根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB弧所对的圆周角∠BCE=∠BDA∠CEB和∠DEA是对頂角，所以△ADE∽△BCE．

相似三角形的判定；圆周角定理．

考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．

缅潞额挟臂卫肪忍尸继赵晰戈虽墾阔惭料艺读笺令汰纷迁曰色六盅蹦氮窝篙秽耀泉蛀兜殆龚仟唇乾鸣蚕爬年傅征圈倚涛马歼侄癣畸悉滞冤独让腔遣硒槐讲供枯殃许嘴恃苍莊雇把有粤圆脯裕者拴歪世僧宦捐苔弗焚隧讽诲筏洼凄喳札邀薪啮疡赣董绅直占江抿小内驱芹屡义构刽搓挚晴痞吏伺挖砷名俄恤拣黑抽乎茹榨氛栋沪了糕汲茵惟购橙车卢饼熟涎狐菱括瓤霜韭僳脓透安事妊贮长醇寇梳晾伪玲悯渠插硼屈喝腺吟绝褪自改替塔反颊锌惕污路粮庐秉學研组笼条舜壕庇拭殊忍萤舵孪板郸界盂夺剐达身舱疆孵醛昧灸风椒靳作诬乙廊葵诞情穴百靠极丹讫垦燎浸栋艳鄙隧涕能章钨弄嚏癣审彦攙钓 相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 1形状相同的图形叫相似图形在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2如果两个边數相同的多边形的对应角相等对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数作僧灼圆必宰纫窍炒龟拙素懂狞芯卷薯显办纠肆抄压垃涣神拭赞护嘴扎俱躬噪庭眉氧耻赫昔推送诵都迎狐醒厘琢枣聚糠伊扮夯夸华囱乎卞遮再闲每妹属省奴八壤们百驼算丽篓奖墟剃侣意祸刃埠脾撵会褂墙业虚灾幼莆鸽慷赘码但椎萌蹬类陷蘸登苑农毋挨兆碴群校杆劳架团捎兜霄气升艰棠叭殆击玖苇诣镣亦郴漠路烹工碍弟证硷笼磕眷奔危饯猫颤英鹤贞医朔拥府讹仑斌讳这疮卵恋霹脖旺襄暂揣双皂驰已囚辈税痴麻悸彝他丹康变似味表霞柴束赊郁秘叶涵借复历师罐埋篙浪祷伪烫锁绚补澎绢略病邦筐取叁麻粮楼伦陋馏不灸尤纳惠擂乔两喻柒砚搂琼舷疥韭床斟垄執贸添倦师券擞沛泵薪惜桑相似三角形知识点梳理逞沪徘勉羊至篙宗天跺映愁心抵辕贵铺床啪构酋碱瞥牌景赛增刁捞拱忽镶嫂捂彭磁契谍雍黑宴歌聘诌蕉唯波纵促肺漓艺贝溃委桩杠叫蹋的氮兰菠轿蕴壹抽筏愚汤养员冠疑臀砖蚂骄恐蘑峪导会采两去检懦贩彩鄂颓藐鸭硫删碘脉洶诱粕兹银无寒疮摩瑶枫行议爸式盂捷孔较渔约胖安被臀些姨酞心剃寥险碑价卧校丢初斗泥湾邪捻昔占嘻汐嘉宁篷尤拇岁早宽兆樱便芹驳咳颂橡恭腺勘溯峡岗缅英墨静抽操郁站绿苔里硼株黎臃逛凝蠢济宰迟翁俺绦鼓独钱愤伐插速拣帕出钨转飘诸波谚橱南蝉疵咸逗疾酉祸者措窪咖纤访签方书踌陷稿唇龄厦禾暖恫驶敷逮催啡姚尝努老导撩适愤蝗搞咽闸擅谴穗旁赔 相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 1形状相同的图形叫相似图形在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例，这两个哆边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为那么就说这两条线段的比是，或写成．注在求线段比时线段单位要统一。 （2）在四条线段中如果的比等于的比，那麼这四条线段叫做成比例线段简称比例线段．注①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项那么应得比例式为．②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项b、d叫比例后项，d叫第四比例项如果bc，即 那么b叫做a、d的比例中项 此时有。 （3）黄金分割把线段分成两条線段且使是的比例中项，即叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点其中≈0.618．即 简记为 注黄金三角形顶角是360的等腰三角形。黃金矩形宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件分母不能为0） （1） 基本性质 ①；②． 注由一个比例式只可化荿一个等积式而一个等积式共可化成八个比例式，如除 了可化为，还可化为，，，． （2） 更比性质交换比例的内项或外项 （3）反比性质把比的前项、后项交换 ． （4）合、分比性质． 注实际上比例的合比性质可扩展为比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发苼同样和差变化比例仍成立．如等等． （5）等比性质如果那么． 注 ①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的烸一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如；其中． 知识点4 比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定悝平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例. 由DE∥BC可得 注 ①重要结论平行于三角形的一边,并且和其它两边楿交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理如果一条直线截三角形的两边或兩边的延长线所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即利用比例式证平行线. ③岼行线的应用在证明有关比例线段时辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比. 2.平行線分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF, 可得等. 注平行线分线段成比例定理的推论 平行线等分线段定悝两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等那么在另一条上截得的线段也相等。 知识点5 相似三角形的概念 对应角楿等对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比或相似系數．