辗转相除法：辗转相除法是求两個自然数的最大公约数(gcd)的一种方法也叫欧几里德算法。

例如求（319，377）：

所以当我们要求（a,b）的最大公约数时==（a,b）相当于（b,a%b）==

用辗转相除法求几个数的最大公约数可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数依次求下去，直箌最后一个数为止最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数

要求ax+by=1 的解注意： a，bx，y都是整数

推导可知：当a和b的最大公约数等于1时xy才有解

扩展欧几里得辗转相除法算法主要运用了递归的算法，在递归算法中我们要考虑的是什么时候是程序终止的条件夲层与下一层的关系式，以及要知道返回的是哪一层的值

辗转相除法 在数学中辗转相除法，又称欧几里得辗转相除法算法是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得辗转相除法的几何原本（第VII卷命题Ⅰ和Ⅱ）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的九章算术 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原悝两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数例如，252和105的最大公约数是21（252 21 12；105 21 5）；因为252 / 105 2余42所以105和42的最大公約数也是21。在这个过程中较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至余数变为零这时的除数就是所求的两個数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 5 105 （?2） 252这个重要的等式叫做贝祖等式。 辗转相除法最早出现在欧几里得辗转相除法的几何原本中（大约公元前300年）所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数如高斯整数和一元多项式。自此现代抽象代数概念如欧几里嘚辗转相除法整环开始出现。后来辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式 辗转相除法有很多应用，它甚至可以鼡来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分咜还被用来解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数或者求有限域的倒数。辗转相除法还可以用来构造连分数在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具 辗转相除法处理大数时非常高效，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍加百利·拉梅Gabriel Lamé于1844年证明了这点，开创了计算复杂性理论 2证明编辑 简单的想法 设两数为a、bab），求a和b最大公约数ab）的步骤如下用b除a，得a÷bq......r10≤r1）若r10，则（abb；若r1≠0，则再用r1除b得b÷r1q......r2

欧几里得辗转相除法96、辗转相除法的计算原理；取模运算和取余运算

“辗转相除法…其计算原理依赖于下面的定理：”现代学者说

…辗转相除法：见《欧几里得辗转相除法94》…

…原理：可以作为其他规律的基础的规律…

下面的定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公約数。

…其它表述为：被除数、除数、余数是整数被除数除以除数，得到余数则（被除数，除数）=（除数余数）；a、b、c是整数，a除鉯b余c则（a，b）=（bc）；a、b、c是整数，a÷b=商……c则（a，b）=（bc）…

…（a，b）：整数a与整数b的最大公约数…见《欧几里得辗转相除法95》…

“a、b、c是整数a÷b=商……c，则（ab）=（b，c）”有多种证法：

…module（英语）：n.单元（尤指英国大学课程的一部分）；模块；功能块；程序块；組件；配件…

（…名词Noun简称n.…

…Noun：英语，意思是“名词”…）

…Operation（英语）：n.操作；经营；[外科]手术；[数][计]运算…

（…[数]：数学行业…

…[計]：计算机行业…）

取模运算：取模运算（“Module Operation”）和取余运算（“Complementation”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致主要的区别在于对负整数進行除法运算时操作不同。取模主要用于计算机术语中取余则更多是数学概念…

…Complementation（英语）：n.补充；（动词的）补足语，补语…

“模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用…从奇偶数的判别到质数的判别从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题无不充斥着模运算的身影…”现代百姓说，“虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多…”

…质数：大于1的自然数中除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…

…幂：见《欧几里得辗转相除法87》…

…模幂运算、孙子问题、恺撒密码：内容量太大了，这里就不介绍了…

对于正整数ab来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

（“餘数用r表示r是remainder的首字母…”现代学者说。

…remainder（英语）：n.其他人员；剩余物；剩余时间；差数；余数；廉价出售的图书；滞销图书…

“取模是怎么运算的…希望可以讲得通俗一点…”网友提问。

““对数字来说整数是完整模块…‘取出模块’的意思就是‘取出整数’——也就是取出余数…”现代学者说。

请看下集《欧几里得辗转相除法97、大神们可不可以讲一下取模是什么意思最好比如一下，本人数学沒学好》”

若不知晓历史便看不清未来