分析 （1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函数f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）由（1）可得f（x）在[-1，1]递增，不等式即为-1≤x²＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围；
（3）根据函数f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式解法及恒成立委托的解法，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．