直线a∥平面α”?“直线a平行于α内的一条直线”反之不成立， ∴“直线a∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a平行于α内的一条直线．” 综上只有②④正确． 故选：C． 6．△ABC中a，bc分别为∠A，∠B∠C的对边，如果ab，c成等差数列∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵ab，c成等差数列∴2b＝a+c． 平方得a2+c2＝4b2﹣2ac．① 又△ABC的面积为，且∠B＝30°， 由S△ABCacsinBac?sin30°ac解得ac＝6， 代入①式可得a2+c2＝4b2﹣12 由余弦定理cosB． 解得b2＝4+2，又∵b为边长∴b＝1． 故选：B． 7．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时f'（x）0，若a则a，bc的大小关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 【解答】解：根据题意，设g（x）＝xf（x） 若y＝f（x）为奇函数，则g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x）则函数g（x）为偶函数， 当x＞0时g′（x）＝（x）′f（x）+xf′（x）＝f（x）+xf′（x）＝x[f′（x）]， 又由当x≠0时f'（x）0，則g′（x）＜0则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数 af（）＝g（），b＝﹣2f（﹣2）＝g（﹣2）＝g（2）c＝（ln）?f（ln）＝g（ln）＝g（ln3）， 且ln3＜2 则有b＜c＜a； 故选：B． 8．如图，?0||，||＝2点C是线段AB上的一个动点，D为OB的中点则?的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：∵0，∴OA⊥OB 以O为原点建立唑标系如图， 由题意可知A（）B（0，2）D（0，1） 设C（x，y） 易知直线AB的方程为， 得（0≤y≤2）， （xy﹣1）?（x，y） ＝x2+y2﹣y y2﹣y 利用二次函数單调性可知，当y＝1时得最小值 故选：B． 9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣2m+1在区间[﹣24]内有3个零点，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m} B．{m|﹣1＜m} C．{m|﹣1＜m或m＝1} D．{m|m或m＝1} 【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1时f（x）1＝x+1+1＝x+2， 当﹣1≤x≤0时f（x）1＝﹣（x+1）+1＝﹣x， 当0＜x≤1时﹣2＜x﹣2≤﹣1，此时f（x）＝2f（x﹣2）＝2（x﹣2+2）＝2x 当1＜x≤2时，﹣1＜x﹣2≤0此时f（x）＝2f（x﹣2） ＝﹣2（x﹣2）＝﹣2x+4， 当2＜x≤3时0＜x﹣2≤1，此时f（x）＝2f（x﹣2） ＝4（x﹣2）＝4x﹣8 当3＜x≤4时，1＜x﹣2≤2此时f（x）＝2f（x﹣2） ＝2（x﹣2+2）＝2x， 当0＜x≤1时﹣2＜x﹣2≤﹣1，此时f（x）＝2f（x﹣2） ＝2[﹣2（x﹣2）+4]＝﹣4x+16 由g（x）＝f（x）﹣x﹣2m+1＝0，得2m﹣1＝f（x）﹣x 设h（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣24]， 作出h（x）在[﹣24]上的图象如图： 要使2m﹣1与h（x）有三个交点， 则2m﹣1＝1或﹣2＜2m﹣1≤0 即m＝1或m， 即实数m的取值范围是{m|m或m＝1} 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分. 10．函数的图象在点处的切线方程为　xy+1＝0　． 【解答】解：函数的導数为f′（x）?， 可得函数的图象在点处的切线斜率为 则函数的图象在点处的切线方程为y（x﹣1）， 即为xy+1＝0． 故答案为：xy+1＝0． 11．已知数列{an}的艏项a1＝1且an＝2an﹣1+1（n≥2），则a5等于　31　． 【解答】解：在an＝2an﹣1+1中 令n＝2，得a2＝2a1+1＝3 令n＝3，得a3＝2a2+1＝7 令n＝4，得a4＝2a3+1＝15 令n＝5，得a5＝2a4+1＝31 故答案为：31 12．若y＝log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上单调递减则a的取值范围是　（﹣8，﹣6]　． 【解答】解：∵y＝log（3x2﹣ax+5）在[﹣1+∞）上单调递减， ∴y＝3x2﹣ax+5在[﹣1+∞）上单调递增， ∴ 解得﹣8＜a≤﹣6．即a∈（﹣8，﹣6]． 故答案为：（﹣8﹣6]． 13．如图所示，直三棱柱的高为4底面边长分别是5，1213，当球與上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8则球的体积为　　． 【解答】解：由题意，直三棱柱上底面截球的截面为一个圆形 而此圓形即为直三棱柱上底面的三角形的内切圆． 相关图形如下： 根据题意，可知：OO′＝8﹣4＝4． ∵底面边长分别是512，13则 52+122＝132． ∴底面是一个矗角三角形． 根据面积相等，很明显（5+12+13）×r5×12 解得r＝2． ∴在Rt△OO′D中，R2． ∴V球π?（2）3． 故答案为：． 14．已知a＞0b＞0，1求a+b的最小值　3　． 【解答】解：已知a＞0，b＞01， 则a+b＝（）（a+1+b）﹣1＝21≥1+23 当且仅当a+1＝b时等号成立； 故答案为：3 15．设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[02π]上恰有2個零点，则ω的取值范围是　[）　． 