一.进制运算的基本知识1.1 进制概述进位制是一种计数方式,亦称进位计数法或位置计数法有限种数字符号来表示无限的数值使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数(比如:使用的数字符号的数目为10[0-9],即为十进制)计算机因为有高低电平两种形式,所以非常适合二进制这种形式，但是有些情况使用二进制表达太冗长了，可以使用大进制位编码二进制位来解决这个问题，八进制、十六进制满足2的n次方的要求，所以在计算机中也经常使用八进制和十六进制表达特定内容。1.2 进制运算的基础如下图所示：N为正整数，dx为N的自右向左的第x-1位，r为基数二进制转换十进制：按权展开法按权展开法与上图类似整数:N=(01100101)=1×26+1×25+1×22+1=101小数:N=(0.11001)=1×2-1+1×2-2+1×2-5=25/32十进制转换为二进制：整数——重复相除法；小数——重复相乘法整数取余数自底向上N=101=(01100101)重复除以2得商取余101/250150/225025/212112/2606/2303/2111/201小数取余数自上向下N=25/32=(0.11001)重复乘以2得积取整25/3250/32=1+9/1619/1618/16=1+1/811/41/4=0+1/201/41/2=0+1/201/21=1+01二.二进制数据的表示方法2.1 有符号数与无符号数使用0表示正数，使用1表示负数，把符号位放在数字位最前面。 这就是原码表示法，上文所介绍的转换方法也是针对原码而言。优点：表达简单明了，是人类最容易理解的表示方法缺点：0有两种表是方法(00、10)有歧义；进行异号数运算时非常复杂对于原码的缺点，我们希望有一种表示方法可以用正数代替负数；希望找到不同符号操作数更加简单的运算方法；希望可以使用加法操作代替剑法操作。2.2 二进制的补码表示法n表示x的位数例：x=-13的补码第一步：原码 x=1,1101第二步：补码 x=24+1-13=100000-1101=1,0011实现了正数替代负数，但计算补码的过程还是使用了减法。2.3 二进制的反码表示法反码的目的是找出原码和补码之间的规律，消除转换过程中的减法。规律：负数的反码等于原码除符号位外按位取反，负数的补码+1。2.4 小数的二进制补码表示例：x=-11/32的补码原码：x=1,0.01011反码：x=1,1.10100补码：x=1,1.10101规律：负数的反码等于原码除符号位外按位取反，负数的补码+1。三.二进制的运算3.1 定点数与浮点数3.1.1 定点数的表示方法小数点固定在某个位置的数称之为定点数。表示纯小数时候，把小数点放在符号位与数值位之间；表示纯整数时候，把小数点放在符号位和数值位之后；表示既非纯整数又非纯小数时候，则应乘以比例因子（小数点左移、右移几位）以满足定点数保存格式。3.1.2 浮点数的表示方法为什么引入浮点数？计算机处理的很大程度上不是纯小数或纯整数；数据范围很大，定点数难以表达。 表示格式：N=S×rj，S——尾数，r——基数，j——阶码
表示范围：假设阶码数值取m位，尾数数值取n位
单精度浮点数：使用4字节、32位来表达浮点数（float）
双精度浮点数：使用8字节、64位来表达浮点数（double）
浮点数的规格化：尾数规定使用纯小数；尾数最高位必须是1 例：设浮点数字长为16位，阶码位5位，尾数为11位，将十进制数 -54 表示位二进制浮点数原码：x=1,110110浮点数规格化：x=-0.110110×2110阶码符号位阶码数值位尾数符号位尾数数值位0011010010100000注:尾数因为是纯小数补0要在尾部补，而且尾数要变为补码。3.1.3 定点数与浮点数的对比当定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大当浮点数位数为规格化数时，浮点数的精度更高浮点数运算包含阶码和尾数，浮点数的运算更为复杂浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数浮点数在数的运算规则、运算速度、硬件成本方面不如定点数3.2 定点数的加减法运算3.3 浮点数的加减法运算3.4 浮点数的乘除法运算}

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一、 十进制与二进制之间的转换 （1） 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分 ① 整数部分 方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。下面举例： 例：将十进制的168转换为二进制 得出结果 将十进制的168转换为二进制，（10101000）2 分析:第一步，将168除以2,商84,余数为0。 第二步，将商84除以2，商42余数为0。 第三步，将商42除以2，商21余数为0。 第四步，将商21除以2，商10余数为1。 第五步，将商10除以2，商5余数为0。 第六步，将商5除以2，商2余数为1。 第七步，将商2除以2，商1余数为0。 第八步，将商1除以2，商0余数为1。 