堆是生产中非常重要也很实用的一种数据结构，也是面试中比如求 Top K 等问题的非常热门的考点，本文旨在全面介绍堆的基本操作与其在生产中的主要应用，相信大家看了肯定收获满满！本文将会从以下几个方面来讲述堆:

我们在生产中经常碰到以下常见的问题：

1. 优先级队列的应用场景很广，它是如何实现的呢
2. TP99 是生产中的一个非常重要的指标，如何快速计算

可能你已经猜到了，以上生产上的高频问题都可以用堆来实现，所以理解堆及掌握其基本操作十分重要！接下来我们就来一步步地来了解堆及其相关操作，掌握了堆，上面三个生产上的高频问题将不是问题。

1. 堆是一颗完全二叉树，这样实现的堆也被称为二叉堆
2. 堆中节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值，堆中如果节点的值都大于等于其子节点的值，我们把它称为大顶堆，如果都小于等于其子节点的值，我们将其称为小顶堆。

简单回顾一下什么是完全二叉树，它的叶子节点都在最后一层，并且这些叶子节点都是靠左排序的。从堆的特点可知，下图中，1，2 是大顶堆，3 是小顶堆， 4 不是堆（不是完全二叉树）

从图中也可以看到，一组数据如果表示成大顶堆或小顶堆，可以有不同的表示方式，因为它只要求节点值大于等于（或小于等于）子节点值，未规定左右子节点的排列方式。堆的底层是如何表示的呢，从以上堆的介绍中我们知道堆是一颗完全二叉树，而完全二叉树可以用数组表示

如图示：给完全二叉树按从上到下从左到右编号，则对于任意一个节点来说，很容易得知如果它在数组中的位置为 i，则它的左右子节点在数组中的位置为 2i，2i + 1，通过这种方式可以定位到树中的每一个节点，从而串起整颗树。一般对于二叉树来说每个节点是要存储左右子节点的指针，而由于完全二叉树的特点（叶子节点都在最后一层，并且这些叶子节点都是靠左排序的），用数组来表示它再合适不过，用数组来存储有啥好处呢，由于不需要存指向左右节点的指针，在这颗树很大的情况下能省下很多空间！

堆有两个基本的操作，构建堆（往堆中插入元素）与删除堆顶元素，我们分别来看看这两个操作

往堆中插入元素后（如下图示），我们需要继续满足堆的特性，所以需要不断调整元素的位置直到满足堆的特点为止（堆中节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值）,我们把这种调整元素以让其满足堆特点的过程称为堆化（heapify）

由于上图中的堆是个大顶堆，所以我们需要调整节点以让其符合大顶堆的特点。怎么调整？不断比较子节点与父节点，如果子节点大于父节点，则交换，不断重复此过程，直到子节点小于其父节点。来看下上图插入节点 11 后的堆化过程

这种调整方式是先把元素插到堆的最后，然后自下而上不断比较子节点与父节点的值，我们称之为由下而上的堆化。有了以上示意图，不难写出插入元素进行堆化的代码：

// 超过堆大小了，不能再插入元素 // 先将元素插入到队尾中 // 由于我们构建的是一个大顶堆，所以需要不断调整以让其满足大顶堆的条件

时间复杂度就是树的高度，所以为 O(logn)。

由于堆的特点（节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值），所以其根节点（堆项）要么是所有节点中最大，要么是所有节点中最小的，当删除堆顶元素后，也需要调整子节点，以让其满足堆（大顶堆或小顶堆）的条件。假设我们要操作的堆是大顶堆，则删除堆顶元素后，要找到原堆中第二大的元素以填补堆顶元素，而第二大的元素无疑是在根节点的左右子节点上，假设是左节点，则用左节点填补堆顶元素之后，左节点空了，此时需要从左节点的左右节点中找到两者的较大值填补左节点...，不断迭代此过程，直到调整完毕，调整过程如下图示：

但是这么调整后，问题来了，如上图所示，在最终调整后的堆中，出现了数组空洞，对应的数组如下

怎么解决？我们可以用最后一个元素覆盖堆顶元素，然后再自上而下地调整堆，让其满足大顶堆的要求，这样即可解决数组空洞的问题。

看了以上示意图，代码实现应该比较简单，如下：

// 堆中如果没有元素，也就是不存在移除堆顶元素的情况了 * 自上而下堆化以满足大顶堆的条件 // 左节点比其父节点大 // 右节点比左节点或父节点大 // 说明当前节点值为最大值，无需再往下迭代了 * 交换数组第 i 和第 j 个元素

时间复杂度和插入堆中元素一样，也是树的高度，所以为 O(logn)。

用堆怎么实现排序？我们知道在大顶堆中，根节点是所有节点中最大的，于是我们有如下思路：假设待排序元素个数为 n（假设其存在数组中），对这组数据构建一个大顶堆，删除大顶堆的元素（将其与数组的最后一个元素进行交换），再对剩余的 n-1 个元素构建大顶堆，再将堆顶元素删除（将其与数组的倒数第二个元素交换），再对剩余的 n-2 个元素构建大顶堆...，不断重复此过程，这样最终得到的排序一定是从小到大排列的，堆排序过程如下图所示：

