先算出交点，思路是很简单的 那个是y=√（2+x^2）吧？ 不过这里不管有没有这个括号都没有所谓围成的区域。 求面积不是要人家具体给出函数给你，要自己去找，这里只是你给的数据有问题而已，否则题目已经给的很明白了。 f1(x)与f2(x)围成的区域假设两个焦点使得a<=x<=b 则二重积分∫∫1dydx其中右边的积分上下限为才f1(x),f2(x)其中小的为下限大的为上限，如果有某段这个大某段那个大就分段积分； 左边的积分上下限a,b； 一个测度积分告诉我们1函数在某个集合的积分恰好为这个集合的测度，所以 ∫∫1dxdy其中积分区域为E，则结果就是E的面积；而所说的区域要靠我们根据条件去判断，不能说人家不给具体函数积分给你 先解出交点为x=±√2/2，y=√2/2； ∫∫1dydx y的积分上下限分别为√(1-x^2),√2x^2;x 的积分上下限分别为 √2/2，-√2/2，积出来结果为1/6 你不懂测度那你把面积两个字代替测度两个字再读一遍那个相当于平面截一个圆柱的体积z=3-x-y所以 V=∫∫zdxdy=∫∫(3-x-y)dxdy由对称性可以化成∫∫3dxdy-2∫∫xdxdy=3S圆-2∫∫xdxdy=3-2∫∫xdxdy而2∫∫ydxdy的积分为8/3，它的积分上下限为右边的下-√(1-x^2)，上√(1-x^2)；左边的积分上下下分别为1，-1；所以最后答案为1/3；本来体积积分用三重积分的话也是1函数的积分∫∫∫1dxdydz但是你这里要求用二重积分，注意到面积元为dxdy，如果用z*dxdy则就是一个很小的圆柱体，累加起来就是体积了.
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积分证明题是考研中难度较大的板块，很多学弟学妹们希望我出一篇总结文章，故作本文，希望对大家有所帮助。本文所涉及题目，均是来自市面上常见题册（李林880，张宇1000题，汤家凤1800等）由于内容较多，故分为三部分：等式证明（本文所讲）由积分判断函数零点个数（点击进入）不等式证明（点击进入）积分等式证明：大致分为有参数和无参数两部分。方法总结如下图所示：方法一览1.无参数等式证明无参数说白了，就是题目中不含“存在一点x，使得xxxxx”这样的语句。针对无参数等式，我们通常是从积分上下限和被积函数入手，进行思考。a.分部积分使用信号：题目中含有 \int_{a}^{b}u^{(k)}vdx 和 \int_{a}^{b}uv^{(k)}dx 时，可以考虑使用分部积分。原因分析：分部积分就是：\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx 即是把求 u'v 的积分转变为求 uv’ 的积分。所以不难得出分部积分的“功效”就是让积分号里面的两个函数一个求导一个积分。这里uv没有考虑是因为对于分部积分而言，uv并不难解决，容易算出来。因此关键还是两个积分的转换。由于分部积分可以连续使用，所以可以使积分号里面的一个函数求导若干次另一个积分若干次，如下使用k次(k为偶数)分部积分：\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx=某些式子+\int_{a}^{b}uv^{(k)}dx 若此时“某些式子”可以根据题目条件或者自身特性求出来等于0，此时即有最简形式：\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx=\int_{a}^{b}uv^{(k)}dx 由此可见，如果题目让你求含有 \int_{a}^{b}u^{(k)}vdx 和 \int_{a}^{b}uv^{(k)}dx 可以考虑使用分部积分来解。例题解析：分部积分证明积分等式本题就是找到了 \int_{0}^{1}u^{(2)}vdx 和 \int_{0}^{1}uv^{(2)}dx ，进而判断是用分部积分，且需要用两次。b.区间再现公式使用信号：等式中两个积分上下限相同。且其中一个积分可以看成这种形式：\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx ，y=g(x)图像关于 x=\frac{a+b}{2} 对称， y=f(x)图像 关于 x=\frac{a+b}{2} 上某点中心对称时，考虑使用。原因分析：区间再现公式为： I=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx 通过换元 t=a+b-x 得到： I=\int_{a}^{b}f(a+b-t)g(a+b-t)dt ,两者再相加除以2得：I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)]dx 。可见经过这个换元之后，积分上下限没有发生变化——所以叫区间再现。什么时候使用这个方法呢？