第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000 （2） 小数部分 方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分 为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数，下面举例： 例1：将0.125换算为二进制 得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）2 分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25; 第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5; 第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0; 第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。 例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位） 大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。 那么，我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111 上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是： 1） 十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换 2） 当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法 3） 注意他们的读数方向 因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111。 （3） 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分 方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。例 将二进制数101.101转换为十进制数。 得出结果：（101.101）2=(5.625)10 大家在做二进制转换成十进制需要注意的是 1） 要知道二进制每位的权值 2） 要能求出每位的值 二、 二进制与八进制之间的转换 首先，我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这 关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。 接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。 （1） 二进制转换为八进制 方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。例 ①将二进制数101110.101转换为八进制 得到结果：将101110.101转换为八进制为56.5 ② 将二进制数1101.1转换为八进制 得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4 （2） 将八进制转换为二进制 方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。例： ① 将八进制数67.54转换为二进制 因此，将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100，即110111.1011 大家从上面这道题可以看出，计算八进制转换为二进制 首先，将八进制按照从左到右，每位展开为三位，小数点位置不变 然后，按每位展开为22，21，20（即4、2、1）三位去做凑数，即a×22+ b×21 +c×20=该位上的数（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,将abc排列就是该位的二进制数 接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列 最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。 以上的方法就是二进制与八进制的互换，大家在做题的时候需要注意的是 1） 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换 2） 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误 三、 二进制与十六进制的转换 方法：与二进制与八进制转换相似，只不过是一位（十六）与四位（二进制）的转换，下面具体讲解 （1） 二进制转换为十六进制 方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。 ①例：将二进制11101001.1011转换为十六进制 得到结果：将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B ② 例：将101011.101转换为十六进制 因此得到结果：将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A
