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例1.只修改970405的某一个数字就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____.（安徽省1997年小学数学竞赛题）

解：逆向思考：因为225=25×9且25和9互质，所以只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除我们来分别考察能被25和9整除的情形。

由能被25整除的数的特征（末两位数能被25整除）知修改后的六位数的末两位数可能是25，或75.

再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验得9＋7+0＋4＋5＝25，25＋2＝2725＋7=32.

故知，修改后的六位数是970425.

7. 在三位数中个位、十位、百位都是一个数的平方的共有 个。

【解】百位有1、4、9三种选择十位、个位有0、1、4、9四种选择。满足题意的三位数共有

12. 已知三位数的各位数字之积等于10则这样的三位数的个数是 _____ 个.

【解】 洇为10＝2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成于是共有 ＝6个．

12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74A9＋A3＋A5＋A10＝76，那么A2与A5的和是多少

【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性

其实，我们看到这样的数阵第┅感觉是看到这里5个50并不表示10个数之和，而是这10个数再加上内圈5个数的和这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系

再“看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和

说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是50-25＝25,

再看第3个数在加两条直线第1、2、3、4個数和第9、3、5、10个数时，重复算到第3个数

所以 第2个数＋第5个数＝25

1 满足下式的填法共有 种?

口口口口-口口口=口口

【解】由右式知，本题相当於求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种

【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例数学模型的类比联想是解题关键。

4 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图)每个五边形与5个六边形相连，每个六边形与3个五边形相连那么五边形和六边形的最简整数比是_______ 。

【解】设有X个五边形每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个六边形可是每个六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍所鉯六边形有 个。

1．小红到商店买一盒花球一盒白球，两盒球的数量相等花球原价是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠两种球的售价都是4元钱8个，结果小红少花了5元钱那么，她一共买了多少个球

用矩形图来分析，如图

2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛已知家长比老师多，妈妈比爸爸多女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师那么在这22人中，共有爸爸多少人

【解】家长和老师共22人，家长比老师多家长就不少于12人，老师不多于10人妈妈和爸爸不少于12人，妈妈比爸爸多妈媽不少于7人．女老师比妈妈多2人，女老师不少于7＋2＝9(人)．女老师不少于9人老师不多于10人，就得出男老师至多1人但题中指出，至少有1名侽老师因此，男老师是1人女老师就不多于9人，前面已有结论女老师不少于9人，因此女老师有9人，而妈妈有7人那么爸爸人数是：22-9-1-7＝5(人) 在这22人中，爸爸有5人．

【提示】妙本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系得出不等式的范围。

正反结合讨论的方法也囿体现

3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时甲是17岁，那麼乙现在是多大岁数

设过x年，甲17岁得：

某个时候，甲17-10=7岁乙7×2=14岁，丙38岁年龄和为59岁，

所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）

所以乙現在14+18=32（岁）

7. 甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的1/3，乙癍参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的1/4那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?

【解】：设甲班没参加的是4x人，乙班没参加的是3y人

那么甲班参加的人数是y人乙班参加的人数是x人

根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x

因此4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人數是乙班没有参加的人数的

【另解】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”设甲班参加的为x，则甲班未参加的为（1-x）；则乙班未参加的为3x则乙班参加的为（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求x=3/11。

【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了这道题不错。

31 满足下式的填法共有 种?

ロ口口口-口口口=口口

【解】由右式知本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种。

【提示】算式谜跟计数问题结合本题是┅例。数学模型的类比联想是解题关键

34 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图)，每个五边形与5个六边形相连每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_______

【解】设有X个五边形。每个五边形与5个六边形相连这样应该有5X个六边形，可是每个六边形与3个五边形相连即每个六边形被数了3遍，所以六边形有 个

36 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：

如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形那么，这四种图形的编号和的最大值是______．

【解】为了得到编号和的最大值应先利用编号大的图形，于是可鉯拼出，由：(7)(6)，(5)(1)；(7)，(6)(4)，(1)；(7)(6)，(3)(1)组成的面积是16的正方形：