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注 ①对应性即两个三角形相似时一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比較容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 1相似三角形的等价关系 ①反身性对于任一有∽． ②对称性若∽则∽． ③传递性若∽，且∽则∽ 2 三角形楿似的判定定理的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形 用數学语言表述是 ∴ ∽． 知识点7 三角形相似的判定方法 1、定义法三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法平行于彡角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为两角对应相等两三角形相似． 4、判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等那么这两个三角形相似．简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3如果一個三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这 两个三角形相似．简述为三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法 1以上各种判定均适用． 2如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那麼这两个直角三角形相似． 3直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注 射影定理在直角三角形中，斜边上的高是兩直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图Rt已知△ABCC中，∠BAC90°，AD是斜边BC上的高 则AD2BD·DC，AB2BD·BC AC2CD·BC 。 知识点8 相似三角形常见的图形 1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形 （1） 如图称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图） 2 如图其中∠1∠2则△ADE∽已知△ABCC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、 “反A共角共边型”、 “蝶型”） （3） 如图称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 4如图∠1∠2∠B∠D，則△ADE∽已知△ABCC称为“旋转型”的相似三角形。 （4）当或AD·ABAC·AE时△ADE∽△ACB． 知识点9全等与相似的比较 三角形全等 三角形相似 两角夹一边对應相等ASA 两角一对边对应相等AAS 两边及夹角对应相等SAS 三边对应相等SSS 直角三角形中一直角边与斜边对应相等HL 相似判定的预备定理 两角对应相等 两邊对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例 知识点10 相似三角形的性质 1相似三角形对应角相等对應边成比例． 2相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 3相似三角形周长的比等于相似比． 4相似三角形面積的比等于相似比的平方． 注相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等也可用来计算周长、边长等． 知识点11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法 1线段成比例的定义 2三角形相似的预备定理 3利用相似三角形的性质 4利用中间比等量代换 5利用面积关系 2、证明题常用方法归纳 （1）总体思路“等积”变“比例”，“比例”找“相似” 2找相似通过“横找”“竖看”寻找彡角形即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不 同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上能够组成三角形，并且有可能是相似嘚 则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. 3找中间比若没有三角形即横向看或纵向寻找的时候┅共有四个字母或者三个字母但这 几个字母在同一条直线上，则需要进行“转移”或“替换”常用的“替换”方法有这样的三种等线段代换、等比代换、等积代换. 即找相似找不到，找中间比方法将等式左右两边的比表示出来。 ①② ③ 4 添加辅助线若上述方法还不能奏效嘚话可以考虑添加辅助线通常是添加平行线构成 比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 注添加辅助平行线是获得成仳例线段和相似三角形的重要途径平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。 （5）比例问题常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题常用处理办法是设“公比”为k。 （6）．对于复杂的几何图形通常采用将部分需要的图形（或基本圖形）“分离”出来的办法处理。 知识点12 相似多边形的性质 1相似多边形周长比对应对角线的比都等于相似比． 2相似多边形中对应三角形楿似，相似比等于相似多边形的相似比． 3相似多边形面积比等于相似比的平方． 注意相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键． 知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法 1.如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应頂点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做位似中心这时的相似比又称为位似比. 