一、八上全等三角形常考压轴题汇总

∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

二、如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？

解：∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，

∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，

∵∠A′CO是△B′OC的外角，

三、如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？

四、如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A等于多少？

解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，

∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，

因为AB=AC 三角形ABC是等腰三角形

六、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则D是多少？

七、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。

证明：∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD＝∠FAD

即△AEF为等腰三角形

而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线

∴AD⊥底边EF（关注公众号：初一数学语文英语）

（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）

十、如图，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？

十一、如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC

解：证明：∵AD⊥BC（已知），

∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.

∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.

∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.

（三角形内角和等于180°），

∴BE⊥AC（垂直定义）

中考压轴题：胡不归问题

瓜豆原理的内容有两个：

1、线段的一个端点在某个图形上运动的时候，线段中点的运动轨迹和这个图形位似。位似比是1：2。当然，其他比也可。

如上图，点C在线段AB上运动，CD的中点的轨迹也是一条线段，并且长度与AB之比等于1：2

如上图，点A在圆O上面运动时，AB的中点轨迹也是一个圆，并且半径之比等于1：2

从上面的图上可以看出，线段HI上的任意一点的轨迹都和AB相似，相似等于点在分成的线段和整体的比，如下图：位似比等于HK：HI。

在圆上可以得到同样的结论。

2、形状确定（大小可变可不变）的三角形的一个顶点绕另一个顶点在一个图形运动时，第三顶点的轨迹和这个图形位似。

如上图，△DFE的一个顶点F不动，顶点D在△ABC上运动的时候，另一个顶点E的运动轨迹也是三角形。

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】动图先看结果：

Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

【分析】动图先看结果：

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：

考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．

思考2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？轨迹？

【分析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q点轨迹是个圆．

连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．

如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．

当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：

取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．

当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题．

如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．

考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．

直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．

【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．

根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．

接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．

此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．

或者直接利用托勒密定理可得最大值．

02动点轨迹之“直线”

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

【分析】先看动图结果：

当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N：

在运动过程中，因为AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

【分析】动图先看结果：

当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线段．

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）

如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．

如图，已知点A是第一象限内横坐标为2倍根号3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=根号3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为根号3:1，P点轨迹长ON为2倍根号6，故B点轨迹长为2倍根号2．

如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．

取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．

如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹．

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值．

03动点轨迹之“其他图形”

所谓“瓜豆原理”，就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．

如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k/x的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）

【分析】依旧动图观察：

【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？

如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．

【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=根号2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为根号2:1，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．

【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．

文章摘要：1．课标中对本节内容的要求:用动手操作得出直线和圆的位置关系,会准确说出直线和圆的位置关系,会利用直线和圆心的距离d与半径r的数量关系判断直线和圆的位置关系. 2、在此之前学生已学习了点和圆的位置关系,会判断点和圆的位置关系.这节……

人教版九年级上册第二十四章第2节《直线和圆的位置关系》教学设计和教学反思

婺源县珍珠山中学 汪冬荣

1．课标中对本节内容的要求:用动手操作得出直线和圆的位置关系,会准确说出直线和圆的位置关系,会利用直线和圆心的距离d与半径r的数量关系判断直线和圆的位置关系.

2、在此之前学生已学习了点和圆的位置关系,会判断点和圆的位置关系.这节课主要是在已有的知识基础上,通过自己动手平移实践等得到直线和圆的三种位置关系.

3、通过本节课的学习,为后面学习切线的判定和圆和圆的位置关系打下基础,在今后的解题及几何证明中,将起到重要的作用..

根据初三学生活泼好动好奇心和求知欲都非常强,并且在初一,初二基础上初三学生有一定的分析力,归纳力和根据他们的特点,联系生活实际中结合问题结合本节课适合学生的学习材料注重激发学生的求知欲让他们真正理解这节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上,进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.通过直线与圆的相对运动,揭示直线与圆的位置关系,培养学生运动变化的辨证唯物主义观点；通过对研究过程的反思,进一步强化对分类和化归思想的认识.

    b、根据定义来判断直线和圆的位置关系,会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线.

    c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置.

       让学生通过观察、看图、填表、分析、对比,能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系,揭示直线和圆的关系.此外,通过直线与圆的相对运动,培养学生运动变化的辨证唯物主义观点,通过对研究过程的反思,进一步强化对分类和归纳的思想的认识.

在解决问题中,教师创设情境导入新课,以观察素材入手,像一轮红日从海平面升起的图片,提出问题,让学生结合学过的知识,把它们抽象出几何图形,再表示出来.再通过观察生活中的例子,让学生感受到实际生活中,存在的直线和圆的三种位置关系,便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系,有利于学生把实际的问题抽象成数学模型.

 重点:掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定.

难点:如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较.

活动一、复习引入（电脑课件展示）

1、点与圆有几种位置关系？

2、怎样判定点和圆的位置关系？

（1）点到圆心的距离oa____半径时,点在圆外.

