2022年深圳中考数学的选择压轴题，是一道老黄都找不出任何词语来形容它的问题。或许是老黄想多了，但老黄可以明确指出这道题的两个毛病，叫人哭笑不得。这是一道与直角三角形，圆及其切线有关的问题：

如图所示，已知△ABE为直角三角形，∠ABE=90度，BC为圆O的切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为( )

老黄就不卖关子了，先直接指出它的两个毛病：

(1)没有交代D点在圆上。当然你可以认为，老黄是在吹毛求疵，三岁稚童都看得出出题人的意图是“点D在圆上”的。那么接下来这个毛病，你又要怎么解释呢？

(2)没有交代DE是直径，即圆心O在BE上。老黄没有看到原卷，只是在网上看到这个版本，它甚至都没有把圆心标出来。

当然，这还有一种可能，是网传的过程中，把“D点在圆上”和“圆心O在BE上”这两点给传丢了。老黄希望是这样的，否则这出题人也真是太不负责任了。数学是需要尽可能严谨的学科，他却传递的是“稀里糊涂，随随便便”的数学理念。

解决这道题并不难，因为它是一道选择题，选择题有不严谨的“特值法”或“特殊情形法”，我们就当D点在圆上，否则这题没法解。还有圆心O就在BE上，即DE是直径，那么这道题就简单了。

分析1：只需过B作BF⊥AC于点F，当BE经过O时, 两个三角形的底边AC=CD，因此它们的面积比就是高BF和CE的比。

而BF平行于CD，所以内错角CBF等于角BCD。又由弦切角定理，有角BCD等于角E，所以Rt△CBF∽Rt△DEC。注意，如果圆心O不在BE上，就不会有直角三角形DEC。

另一方面，直角三角形ABE斜边AE上的高BF将直角三角形ABE划分成两个与原三角形相似的直角三角形，所以有Rt△ABF∽Rt△BFE∽Rt△DEC。

上面两组直角三角形相似的关系形成相似递推的关系，其中有两个直角三角形，含有一组对应边BF是公共边，因此这两个三角形全等，即Rt△ABF≌Rt△CBF。

因此AB=CB，即三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形底边“三线合一”的性质，就有BF是底AC的中线，从而CF/AC=1/2.

这就可以求得S△ABC:S△CDE=BF:CE=1/2. 选C. 老黄的文章是面向各种层次的读者的，所以会讲得比较详细，看起来就比较罗嗦，勿怪。

这里有一个灵魂拷问：上面的解法严谨吗？显然，它是不严谨的。这并不一定是来自于出题人的不严谨。因为，你有没有想过，就算O点不在BE上，即DE不是直径，上面的结论也仍成立？或者，点O的确在BE上，只是出题人没有交代而已。

很明显，如果DE不是直径，上面的结论肯定不能成立。因此，考虑第二种可能。这道题的真正难点，并非来自如何得到正确的选项，而是来自，如何证明BE过圆心O。自然，考试的时候，我们并不会去做这样的“无用探究”。然而平时如果你还把它当作“无用探究”的话，想必你的数学成绩再好也是有限的吧。

分析2：想要证明BE过圆心O，我们可以分别过A, B作AG⊥BC于点G，BH⊥BE于点H,

则三角形BCD的外角CDH等于两个不相邻的内角CBD和角BCD的和，而弦切角BCD等于弦所对的圆周角E，结合三角形BCE的外角ACG也等于不相邻的两个内角CBD和角E的和，就有角CDH等于角ACG。

又CA=DC，所以直角三角形ACG和直角三角形CDH全等，判定定理的“角角边”。

所以AG=CH。又因为AB平行于CH，所以内错角BCH等于角ABG。所以直角三角形ABG和直角三角形CBH也全等，判定定理是“角边角”。

在三角形CDE中，角DCE等于180度减去另外两个内角，其中内角CDE等于角BAC，所以角DCE就等于180度减去角BAC再减去角E，这又是三角形ABE中的内角和关系，因此角DCE就等于角ABE，也是一个直角。

由“直角对直径”，就可以知道O在BE上，即DE是圆O的直径。再回到分析1，就可以求得最后的结果了。

你们觉得，这是题目有病，还是老黄有病呢？

后记：有网友指出老黄的分析2中，证明三角形ABG和三角形BCH全等是错误的。的确是错误的，老黄不想删了分析2，权当一个反面教材。不过老黄的探究精神是不会善罢甘休的。既然证明方法错了，老黄又继续进行探究。但很可惜，没有探究出来。老黄又换了一种思路，尝试证明O点并不一定在BE上。这样的证明，只需一个反例就足够了。因此老黄用计算机软件画了下图。

在这个图中，满足题目的所有条件，△ABE为直角三角形，∠ABE=90度，BC为圆O的切线，C为切点，CA=CD。但很明显的，点O并不在BE上。说明这道题不指定BE过圆心O，就是一道病题哦。