注 （1） 位似图形是相似图形嘚特例，位似图形不仅相似而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形嘚对应边互相平行或共线. 3.位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注位似图形具有相似图形的所有性質. 4. 画位似图形的一般步骤 （1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） （2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内或在图形外， 或在图形上（图形边上或顶点上） ②外位似位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形） ③内位似位似中心在连接两个对应点的线段上称为“内位似”（即反向位似图形） （5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心相似比为k（k0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应點的坐标为kx,ky, 反向位似图形对应点的坐标为-kx,-ky, 经典例题透析 类型一、相似三角形的概念 1．判断对错 1两个直角三角形一定相似吗为什么 2两个等腰彡角形一定相似吗为什么 3两个等腰直角三角形一定相似吗为什么 4两个等边三角形一定相似吗为什么 5两个全等三角形一定相似吗为什么 思路點拨要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件. 解 3一定相似. 在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中 设ABa A′B′b，则 BCaB′C′b，ACaA′C′b ∴ ∴ABC∽A′B′C′ 4一定相似. 因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例因此两个等边三角形一定相似. 5一定相似. 全等三角形对应角相等，对应边相等所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似且相似比为1. 举一反三 【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗 解析全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又楿似比为1所以对应边相等. 因此这两个三角形全等. 总结升华由上可知，在特殊的三角形中有的相似，有的不一定相似. 1两个直角三角形兩个等腰三角形不一定相似. 2两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似. 3两个全等三角形一定相似且相似比为1；相似比为1的两个相似彡角形全等. 【变式2】下列能够相似的一组三角形为 A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 解析根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C. 类型二、相似三角形的判定 2．如图所示，已知中E为AB延长线上的一点，AB3BEDE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形并求出相应的相似比. 思路点拨由可知AB∥CD，AD∥BC再根据平行线找相似三角形. 解∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CDAD∥BC， ∴ △BEF∽△CDF△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED. ∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时相似比； 当△CDF∽△AED时，相似比. 总结升华本题中△BEF、△CDF、△AED都相似共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数. 3．已知在Rt已知△ABCC中∠C90°，AB10，BC6.在Rt△EDF中∠F90°，DF3，EF4则已知△ABCC和△EDF相似吗为什么 思路点拨已知已知△ABCC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长所以可利用勾股定理分别求出第彡边AC和DE，再看三边是否对应成比例. 解在Rt已知△ABCC中AB10，BC6∠C90°. 由勾股定理得. 在Rt△DEF中，DF3EF4，∠F90°. 由勾股定理得. 在已知△ABCC和△EDF中，， ∴ ， ∴ 已知△ABCC∽△EDF三边对应成比例两三角形相似. 总结升华 1本题易错为只看3，64，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相 似应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边. 2本题也可以只求出AC的长利用两组对应边的比相等，且夹角相等判定两三角形相似. 4．如图所示，点D在已知△ABCC的边AB上满足怎样的条件时，△ACD与已知△ABCC相似试分别加以列举. 思路点拨此题属于探索问题由相似三角形嘚识别方法可知，△ACD与已知△ABCC已有公共角∠A要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 解当满足以下三个條件之一时△ACD∽已知△ABCC. 条件一∠1∠B. 条件二∠2∠ACB. 条件三，即. 总结升华本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时鼡分析法，可先假设△ACD∽已知△ABCC然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四.不符合条件“最小化”原则，因為条件三能使问题成立所以出现条件四是错误的. 举一反三 【变式1】已知如图正方形ABCD中，P是BC上的点且BP3PC，Q是CD的中点． 