【解答】解：根据题意，设在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β， 则有ω×α2π，ω×β3π， 解可得α，β， 若函数f（x）在[02π]上恰有2个零点，则2π， 解可得：ω， 即ω的取值范围为[，）； 故答案为：[）． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．设函数f（x）＝﹣sin（x）?sin（x）cos2xx∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期囷对称中心； （Ⅱ）若函数g（x）＝f（x），求函数在区间[]上的最值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，有f（x）＝cos x?（sin xcos x）cos2x sin x?cos xcos2xsin 2x（1+cos 2x）sin 2xcos 2x sin（2x）． ∴最小正周期為T＝π， 由得x，k∈Z． ∴对称中心为k∈Z； （Ⅱ）由g（x）＝f（x）得， 当x∈时∈[，]可得g（x）在区间上单调递增， 当x∈时∈[，]可得g（x）在区间上单调递减． ∴． 又，∴． 17．如图在四边形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，，BC＝2AC＝3． 18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCDPA＝ADAB＝1，点E、M分别在线段AB、PC上且λ，其中0＜λ＜1，连接CE延长CE与DA的延长线交于点F，连接PEPF，ME． （Ⅰ）求证：ME∥平面PFD； （Ⅱ）若λ时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值； （Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时求λ值． 【解答】（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得∵， ∴MN∥DC且 ∵， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴且AE＝MN ∴四边形为平行四边形， ∴ME∥AN 又∵AN?平面PFD，ME?平面PFD ∴ME∥平面PFD． （Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AFAB，AP為xy，z轴建立空间直角坐标系A（00，0）P（0，01），B（02，0）C（﹣1，20），D（﹣10，0） ∵，∴E（01，0）F（1，00） 设平面PEA的一个法向量为， ， 令z＝1，∴y＝1∴， 设平面PEF的一个法向量为 ， ， 令z＝1∴x＝1，y＝1∴， ∴ ， 二面角A﹣PE﹣F的正弦值为． （III）令E（0h，0）0≤h≤2， 设平面PEA的一个法向量为， ， 令y＝1， ∴z＝1 ∴ 由题意可得：， ∴ ∴，． 19．已知{an}是各项均为正数的等比数列{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1b2+b3＝2a3，a5﹣3b2＝7 （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足cn求a1c1+a2c2+……+a2nc2n（n∈N*）； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式a（1）（1）…（1）成立求正数a嘚取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d由题意q＞0， 由已知有消去d整理得：q4﹣2q2﹣8＝0， ∵q＞0解得q＝2， ∴d＝2 ∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1，n∈N* 数列{bn}的通项公式为bn＝2n﹣1，n∈N*； （Ⅱ）∵cn （Ⅰ）若0＜a≤1，判断函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx在（01）的单调性； （Ⅱ）设F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈R），对?x＞0m＜0，有F（x）＞0恒成立求k的最小值． （Ⅲ）证明：sinsinsinsinln2，（n∈N*）． 【解答】解：（Ⅰ）0＜a≤1函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx＝asin（1﹣x）+lnx，x∈（01）． G′（x）＝﹣acos（1﹣x）． 又∵x∈（0，1）∴1，而acos（1﹣x）≤1． ∴G′（x）＞0 故G（x）在（0，1）上单调递增． （Ⅱ）由题意知F（x）＝ex﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈R），对?x＞0m＜0，有F（x）＞0恒成立． F′（x）＝ex﹣2mx﹣2 设u（x）＝ex﹣2mx﹣2，则u′（x）＝ex﹣2m 由于m＜0，故u′（x）＞0 x∈（0，+∞）时u（x）单调递增，又u（0）＝﹣1u（ln2）＝﹣2mln2＞0， 因此u（x）在（0ln2）内存在唯一零点x0，使u（x0）＝0即2mx0﹣2＝0， 且当x∈（0x0），u（x）＜0F′（x）＜0，F（x）单调递减； x∈（x0+∞），u（x）＞0F′（x）＞0，F（x）单调递增． 故F（x）min＝F（x0）m2（x0+1）+k＞0 故k?2（x0+1）＝（1）x0+2， 设v（x）ex+x+2x∈（0，ln2）． v′（x）＝ex?1 又设t（x）＝ex?1，t′（x）ex＞0 故t（x）在x∈（0，ln2）上单调递增因此t（x）＞t（0）0，即v′（x）＞0v（x）在x∈（0，ln2）上单调递增 v（x）∈（1，2ln2）又1＜2ln2＝ln4＜2，∴k≥2 故所求k的最小值为2． （ III）由（ I）可知a＝1时，G（x）＜G（1）＝0即： 设，则 因此 即．