从以上的步骤中可以看到，重要的步骤就两步，建堆（堆化，构建大顶堆）与排序。先看下怎么建堆，其实在上一节中我们已经埋下了伏笔，上一节我们简单介绍了堆的基本操作，插入和删除，所以我们可以新建一个数组，遍历待排序的元素，每遍历一个元素，就调用上一节我们定义的 insert(int value) 方法，这个方法在插入元素到堆的同时也会堆化调整堆为大顶堆，遍历完元素后，最终生成的堆一定是大顶堆。

用这种方式生成的大顶堆空间复杂度是多少呢，由于我们新建了一个数组，所以空间复杂度是 O(n)，但其实堆排序是原地排序的（不需要任何额外空间），所以我们重点看下如何在不需要额外空间的情况下生成大顶堆。

其实思路很简单，对于所有非叶子节点，自上而下不断调整使其满足大顶堆的条件（每个节点值都大于等于其左右节点的值）即可，遍历到最后得到的堆一定是大顶堆！同时调整堆的过程中只是不断交换数组里的元素，没有用到额外的存储空间。那么非叶子节点的范围是多少呢，假设数组元素为 n，则数组下标为 1 到 n / 2 的元素是非叶子节点。下标 n / 2 + 1 到 n 的元素是叶子节点。画外音：假设下标 n/2+1 的节点不是叶子节点，则其左子节点下标为 (n/2 + 1) * 2 = n + 2，超过了数组元素 n，显然不符合逻辑，由此可以证明 n / 2 + 1 开始的元素一定是叶子节点示意图如下：

如图示：对每个非叶子节点自上而下调整后，最终得到大顶堆。有了以上思路，不难写出如下代码:

* 对 1 妻 n/2 的非叶子节点自上而下进行堆化，以构建大顶堆

这样建堆的时间复杂度是多少呢，我们知道对每个元素进行堆化时间复杂度是 O(log n),那么对 1 到 n/2 个元素进行堆化，则总的时间复杂度显然是 O(n log n)（实际上如果详细推导，时间复杂度是 O(n)，这里不作展开，有兴趣的同学建议查一下资料看下 O(n) 是怎么来的）。知道怎么建堆，接下来排序就简单了，对 n 个元素来说，只要移除堆顶元素（将其与最后一个元素交换），再对之前的 n-1 个元素堆化，再移除堆顶元素（将其与倒数第二个元素交换）...，不断重复此过程即可，代码如下:

// 将堆顶元素放到第 i 个位置 // 重新对 1 到 i 的元素进行堆化，以让其符合大顶堆的条件

时间复杂度上文已经分析过了，就是 O(n log n)，居然和快排一样快！但堆排序实际在生产中用得并不是很多，Java 默认的数组排序（/p/1f16fc7f5e98
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这是什么(:一个森波西你噶)
您有时间吗?(:西赶你是你噶)
傻瓜: 怕不 (加感叹词: 怕不呀)
你说什么?: 木孙素里啊?
你说慌!/骗人!: 阔几满!
无赖/没教养: 撒嘎几
臭混蛋: 望杂个几 (智恩老爱这么叫英宰...汗!)
你疯了吗?: 弄皮差搜?!
操(骂人D): 西吧儿 (非常D脏, 不要随便骂~哈哈)
怎么回事?: 温泥里呀?
怎么了?: 为以类? (或者, 为古类?)
怎么/怎么办: 哦提开
知道了: 啊拉 (啊拉搜哟)
起来!: 以罗那 (智恩老是爱说: 以罗那挖哟!)
说说看/说吧!: 马类吧
真的: 虫么儿 (也可以说"亲加")
很想你: 不过西破 (加感叹次可以是 "就" 或者 "搜")
没事吧/不要紧吧?: 捆察那哟? (可以回答: 捆察那=我没事!)
过分!: 诺满达! (真过分= 亲加诺满达!)
你死定了!: 出过以西!
我走了!: 那儿看达!
爸爸：啊爸（几）  
妈妈：哦妈（泥）  
姐姐（女生叫的）：哦你
姐姐（男生叫的）：努那  
★★韩语中文读法★★^_^
这是什么(:一个森波西你噶)
您有时间吗?(:西赶你是你噶)
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你说什么?: 木孙素里啊?
你说慌!/骗人!: 阔几满!
无赖/没教养: 撒嘎几
臭混蛋: 望杂个几 (智恩老爱这么叫英宰...汗!)
你疯了吗?: 弄皮差搜?!
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怎么回事?: 温泥里呀?
怎么了?: 为以类? (或者, 为古类?)
怎么/怎么办: 哦提开
知道了: 啊拉 (啊拉搜哟)
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很想你: 不过西破 (加感叹次可以是 "就" 或者 "搜")
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