对于这样的定解问题我们将介紹分离变量法的实质法求解,首先回忆高数中我们如何处理的求解的高数中
处理微分或重积分是把函数分成单元函数
对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解,也就是通过分离变量法的实质法把
两个变量分开来即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
先求出具有分离形式且满足边界条件的特解然后由叠加原理做出这些解的线性
组合,最后由其余的定解条件确定叠加系数(叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件再由初始条
件确定通解中的未知的数)
叠加原理:线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
解的唯一性来做作保证
求两端固定的弦的自由振动的规律
第一步:分离变量法的实质(建立常微分方程定解问题)
这个思想可从实际的物理現象可抽象出来,比如我现在说话的声音它的振幅肯定随时间变化,但到
达每个同学的位置不同振幅又是随位置变化,可把声音分成兩部分一部分认为它随时间变化,一部分
(偏微分就可写成微分的形式对于
无关,左右两边相互独立要想相等,必定等于一个常数由于
含有未知函数的导数如
的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程本文主要介绍常微分方程。
概念往往令人迷惑还是看看实际的例子:
目标是求解x和y的关系。将等式转换:
实际上常微分的求解过程就是利用不定积分的知识:
分离变量法的实质是求解常微分方程的一种方法,适用于dy/dx = f(x)g(y)的形式先看下面的示例:
在物理学中它有一个专有名称,叫做“淹没算符”此处没必要去纠结物理学概念,仅需要在数学上求解这个方程但这个表达式和以往所见的微分表达式不一样,首先将方程展开将其转换为我们熟悉的形式:
想偠求解方程,需要继续转换:
这就是求得的答案
但上述答案只求解了y>0的情况,y≤0时尚未考虑可以通过求导来验证答案是否是通解:
令a为任意常数,将解转换为y=ae-x^2/2当a≠0时,实际上a=±A
答案是通解最终答案是y=ae-x^2/2,a是任意常数
实际上该答案就是正态分布函数,也就是著名的高斯函数其原型:
高斯函数的图形在形状上像一个倒悬着的钟。a表示得到曲线的高度b是指曲线中心线在x轴的偏移,c半峰宽度(函数峰值一半处相距的宽度)
曲线切线与经过原点的直线相交,曲线在交点的切线是直线斜率的两倍求曲线表達式。
首先将上述文字转换为方程设交点是(x,y),曲线是y=f(x)则曲线切线的斜率为y’,直线斜率为y/x于是得到下面关系式:
通过验证尋找通解,设a=±A则a为非零的任意常数,y=ax2验证该解:
答案符合最初等式。最终结果是y=ax2a∈R,x≠0
y=ax2实际上是一族曲线:
此处需偠复习一下三角函数的求导公式:
由上面的公式15
题目中涉及到二阶导数和一个限制条件。
通过限制条件得知:
出处:微信公众号 "我是8位的"
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