如题,思考了好久实在是想不出来圍成的立体是怎样的,Matlab也不是很精通,求朋友们帮助,这道题该如何解,围成的立体又是怎样的呢?

这题是可以通过分析想象出图形的,平面x+y+z=a很好想象,關键是曲面az=a^2-x^2-y^2,首先考虑用平行于xoy的平面截曲面所得的图形,这时z是常数,因此截面x^2+y^2=a^2-az是圆,再考虑曲面在yoz平面上的投影,这时x=0,因此投影为y^2=a^2-az为开口向下的拋物线,综合两点就可以想象出这个曲面是一个倒立的抛物面的体积（注意虽然这曲面和x,y,z轴的交点都是a,但这不是球面!考察在交点处的曲率就會发现它们是不同的）.现在所求体积就等于抛物面的体积在第一卦限的体积减去锥体的体积,锥体体积=a^3/6,现在用三重积分求抛物面的体积所围體积,用“先二后一”的方法,该体积=(1/4)∫dz∫∫dxdy,z积分限为0到a,而∫∫dxdy就等于抛物面的体积被平行于xoy的平面截得的面积（注意所得结果是含有z的）.由x^2+y^2=a^2-az知∫∫dxdy=π(a^2-az),积分得这部分体积=πa^3/8,因此所求体积=(π/8-1/6)a^3