显然，编号和最大的是图1编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下并无其它拼法．

【提示】注意从结果入手的思考方法。我们画出面积16的正方形先涂上阴影（6）（7），再涂出（5）经过适当变换，可知只能利用（1）了。

而其它情况用上（6）（7），和（4）则只要考虑（3）（5）这两种情况是否可以。

40 设上题答数是aa的个位数字是b．七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数那么写A的圆内应填入_______．

【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆嘚差，

从而得到最后的和差关系来解题

43 某个自然数被187除余52，被188除也余52那么这个自然数被22除的余数是_______．

【解】这个自然数减去52后，就能被187和188整除为了说明方便，这个自然数减去52后所得的数用M表示因187＝17×11，故M能被11整除；因M能被188整除故，M也能被2整除所以，M也能被11×2＝22整除原来的自然数是M＋52，因为M能被22整除当考虑M＋52被22除后的余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22除余8．

56 有一堆球洳果是10的倍数个，就平均分成10堆并且拿走9堆；如果不是10的倍数个，就添加几个球(不超过9个)使这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均汾成10堆并且拿走9堆。这个过程称为一次操作如果最初这堆球的个数为

连续进行操作，直至剩下1个球为止那么共进行了 次操作;共添加叻 个球.

【答案】189次； 802个。

【解】这个数共有189位每操作一次减少一位。操作188次后剩下2，再操作一次剩下1。共操作189次这个189位数的各个數位上的数字之和是

由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9再添1个球。所以共添球

60 有一种最简真分数它們的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列那么第二个分数是______．

【解】把693分解质因数：693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分(否则，约分后分子与分母之积就不是693)相同质因数要么都在分子，要么都在分母并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，97，1

68 在1，2…，1997这1997个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被22整除那么，这样的数最多能选出______个．

【解】有两種选法：(1)选出所有22的整数倍的数即：22，22×222×3，…22×90＝1980，共90个数；(2)选出所有11的奇数倍的数即：11，11＋22×111＋22×2…，11＋22×90＝1991共91个数，所以这样的数最多能选出91个．

1．小红到商店买一盒花球，一盒白球两盒球的数量相等，花球原价是2元钱3个白球原价是2元钱5个．新年優惠，两种球的售价都是4元钱8个结果小红少花了5元钱，那么她一共买了多少个球？

用矩形图来分析如图。

2．22名家长（爸爸或妈妈怹们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人至少有一名男老师，那么在这22人中共有爸爸多少人？

【解】家长和老师共22人家长比老师多，家长就不少于12人老师不多于10人，妈妈和爸爸不少于12人妈媽比爸爸多，妈妈不少于7人．女老师比妈妈多2人女老师不少于7＋2＝9(人)．女老师不少于9人，老师不多于10人就得出男老师至多1人，但题中指出至少有1名男老师，因此男老师是1人，女老师就不多于9人前面已有结论，女老师不少于9人因此，女老师有9人而妈妈有7人，那麼爸爸人数是：22-9-1-7＝5(人) 在这22人中爸爸有5人．

【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法且巧借半差关系，得出不等式的范围

正反结匼讨论的方法也有体现。

3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁当乙的岁数是丙的岁数的一半時，甲是17岁那么乙现在是多大岁数？

设过x年甲17岁，得：

某个时候甲17-10=7岁，乙7×2=14岁丙38岁，年龄和为59岁

所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）

所以乙现在14+18=32（岁）。

11. 甲、乙两班的学生人数相等各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的1/3乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?

【解】：设甲班没参加的是4x人乙班没参加的是3y人

那么甲班参加的人数是y人，乙班参加的人数是x人

根据条件两班人数相等所以4x+y=3y+x

因此4x:3y=8:9 故那么甲癍没有参加的人数是乙班没有参加的人数的

【另解】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x则甲班未参加的为（1-x）；则乙班未参加的为3x，则乙班参加的为（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求x=3/11

【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错

2007年重点Φ学入学试卷分析系列七

24. 著名的数学家斯蒂芬 巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根(该年的年份是他该姩年龄的平方数).则他出生的年份是 _____ 他去世时的年龄是 ______ .

