1、专题：椭圆的离心率，利用定义求椭圆的离心率或 e2=12)2丿1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e =22,椭圆X42-y =1的离心率为m解析当焦点在x轴上时,.4 一 m=m=3 ；当焦点在y轴上时，、m 4=. m-6，2.m23综上心16或33,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是24,已知m,n,m+n成等差数列，m, n, mn成等比数列，则椭圆 m2n =2m n2 2m nm=2，椭圆兰的离心率为n =4m n2 x 2 m125，已知1(m0.n 0)则当mn取得最小值时，椭圆m n2 2X y每=1的的离心率为n26,设椭圆 +=1 2、(a b0)的右焦点为F1,右准线为11,若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点 F到丨1的a b距离，则椭圆的离心率是1。2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1,在RL：ABC中， A =90 AB = AC =1，如果一个椭圆过 A B两点，它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率2,如图所示,椭圆中心在原点则椭圆的离心率为(),F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且.BDB1解析_(_)_ _1 = aa c23,以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于MMF与圆相切，则椭圆的离心率是.3 -1变式(1):以椭圆的一个焦点F为圆心作3、一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M N两点，如果I MFI = I MO，则椭圆的离心率是2 2x y4,椭圆 尹 + -=1(ab 0)的两焦点为椭圆的离心率e?.3-1Fl、F2，以FiF2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则解：
F1F2
=2c
BFi
=c
BF2
2 2x y变式(1):椭圆 尹 + -=1(ab 0)的两焦点为 F1、=3c c+、i3c=2a - - e= F2，点P在椭圆上，使厶OPF为正三角形，求椭圆离心率?解：连接 PFz ,贝,OR
=
OF
=
OP
, / F1PF2 =902 2x y变式4、(2) 椭圆 尹 + k=1(ab 0)的两焦点为F1、PF2 / AB,求椭圆离心率？b2PF1
=
F2 F1
=2c
OB
=b
OA
=aa=迈e 5将上题中的条件“ PFz / AB”变换为“ PO /2-2二 a =5c变式(3):图形如上图， e= 3-1F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF丄X轴,PF 2 / AB /.
fRF1 R
=-
F2 F1
a又/ b= /a -cAB (O为坐标原点)”2 2x y相似题：椭圆 ar- + *=1(ab 0) , A是左顶点，F是右焦点,解：
AO
=a
OF
5、 =c I BF
=a
ABB是短轴的一个顶点，/ ABF=90，求e?丨=a2+b2a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a22+e-1=0 e=宁e=舍去)、x2y2-1 + V3变式(1)：椭圆尹 + _b=1(ab 0) , e=, A 是左顶点，点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案: 引申：此类e= J的椭圆为优美椭圆。性质：(1)/ ABF=90(2)假设下端点为 B ,则ABFB四点共圆。(3 )焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。2 2 变式(2):椭圆 罕笃=1 6、(ab0)的四个顶点为 A、B C、a2 b2椭圆的离心率e = _5-1.2F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?90D,若四边形 ABCD勺内切圆恰好过椭圆的焦点，则提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c,又等于直角三角形但r = caob斜边上的高，.由面积得：ab = r a2亠b2 ，2 24,设椭圆筈 与a b 0)的左、右焦点分别为 Rp F2， a b的取值范围。如果椭圆上存在点P,使/RPF2 =90，求离心率e解：设 Px,y , F -c,0 , F2 c,0法1:利用椭圆范围。由 hP_F2P得x2y-c2，将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得x22 2 2-7、2 a ca b肿k2a b2/2 2、 a (c - a )2e由椭圆的性质知0 _x2附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1类似)2法2:判别式法。90由椭圆定义知
PF2
= 2a =
PF2
PF2|2 2
Ph
PF2
= 4a2，又因为一 PF 2可得
PFi
2
PF212 =
F1F212 = 4c2，贝y
PFi
PF2 卜 2(a2 _ C2) = 2b2 ,二PFi , PF2是方程z2 2az - 2b2 =0的两个根，则厶=4a2-8(a2 -c2) _0二e2解法3:正弦定理PF2F1 二|PFi
，由正弦定8、理有s
F1F2
sin :sin90
PF1|；|P?=|F1F2|ce =一a又因为
PF
PF2
= 2a,
F
F2
