正整数a<a2<a<a4<a3<a,满足:从中任选两个数,较大的数与较小的数的比值大于二分之三

点击联系发帖人 时间：2020-03-23 03:16

a1 a2 a3 a4

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在数字12，…n（n≥2）的任意一個排列A：a₁，a₂…，a_n中如果对i，j∈N^*i<j，有a_i>a_j那么就称（a_i，a_j）为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．
如n=4时在排列B：3，24，1中逆序对有（3，2）（3，1）（2，1）（4，1）则S（B）=4．
（Ⅰ）设排列 C：3，56，41，2写出S（C）的值；
（Ⅱ）对数字1，2…，n的一切排列A求所有S（A）的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列A：a₁，a₂…，a_n中两个数字a_ia_j（i<j）交换位置，而其余数字的位置保持不变那么就得到一个新的排列A'：b₁，b₂…，b_n求证：S（A）+S（A'）为奇数．

所以排列D与D₁的逆序对的个数的算术平均值为

而对数字1，2…，n的任意一个排列A：a₁a₂，…a_n，
都可鉯构造排列A₁：a_na_n-1，…a₂，a₁
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为

所以所有S（A）的算术平均值为

（Ⅲ）证明：（1）当j=i+1，即a_ia_j相邻时，
此时排列A'与排列A：a₁a₂，…a_n相比，仅多了一个逆序对（a_i+1a_i），
（2）当j≠i+1即a_i，a_j不相邻时
假设a_i，a_j之间有m个数字记排列A：a₁，a₂…，a_ik₁，k₂…k_m，a_j…，a_n
先将a_i向右移动一个位置，得到排列A₁：a₁a₂，…a_i-1，k₁a_i，k₂…，k_ma_j，…a_n，
由（1）知S（A₁）与S（A）的奇偶性不同
再将a_i向右移动┅个位置，得到排列A₂：a₁a₂，…a_i-1，k₁k₂，a_ik₃，…k_m，a_j…，a_n
由（1）知S（A₂）与S（A₁）的奇偶性不同，
以此类推a_i共向右移动m次，得到排列A_m：a₁a₂，…k₁，k₂…，k_ma_i，a_j…，a_n
再将a_j向左移动一个位置，得到排列A_m+1：a₁a₂，…a_i-1，k₁…，k_ma_j，a_i…，a_n
以此类推，a_j共向左移动m+1次得到排列A_2m+1：a₁，a₂…，a_jk₁，…k_m，a_i…，a_n
由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化
而排列A经过2m+1次的前后两數交换位置，可以得到排列A'
所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，
所以S（A）+S（A'）为奇数．
综上得S（A）+S（A'）为奇数．

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//建立待处理偶数am和当前最后一个元素之间的联系

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