（2）点到圆心的距离ob____半径时,点在圆上.

（3）点到圆心的距离oc____半径时,点在圆内.

活动二:情境创设,定义探究:

观察海上日出图和钥匙环移动图,通过实物演示,体会直线和圆的位置关系.

 学生观察、分析、体会、初步感知直线和圆的三种位置关系.

结合海上日出和钥匙环移动,引出课题,同时学生初步展示直线和圆的位置关系,从而初步感知直线和圆的位置关系.

直线和圆没有公共点,这时我们说直线和圆相离．

直线和圆只有一个公共点,这时我们说直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.

直线和圆有两个公共点,这时我们说直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.这个点叫交点.

1、如何根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？

思考:如果公共点个数不好判断,该怎么办？

“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？

教师引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来,指导学生归纳、概括发现结论.

学生观察实验,分析总结,得出结论.

先自主探究,再分析、总结、交流

让学生亲自动手,进行实验、观察、探究、得出结论,进一步让学生感受到数学产生于生活,与生活密切相关,并能使学生更好的直观感受直线和圆的三种位置关系.

什么叫点到直线的距离？ 连结直线外一点与直线上所有点的线段中,最短的是垂线段.

活动六:性质探究、知识小结:

观察讨论: 设圆0的半径为r,直线l到圆心o的距离为d,当直线与圆相离、相切、相交时,圆心到直线的距离d与半径r有何关系？

1.根据直线和圆相切的定义,经过点a用直尺近似地画出⊙o的切线.

2．圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离分别是

   那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？

判定直线与圆的位置关系的方法有两种:

根据定义,由直线与圆的公共点的个数来判断； 根据性质,由圆心距d与半径r的关系来判断.

在实际应用中,常采用第二种方法判定.

１、直线与圆最多有两个公共点  . ………………………（　） 

２、若c为⊙o上的一点,则过点c的直线与⊙o相切.…（  )

4、若c为⊙o内一点,则过点c的直线与⊙o相交.… …（  ）

已知⊙o的半径为5cm, 圆心o与直线ab的距离为d, 根据条件填写d的范围:

且om＝5cm,以m为圆心,r为半径的圆与

直线oa有怎样的位置关系？为什么？

组织学生练习,教师巡回辅导,适当为学生点拨引导做好矫正.

学生独立完成练习后,集体交流评价.说说求解过程.体会方法,形成规律,获得成功体验.

让学生在探究过程中,进一步加深对本节重点知识的认识,培养学生的应用意识和能力.

板书设计（需要一直留在黑板上主板书）

1、定义:直线和圆没有公共点,这时我们说直线和圆相离．

直线和圆只有一个公共点,这时我们说直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.

直线和圆有两个公共点,这时我们说直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.这个点叫交点.

3、判定直线与圆的位置关系的方法有两种:

根据定义,由直线与圆的公共点的个数来判断；

根据性质,由圆心距d与半径r的关系来判断.

在实际应用中,常采用第二种方法判定.

采用学生形成性评价去检测学生学习活动的掌握情况.

这节课是我的一节教学公开课,也是我第一次教学课改教材中该内容.为了进一步改进今后的教学,现就《直线和圆的位置关系》第一课时的课堂教学,反思如下:

通过本节课的教学,我认为成功之处有以下几点:

1．由日落的三张照片（太阳与地平线相离、相切、相交）引入,学生比较感兴趣,充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象,体验到数学来源于实践.对生活中的数学问题发生好奇,这是学生最容易接受的学习数学的好方法.新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系,从生活中“找”数学,“想”数学,让学生真正感受到生活之中处处有数学.

2、在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时,我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生很轻松的就能够得出结论,从而突破本节课的难点,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化,这种等价关系是研究切线的理论基础,从而为下节课探索切线的性质打好基础.

同时,我也感觉到本节课的设计有不妥之处,主要有以下三点:

1．学生观察得到直线和圆的三种位置关系后,是由我讲解的三个概念:相交、相切、相离.讲得过多,学生被动的接受,思考得不够,对概念的理解不是很深刻.可以改为让学生类比点与圆的位置关系下定义,师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间,充分调动学生的积极性,使学生实现自主探究.

2、虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则,但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时,没有给予学生足够的探索、交流的时间,限制了学生的思维.此处应充分发挥小组的特点,让学生相互启发讨论,形成思维互补,集思广益,从而使概念更清楚,结论更准确.

3．对“做一做”的处理不够,这一环节是对探究的成绩与效果的探索与检验,重在帮助学生掌握方法,我在讲解“做一做”时,没有充分展示解题思路,没有及时进行方法上的总结,致使部分学生在解决实际问题时思路不明确.并在进行下面的解题时体现出来.教师要根据情况,简要归纳、概括应掌握的方法,使学生能够举一反三,不能想当然,否则会影响学生对知识的消化吸收.

总之,在今后的数学教学中还有很多需要我学习和掌握的东西,希望能和学生们一起共同进步,真正成为一名优秀的数学教师.