= 2c，且：=90 则sin +si nB sin a + cos 令jsi n 十兀)4 0 :-JI 2“b 0)的两焦点为P，故有 c - b= c2 _ b2 二 a2 -c2F1(-c , 0)、F2 (c,0) , P是以丨F1F2丨为直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求椭圆的离心率 e 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：I F1F2 II F1PIsin F 1PF9、 =sin F 1F2P根据和比性质：I F1F2 II F1P I + I PF2 I-变形得:sin F 1PFsi nF 1F2P+S in PF 1F2/ PF1F2 =75PF2F1 =15e=PF2sin _ PF1F2丨F1F2丨I PH I + I F1P Isin F 1PF2sin F 1F2P +si n PF 1F22c=e 2asin 90远sin75 +sin15 = 3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知2 2x y变式(2):椭圆 h +=1(ab 0)的两焦点为F1a b椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。sin F 1PF2e=sin10、 F 1F2P +sin PF 1F2(-c, 0)、F2 (c,0) , P 是椭圆上一点，且/F1PF2 =60，求解：设/ FiF2P=a，则/sin F 1PF2sin 60F2F1P=120 - ae=sin F 1F2P +sin PF 1F2 =sin a +sin(120 - a )2si n(1a +30 )21产 eb 0)的两焦点为F1(-C , 0)、F2 (c,0)，满足MF =0的点M总在椭圆内部，贝U eM在圆O上，与椭圆没有交点。解： c2c2 0eb 0)b恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与F 2M垂直，根据向量垂直， 思路2:根据图形中的11、边长之间的不等关系，求2X8,椭圆ra的两焦点为Fi( -c，0)、F2 (c,0)，P为右准线2x=a上一点，F1 P的垂直平分线c解法一:竺)2丿b2L2ME =-(F1(-c , 0)F 2 (c,0) P(2a则 PR =-(+c, ycM(找a、b、c的不等关系。e2a-c c2a(+c)-(cJ2丿2b2T-c)+0 )2aPF1 -MF2 =0( 一+c,c2yo22=0a -3c 一 c2 a 则 2c -c c2aI PH
-cc2 a2 则 w eb 0)，过左焦点F1且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若
F1A
=2
BR
,求ab椭圆的离心率e的值12、解：设 I BF1
=m 贝U
AF I =2a-am
BFa
=2a-m在厶AFF2及、BF1F2中，由余弦定理得:-2 2a - c =m(2a-c)* 2 2、-2(a -c )=m(2a+c):2ac 12两式相除亦 =2- e=3练习题:2 21，椭圆 jX2 y2 =1(a b 0)上有一点a bM F-F2是椭圆的两个焦点，若MF2MF2 =2b，求椭圆的离心率解析：由椭圆的定义，可得 MF1 + MF2|=2a又MF 1MF22 2 2 2x -2ax 2b -0 的两根，由几=(-2a) -4 2b2 2_0,可得 a _2b ,= 2b2，所以MF 1, MF?13、是方程222CV2即 a _2(c -a )所以 e=- a 2所以椭圆离心率的取值范围是上2,1）232,在厶 ABC 中，.A =90 , tanB .若以 A,4AB解析AB =4k, AC =3k, BC =5k,e 二AC + BCB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=123,已知斤丁2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若/PF1F2 :NPF2F1 :NF1PF2 =1:2:3,贝毗椭圆的离心率 为-解析.3-1 三角形三边的比是1: 3:22 2- 笃=1（ a b 0）的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点 ,0bc4,在平面直角坐标系中，椭圆作圆的两切线互相垂直，则14、离心率解析=.2 = e c25,在厶ABC中， A =30,
AB|=2,Sabc =若以A B为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析S.abc 2= 1|AB
AC|si nA= .3 ,
AC 戶 2、3 ,|BC|=
AB|2
AC
2 -2|AB
AC
cos2e_ IABI|AC|BC|2、322 x2 .ysin PF F a6,已知椭圆笃与=1（a b 0）的左、右焦点分别为F1 -c,0 ,F2 c,0，若椭圆上存在一点P使 1 2a bsi nPF2Ftc则该椭圆的离心率的取值范围为15、 .解析ac在 PF1 F2中，由正弦定理得21 ，则由已知，得，即aPF cPF2 ,sin PF1F2 sin PF2F1PF2 PF1PFi= cPF2，由椭圆的定义知 PF1+PF2 =2a , E|PF2 + PF2 =2a ,aa2a2即PF2 =，由解法三知c -a ： PF2 =c +a2 2PFia c=2 T ：e ：1 椭圆的离心率 e2T,1。c a7,已知椭圆M :务+占=1（ab 0）的左、右焦点分别为F1（-c,0 ） F2（c,0 ）, P为椭圆M上任意一点且PF俘F：a b的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c =.；a2 _b2，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析:设 P Xo,yo，则 PFi PF?二 _c-Xo,_yo _-cXo,yo 二怡2*。2-。2，而2 2 2 2 2 2xo 亠 yo PO :Sa , - PFi PF2 的最}