当然在 f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x) 比 f(x)g(x) 更简单（更容易积分）时使用。那什么时候更简单？显而易见：y=g(x)图像关于 x=\frac{a+b}{2} 对称， y=f(x) 关于 x=\frac{a+b}{2} 上某点中心对称时。此时： g(a+b-x)=g(x), f(a+b-x)+f(x)=c 进而：f(a+b-x)g(a+b-x)+f(x)g(x)=cg(x) 从而：I=\frac{c}{2}\int_{a}^{b}g(x)dx ，即有： I=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\frac{c}{2}\int_{a}^{b}g(x)dx 为了方便，上述证明作为下面例题的引证。例题解析：区间再现公式证明积分等式区间再现公式证明积分等式c.换元积分使用信号：上述两种方法搞不定时，尝试使用。换元分类：有两种常见的换元方法，一个就是 x=kt+m ，另一个就是 x=\frac{ab}{t} 第一种(x=kt+m)：\int_{a}^{b}\rightarrow\int_{c}^{d} （b>a,d>c）设 x=kt+m ，于是有方法思路相关例题：换元积分证明积分等式第二种(x=\frac{ab}{t})：\int_{a}^{b}f(x)dx 通过换元 x=\frac{ab}{t}
得到 ab\int_{a}^{b}\frac{1}{t^{2}}f(\frac{ab}{t})dt 相关例题：换元积分证明积分等式2.有参数等式证明有参数就是题目中含有“存在一点x，使得xxxxx”这样的语句。针对有参数的题目，我们需要研究这个参数是怎么来的，进而得到多种方法。得到参数的方法常见有如下几种：零点定理介值定理积分中值定理微分中值定理下面来围绕这几点来写：由于直接使用介值定理和积分中值定理的题目较为简单，所以这里主要讲它俩和其他方法混用的情况。a.零点定理解题思路：移项设函数 \rightarrow 找两点 \rightarrow 零点定理具体例题：零点定理证明积分等式b.泰勒展开+介值定理使用信号：等式中含有 \int_{a}^{b}f(x)dx 和 f’’(\xi) 时，考虑使用解题思路：在某点泰勒展开 \rightarrow 积分 \rightarrow 介值定理例题如下：泰勒展开+介值定理证明积分等式运用泰勒展开的其中一个关键问题在于：在哪点展开。一般来说，是在区间中点处展开，因为这样积分的话，可以消除奇数阶导数，简化展开式。本题也是在中点0处展开的。c.分部积分+积分中值定理使用信号：等式中含有 \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx 和 g\int_{a}^{\xi}fdx或 g\int_{\xi}^{b}fdx 时，考虑使用解题思路：设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \rightarrow 分部积分 \rightarrow 积分中值定理 \rightarrow 化简即可例题如下：分部积分+积分中值定理证明积分等式d.微分中值定理该方法关键步骤就是设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ，这样进而将含有积分的等式转变为不含积分的等式。从而能用微分中值定理的相关知识进行求解。解题思路设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \rightarrow 变形 \rightarrow 运用微分中值定理 具体使用哪种微分中值定理，可以根据变形后的式子来确定例题如下：罗尔定理例题：罗尔定理证明积分等式拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理证明积分等式柯西中值定理：柯西中值定理证明积分等式到此结束！！我是煜神学长，22考研我们一起加油！往期总结笔记：煜神学长：148分学长考研数学结论总结（秒杀函数、极限与连续-第1期）煜神学长：148分学长考研数学结论总结（秒杀函数、极限与连续-第2期）煜神学长：148分学长考研数学结论笔记-导数与微分解题技巧（第3期）煜神学长：148分学长考研数学结论笔记-一元函数积分学解题技巧总结（第四期）煜神学长：148分学长考研数学结论笔记-多元函数微分学解题技巧总结（第五期）其他干货文章：煜神学长：正交变换最强总结笔记，解决每一个考研线代人的理解难关煜神学长：超强换元法，二重积分计算的核武器！（雅可比行列式超通俗讲解）煜神学长：高数极限概念题，90%的人都会做错的一道题煜神学长：考研秘技-拉格朗日中值定理横扫极限难题！(秒杀5种题型)煜神学长：一文搞懂考研数列极限问题(概念/计算/证明)史上最强/最全总结！！}