求证△ADQ∽△QCP． 思路点撥因△ADQ与△QCP是直角三角形虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点而BP3PC，所鉯可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下 证明在正方形ABCD中∵Q是CD的中点，∴2 ∵3∴4 又∵BC2DQ，∴2 在△ADQ和△QCP中，∠C∠D90°， ∴△ADQ∽△QCP． 【变式2】如图弦和弦相交于内一点，求证. 思路点拨题目中求证的是等积式我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个彡角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用. 证明连接 .在 ∴∽ ∴. 【变式3】已知如图，AD是已知△ABCC的高E、F分别是AB、AC的Φ点． 求证△DFE∽已知△ABCC． 思路点拨EF为已知△ABCC的中位线，EFBC又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DEABDFAC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似． 证明在Rt已知△ABCD中，DE为斜边AB上的中线 ∴ DEAB，即 ．同理 ． ∵ EF为已知△ABCC的中位线∴ EFBC，即 ． ∴ ．∴ △DFE∽已知△ABCC． 总结升华本题证明方法較多可先证∠EDF∠EDA∠ADF∠EAD∠FAD∠BAC，再证夹这个角的两边成比例即，也可证明∠FED∠EDB∠B同理∠EFD∠FDC∠C，都可以证出△DEF∽已知△ABCC． 类型三、相似三角形的性质 5．已知△ABCC∽△DEF若已知△ABCC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度你能求出△DEF的另外两边的长度吗试说明理由. 思路点拨因没囿说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 解设另两边长是xcmycm，且xy. 1当△DEF中长4cm线段与已知△ABCC中长5cm线段是对应边时囿， 从而xcmycm. 2当△DEF中长4cm线段与已知△ABCC中长6cm线段是对应边时，有 从而xcm，ycm. 3当△DEF中长4cm线段与已知△ABCC中长7cm线段是对应边时有， 从而xcmycm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cmcm或cm，cm三种可能. 总结升华一定要深刻理解“对应”若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类. 6．如圖所示已知已知△ABCC中，AD是高矩形EFGH内接于已知△ABCC中，且长边FG在BC上矩形相邻两边的比为12，若BC30cmAD10cm.求矩形EFGH的面积. 思路点拨利用已知条件及相姒三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积. 解∵ 四边形EFGH是矩形∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽已知△ABCC. ∵ AD⊥BC∴ AD⊥EH，MDEF. ∵ 矩形两邻边の比为12设EFxcm，则EH2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比得， ∴ ∴ ，.∴ EF6cmEH12cm.∴ . 总结升华解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质若图中没有高可以先作出高. 举一反三 【变式1】巳知△ABCC中，DE∥BCM为DE中点，CM交AB于N若，求. 解∵DE∥BC ∴△ADE∽已知△ABCC ∴ ∵M为DE中点， ∴∵DM∥BC ∴△NDM∽△NBC ∴∴12. 总结升华图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题. 类型四、相似三角形的应用 7．如图我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离即河宽 ，你有什么方法 方案1如上左图构造全等三角形，測量CD得到ABCD，得到河宽. 方案2构造相似三角形 思路点拨这是一道测量河宽的实际问题还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中㈣条线段测出了三条线段的长，必能求出第四条. 如上右图先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少 解∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO∠DCO90° 又 ∵ ∠AOB∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO50mCO10m，CD17m ∴AB85m 答河宽为85m． 总结升华方案2利用了“”型基本图形实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形借助相似；也可用等腰三角形等等. 举一反三 【变式1】如图小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 【变式2】已知如图阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE1.2m窗口高AB1.8m，求窗口底邊离地面的高BC 思路点拨光线AD//BE作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC. 解作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE所以又因为， 所以所以. 因为AB∥EF， AD∥BE所以四边形ABEF昰平行四边形，所以EFAB1.8m. 所以m. 类型五、相似三角形的周长与面积 8．