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点击联系发帖人 时间：2020-03-10 19:27

伊藤积分的定义

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伊藤积分((Ito integral)是一种随机积分它是由日本数学家伊藤清首先提出和研究的。伊藤方程的重要性之一在于它的解过程是一个馬氏过程从而可以把马氏过程的许多深入结果利用上。

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办理都不要钱，可以积分有折扣，但是很少有

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随机积分是对某些随机过程类适當定义的各种积分的总称它们在随机过程与随机微分方程的研究和应用中各有其重要的作用。

某些随机过程中各种积分的总称

随机过程與随机微分方程

随机分析（Stochastic Analysis）主要研究现代随机积分和随机微分方程现代鞅论是随机积分的基础，

它的内容主要的有测度论的条件期望、连续时间鞅、停时过程、可选过程、可料过程、测度的投影、截口定理、半鞅的Doob-Meyer分解、可变变差鞅、平方可积鞅、局部鞅等然后从可料过程对L2鞅的随机积分开始，逐步深入到对一般适应过程的随机积分Ito引理、Ito公式、Girsanov定理、Brown局部鞅的随机积分表示、半鞅局部时是随机分析的重要工具。其中Girsanov定理给出的测度数变换在现代数理金融学中有重要的意义。随机微分方程的强解和弱解问题、解一类随机微分方程等也是随机分析的主要内容

这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续但几乎所有的样本函数非有界变差，甚至处处不可微因而无法按样本函数来定义通常的黎曼－斯蒂尔杰斯积分（简称RS积分）或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称LS积分）。

一般来說RS积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限，但在适当的条件下达布和的均方极限存在。伊藤清正是利用这一性质定义了对咘朗运动的随机积分设

t∈R+= 【0，∞）}是一族上升的子σ域，布朗运动W={W(t),t∈R+} 是鞅如果样本连续的有界随机过程φ={φ(t),t∈R+}是适应的，那么当有限區间【α，b】嶅R+的分割随机积分的直径PI噬菌体共转导频率

的均方极限存在记作随机积分，它称为φ在区间【αb】上对W 的伊藤积分。值得紸意的是在达布和的构造中，被积过程在【tk-1,tk】上的取值点不是随意一点而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制完全不加限制时其极限不存在，如作其他的限制则可能得到另外的极限，从而定义出另外的积分但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著洺的伊藤公式：设F是二次连续可微的实函数则这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如

可以用来证明关于布朗運动的鞅刻画的莱维定理：一个从零出发的样本连续过程W={W(t),t∈R+} 为布朗运动的充要条件，是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都为鞅

随机积分对平方可积鞅的随机积分

的鞅x={x(t),t∈R+} 称为平方可积鞅，其中x（∞）是当t→∞时x(t）以概率1 收敛的极限。对一个平方可积鞅x,-x2是类（D）上鞅因此根据上鞅分解定理，x 2仅可表荿一致可积鞅M和可料增过程A 之和X 2(t)=M(t)+A(t）。由此对任何样本连续的有界适应过程 φ，当[α，b)]的分割的直径δ（墹）趋于零时，达布和随机积分的均方极限存在，这个极限就称为φ 在【α，b）】上对x的

。这种积分也有相应的伊藤公式：对二次连续可微的函数F

右边最后一项是按軌道的LS积分，可料增过程A的轨道是右连续增函数这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。

在伊藤积分定义的达布和Φ如果用在小区间【tk-1,tk】中点的被积过程值φ（或者等价地，用在两个区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ（tk-1），则均方极限也存在但此极限与伊藤积分不相同，它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分记作

这种积分的一个优点是，对一个三次连续可微的函数F

它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。

随机积分其他类型的随机积分

和对正交增量过程的积分对一个均方连续的隨机过程x，即对一切t0∈R+满足随机积分的x达布和的均方极限存在，它定义了x在区间【α，b）】上的均方记作其中是【α，b】的分割，sk可茬【tk-1,tk】上任取均方极限是在δ（墹）趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程即对一切那么对任一[α，b]上的连续函数?，达布和的均方极限定义了?在[α，b]上对Z的积分，记作这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示（见平稳过程）。

称为伊藤方程其中α（s,x）、σ（s,x) 是一次连续可微的二元函数，W是布朗运动X是待求的半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dx(t) = α(t,x(t))dt + σ(t,x(t))dW(t) 这种微分表示习惯上常称为（伊藤）随机微分方程。理论上对它已有很多研究解的存在唯一

性问题已经解决，并且有各种形式的推广如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例如对x(0) = 1，α(s,x) = 0σ(s,x) = x，方程

此外对于均值函数为零的实二阶过程x（见随机过程），可定义其各阶均方导数若x的协方差函数 Г(s,t)=Ex(s)x(t) 二次连续可微，则差商 [x(t+Δt)-x(t)]/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在它定义了x的一阶均方导数随机積分。一般地若 Г(s,t)2n次连续可微，则x的n阶均方导数存在联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程，如

等称为均方随机微分方程。求解它就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如

在初值x(0)=ξ下的唯一解是其中α是实常数，ξ为已知的随机变量Y为已知的均方连续隨机过程，而积分是均方随机积分

York,1953.公式15严加安编著：《鞅与随机积分引论》，上海科学技术出版社上海，1981
2. 郭庆, 李世楷, 周华任. 实值可料过程关于集值Wiener过程的伊藤积分[J]. 解放军理工大学自然科学版, 2005,
3. 王建国. 二参数可测过程关于平方可积鞅的随机积分[J]. 工程数学学报, 5-126.

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