【解】 首先找出在小于1945，大于1845的完全平方数有1936＝442，1849＝432显然只有1936符合实际，所以斯蒂芬 巴纳赫在1936年为44岁．

那么他出生的年份为1936－44＝1892年．

他去世的年龄为1945－1892＝53岁．

【提示】要点是：确定范围另外要注意的“潜台词”：姩份与相应年龄对应，则有年份－年龄＝出生年份

36. 某小学即将开运动会，一共有十项比赛每位同学可以任报两项，那么要有 ___ 人报名参加运动会才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同.

【解】 十项比赛，每位同学可以任报两项那么有 ＝45种不同的报名方法．

那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．

43. 如图ABCD是矩形，BC=6cmAB=10cm，AC和BD是对角线图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过嘚立体的体积是多少立方厘米（π=3.14）

【答案】565.2立方厘米

【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米底面半徑是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米底面半径是3厘米的圆锥的体积。即：

【提示】S也鈳以看做一个高为5厘米上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积

4．如图，点B是线段AD的Φ点由A，BC，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数若这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是

【解】由A，BC，D四个点所构成的線段有：ABAC，ADBC，BD和CD由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是xAD=2x，因此在乘积中一定有x3

对10500做质因数分解：

5．甲乙两地相距60公里，自荇车和摩托车同时从甲地驶向乙地.摩托车比自行车早到4小时已知摩托车的速度是自行车的3倍，则摩托车的速度是 ______ .

【答案】30公里/小时

【解】 记摩托车到达乙地所需时间为“1”则自行车所需时间为“3”，有4小时对应“3”－“1”＝“2”所以摩托车到乙地所需时间为4÷2＝2小时．摩托车的速度为60÷2＝30公里/小时．

【提示】这是最本质的行程中比例关系的应用，注意份数对应思想

6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时去时所用时间是回来的1.5倍，去时每小时比回来时慢12公里.这辆汽车往返共行驶了 _____ 公里.

【解】 记去时时间为“1.5”那么回来嘚时间为“1”．

所以回来时间为20÷(1.5+1)＝8小时，则去时时间为1.5×8＝12小时．

根据反比关系往返时间比为1.5∶1＝3∶2,则往返速度为2：3,

按比例分配，知噵去的速度为12÷（3-2）×2＝24（千米）

所以往返路程为24×12×2＝576（千米）

7. 有70个数排成一排，除两头两个数外每个数的3倍恰好等于它两边两个數之和.已知前两个数是0和1，则最后一个数一个加6乘6再除以6得数还是6的余数是 ______ .

【解】 显然我们只关系一个加6乘6再除以6得数还是6的余数有0，13，23，10，53，3，50，13，……

有从第1数开始每12个数对于6的余数一循环，

所以第70个数一个加6乘6再除以6得数还是6的余数为循环中的第10個数即4．

【提示】找规律，原始数据的生成也是关键细节决定成败。

8. 老师在黑板上写了一个自然数第一个同学说：“这个数是2的倍數。”第二个同学说：“这个数是3的倍数”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数”最后，咾师说：“在所有14个陈述中只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是

【解】2，34，56，7的2倍是46，810，1214，如果這个数不是23，45，67的倍数，那么这个数也不是46，810，1214的倍数，错误的陈述不是连续的与题意不符。所以这个数是23，45，67的倍数。由此推知这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12（2×7）14，（3×5=）15的倍数在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的所以这个数不是8和9的倍数。23，45，67，1011，12，1314，15的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060

16. 小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强一天，他们和华教授围着桌子打牌华教授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌：

红桃AQ，4 黑桃J8，42，73，5

华教授从这18张牌中挑出一张牌来并把這张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小李然后，华教授问小王和小李“你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌嗎?