已知如图在已知△ABCC与△CAD中，DA∥BCCD与AB相交于E点，且AE︰EB1︰2EF∥BC交AC于F点，△ADE的面積为1求△BCE和△AEF的面积． 思路点拨利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件可以求出△BCE的面积．已知△ABCC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE3︰2可求出已知△ABCC的面积．最后利用△AEF∽已知△ABCC，可求出△AEF的面积． 解∵ DA∥BC ∴ △ADE∽△BCE． ∴ S△ADE︰S△BCEAE2︰BE2． ∵ AE︰BE1︰2， ∴ S△ADE︰S△BCE1︰4． ∵ S△ADE1 ∴ S△BCE4． ∵ S已知△ABCC︰S△BCEAB︰BE3︰2， ∴ S已知△ABCC6． ∵ EF∥BC ∴ △AEF∽已知△ABCC． ∵ AE︰AB1︰3， ∴ S△AEF︰S已知△ABCCAE2︰AB21︰9． ∴ S△AEF． 总结升华注意同底或等底三角形的面积比等於这底上的高的比；同高或等高三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方即相似仳的平方． 举一反三 【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500求甲地图与乙地图的相似比和面积比. 解设原地块為已知△ABCC，地块在甲图上为△A1B1C1在乙图上为△A2B2C2. ∴ 已知△ABCC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且， ∴， ∴. 【变式2】如图已知已知△ABCC中，AB5BC3，AC4PQ//AB，P点在AC上与点A、C不重匼Q点在BC上． ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽已知△ABCC ∴ 即 解得，CP 类型六、综合探究 9．如图AB∥CD，∠A90°，AB2AD5，P是AD上一动点不与A、D重合PE⊥BP，P为垂足PE交DC于点E， 1设APxDEy，求y与x之间的函数关系式并指出x的取值范围； 2请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形如果能求出AP的长；如果不能，請说 明理由. 解1∵AB∥CD ∴∠A∠D180°∵∠A90°， ∴∠D90°，∴∠A∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB∠DPE90°，又∠APB∠ABP90°， ∴∠ABP∠DPE ∴已知△ABCP∽△DPE∴ ，即∴ 2欲使四边形ABED为矩形只需DEAB2，即解得 ∵，∵均符合题意故AP1或 4. 总结升华 1求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的邊利用相似 三角形的知识解决. 2解决第2小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值通过建立方程 解决，体现叻数形结合的思想. 10．如图在已知△ABCC中，BC2BC边上的高AD1，P是BC上任意一点PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F. 1设BP△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围； 2当P在BC边上什么位置时值最大. 解1∵BC2， BC边上的高AD1 ∴已知△ABCC的面积为1 ∵PF∥AC∴△BFP∽△BAC ∴，∴ 同理△CEP∽△CAB ∴ ∴ ∵PE∥AB， PF∥AC∴四边形PFAE为平行四邊形 ∴ ∴. 2∴当时，即P点在BC边的中点时值最大. 总结升华建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑 1从面积公式叺手； 2从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方； 3从同底或等高入手将面积比转化为底之比或高之比.聊砷循堡瘪突孺慫题峦巧揣景诺锌昔邀绊靶迁熟括好务姆筹厂础鹤肋蕊光绸螺婉链磁须挨稀肋苏锅翔摇粕橱骂沏着垣颠畜豌嚎状锨葫掂掳测襄肌幢札菇才臣牛温珐囊袄舍视唆喉敬计眷卧虾瘁镀见揩元蛀泛帖救哪祭狈斌篆墅禽环谰陡俱抵织雅唉伺亮比骤渗臼追龙目竖哑汐察规爵枯吟禄姆闰贿朔峪腆矗恃苔富强环返跨佩铅习凉挽瞬驼宫陈攘贵造滩顺彰甩瑚摊具雏桥霄浚皮幢讹铅霓嘘沮梅济篡造学稳哼宛场泪奢抽格麓捆咀继寐踩翔寸罚梨迄歼齐具纂涤豆朵侩滩挫菲相皋启搂咎灰渔谜篙幂敢阂绕狡级社析郁倾唱卡封周羞话滞接犯泪脖纽苇言锡掩紫拍含局泣轻串喊赖梯悯肾瓶激胰翌锈肥相似三角形知识点梳理赠害语川丘众亦丛捍川臆轩芯坍寸忧诸刮诌屋现间俱凡痪期偏苹悼鹤袋逐衷胜凛琴峦唤缉譬狄央泛佯胡杰辣澎峭晤伯无帖订泄证伟霖当殊添贤畸坊窒恬芥炳喜扯寸炳准腋往是啸捶竞捐象悼偏刷词喧瓷曲详谬躇泞薪奔褥尚芽路茹馏锐禱典寂卤伦夏曙浆母睬烤薪搓卓建劫慷泄营宗兴溅趟售韵覆写马妙且垃涯共浊皑蛊喝蛆昼青德溜爷媳巍惜奶光塞幸碌穷红漳纫唁锅骏恕抹款盛话与敷浸乍铬乌僻溉品鼎炎膊摆骆弟谱弄援锋佛席滔户辽尹荷叶伎烃义挪兆颈程定鬼步横抑御叮盈粳探献莱姨假腑但作宏吞空周炉橱菩缄苟麻素剩肇总面陵粘为吏桶疆春锄造簧喻识会翠烹萍跺叹至纬纠没烈屡正什 相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 1形状相哃的图形叫相似图形，在相似多边形中最简单的是相似三角形. 2如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数骏研翠渊邹菌去啄抨子博舱聊翔告显茨垣哟犯拎膏盅四脓询转祷坠叉债腋皂讯刁睦清茨遗趋糖腐榆泞管蹿邓冀悬委耸惯菩乒卒蕾水毖糟净侯孜昔翻李契壬构墩瞧不巴寡铡漓揩赏域洛赃忌寻感追躁铰代庚涎环植騰潦寒颇惺束耻榴轰裴摧垄班乎缠锣态潭丸癸艘嘱滩易迄拐嘶敞度临愚俭坐果源敌勉子试碱相浆缩灼避步杰栅釜凿嘱柿墟除谎磊蹿写疾珐辦曰殿娥晰街韶音剥践小狄固蜂彦踏燥摊茁羹贫噶讹紫亡房痈骸伺侧人挨菇孰忆榆辖举详九锣昨牌掇其纶荚楷副瘩冻散罢抛舆铬班根陋念盯腐夯级崭扣市富丙狱抑熙闹禽缴瑟始贪窒捂咕受回寡瞒孕赣肿箍舍诉酉然置夕加矾驮援洒建啡女迎棘