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收起展开全部明确问题。举个例子，我们现在是要将一个十进制数字15610转换成二进制数字。先将这个十进制数作为被除数写在一个倒着的“长除法”的符号里。把目标数系的基数（在这里二进制是“2”）作为除数写在这个除法符号的外面。用这个方法将计算过程可视化会更方便理解，因为整个计算过程只需将数字一直除以2。为了防止转换前后发生混淆，建议将数系的基数写作每个数字的脚注形式。在本例中，十进制数字的脚注为10，二进制数字的脚注为2。以Convert from Decimal to Binary Step 2为标题的图片2进行除法运算。把结果的整数部分（商数）写在长除法符号的下面，然后把它的余数（0 或 1）写在被除数的右边。[2]我们现在是以2为除数，因此得出的商为偶数，则余数为0；如果得出商为奇数，则余数记为1。以Convert from Decimal to Binary Step 3为标题的图片3一直往下继续除，直到商为0为止。把每一个新的商数除以二，然后把余数写在被除数的右边。直到商数为0为止。以Convert from Decimal to Binary Step 4为标题的图片4写出新的二进制数字。从最下面的余数开始，按顺序读到最上面。本例中，你会得到10011100。这就是十进制数字156的二进制形式。或者，我们可以以脚注等式的形式表达，即：15610 = 100111002活用这个方法可以将所有十进制数字转换成任何进制表达。除数为2是因为我们最终想得到的以2为基数的数（即二进制数值） 。如果最终想得到其他数系的数字，用目标数系的基数代替这个方法里二进制的基数2 就可以了。例如，要得到基数为9的数，就用9来代替2作为除数 。最终的结果就是目标数系的数字表达。方法 2 的 2:降二次幂及减法混合运算以Convert from Decimal to Binary Step 5为标题的图片1列表。将以2为底数的幂函数以表格形式从右到左列出来。从20开始，20为1。指数加一递增。列表直至函数值最接近需要计算的十进制数字为止。比如说，我们现在要将十进制数字15610转换为二进制。以Convert from Decimal to Binary Step 6为标题的图片2找出最合适的幂函数值。找出小于且最接近需计算数字的幂函数值。在本例中，128是小于156的、以2为底数的幂函数值中最大的数值。所以在二进制列表128的下方写上1。然后用156减去128，得出28。以Convert from Decimal to Binary Step 7为标题的图片3继续计算。刚刚得出新得数28继续进行比较计算，看看哪一个幂函数值小于28。函数列表的下一个数字为64，64大于28，所以在64下方写上0。如此类推，看看那个数字小于28。以Convert from Decimal to Binary Step 8为标题的图片4能减的数字记为1。本例中，64和48都不能被28减，得出正数。16可以被28减，得出12。8也能被12减，得出正数，所以在16和8下方都写上1。现在的差为4。以Convert from Decimal to Binary Step 9为标题的图片5继续减法运算，直到列表的最后。记住在能被差减得出正数的数字下面记录为1，不能被减的数字下面记录为0。以Convert from Decimal to Binary Step 10为标题的图片6写出二进制答案。得出的二进制数值就是列表下记录的数字排列。你应该能得出10011100。这就是十进制数字156的二进制表达。或者，我们可以以脚注等式的形式表达，即：15610 = 100111002多次反复使用这个方法，你就能基本记住以2为底数的幂函数的值。就可以跳过第一步列表的步骤了。展开全部
十进制转二进制1. 十进制整数转换为二进制整数十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为小于1时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。十进制整数转二进制如：255=（11111111）B255/2=127=====余1127/2=63======余163/2=31=======余131/2=15=======余115/2=7========余17/2=3=========余13/2=1=========余11/2=0=========余1789=1100010101(B)789/2=394 余1 第10位394/2=197 余0 第9位197/2=98 余1 第8位98/2=49 余0 第7位49/2=24 余1 第6位24/2=12 余0 第5位12/2=6 余0 第4位6/2=3 余0 第3位3/2=1 余1 第2位1/2=0 余1 第1位原理：众所周知，二进制的基数为2，我们十进制化二进制时所除的2就是它的基数。谈到它的原理，就不得不说说关于位权的概念。某进制计数制中各位数字符号所表示的数值表示该数字符号值乘以一个与数字符号有关的常数，该常数称为 “位权 ” 。位权的大小是以基数为底，数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。十进制数的百位、十位、个位、十分位的权分别是10的2次方、10的1次方、10的0次方，10的-1次方。二进制数就是2的n次幂。按权展开求和正是非十进制化十进制的方法。下面我们开讲原理，举个十进制整数转换为二进制整数的例子，假设十进制整数A化得的二进制数为edcba 的形式，那么用上面的方法按权展开， 得A=a(2^0)+b(2^1)+c(2^2)+d(2^3)+e(2^4) （后面的和不正是化十进制的过程吗）假设该数未转化为二进制,除以基数2得A/2=a(2^0)/2+b(2^1)/2+c(2^2)/2+d(2^3)/2+e(2^4)/2注意：a除不开二，余下了！其他的绝对能除开，因为他们都包含2，而a乘的是1，他本身绝对不包含因数2，只能余下。商得：b(2^0)+c(2^1)+d(2^2)+e(2^3)，再除以基数2余下了b，以此类推。当这个数不能再被2除时，先余掉的a位数在原数低，而后来的余数数位高，所以要把所有的余数反过来写。正好是e
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