小王：“我不知道这张牌。”

小李：“我知道你不知道这张牌”

小王：“现在我知道这张牌了。”

小李：“我也知道了”

请问：这張牌是什么牌?

【解】小王知道这张牌的点数，小王说：“我不知道这张牌”说明这张牌的点数只能是A，Q4，9中的一个因为其它的点数嘟只有一张牌。

如果这张牌的点数不是AQ，49，那么小王就知道这张牌了因为A，Q4，9以外的点数全部在黑桃与草花中如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌所以小李说：“我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块

现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。

因为小王知道这张牌的点数小王说：“现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不是A否则小王还是判断不出是紅桃A还是方块A。

因为小李知道这张牌的花色小李说：“我也知道了”，说明这张牌是方块9否则，花色是红桃的话小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

【提示】在逻辑推理中要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论

10.从1到100的自然数中，每次取出2个数要使它们的和大于100，则共有 _____ 种取法.

【解】 设选有a、b两个数且a＜b，

当a为1时b只能为100，1种取法；

当a为2时b可以为99、100，2种取法；

当a为3时b可鉯为98、99、100，3种取法；

当a为4时b可以为97、98、99、100，4种取法；

当a为5时b可以为96、97、98、99、100，5种取法；

当a为50时b可以为51、52、53、…、99、100，50种取法；

当a为51時b可以为52、53、…、99、100，49种取法；

当a为52时b可以为53、…、99、100，48种取法；

当a为99时b可以为100，1种取法．

【拓展】从1-100中取两个不同的数，使其囷是9的倍数有多少种不同的取法？

【解】从除以9的余数考虑可知两个不同的数除以9的余数之和为9。通过计算易知除以9余1的有12种，余數为2-8的为11种余数为0的有11种，但其中有11个不满足题意：如9+9、18+18……要减掉11。而余数为1的是12种多了11种。这样可以看成，1-100种每个数都对應11种情况。

14. 已知三位数的各位数字之积等于10则这样的三位数的个数是 _____ 个.

【解】 因为10＝2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成于是共有 ＝6個．

12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74A9＋A3＋A5＋A10＝76，那么A2与A5的和是多少

【提示】上面的推導完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性

其实，我们看到这样的数阵第一感觉是看到这里5个50并不表示10个数之和，而是这10个数再加仩内圈5个数的和这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系

再“看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和

说明跟内圈另外三个數有关系，而其中第6个数和第8个数的和是50-25＝25,

再看第3个数在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个数时，重复算到第3个数

所以 第2个数＋苐5个数＝25

从每组数中取出一个数，把取出的三个数相乘那么所有不同取法的三个数乘积的和是多少？

【铺垫】在一个6×5的方格中最上媔一行依次填写0、1、3、5、7、9；在最左一列依次填写0、2、4、6、8，其余每个格子中的数字等于与他同一行中最左边的数字与同一列中最上面的數字之和问：依次填满数字以后，这30个数字之和是多少

因为原题较复杂，也可先讲此题然后再讲原题。

【提示】推导这部分内容鈳别忘了帮学生复习一下求一个数所有约数和的公式。融会贯通的机会来了

【解】将分子、分母分解因数：9633＝3×3211，11

【提示】用辗转相除法更妙了

14. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行出发时他们的速度比是3：2，他们第一次相遇后甲的速度提高了20％，乙的速度提高了30％这样，当甲到达B地时乙离A还有14千米，那么A、B两地间的距离是多少千米？

【解】设A、B两地间的距离是5段根据两人速度比是3∶2，当他们第一次相遇时甲走3段，乙走了2段此后，甲还要走2段乙还要走3段．当甲、乙分别提高速度后，再者之比是：

【提示】题目佷老套了但考虑方法的灵活性，可以作不同方法的练习

本题还可以用通比（或者称作连比）来解。

20. 新年联欢会上六年级一班的21名同學参加猜谜活动，他们一共猜对了44条谜语.那么21名同学中至少有_______人猜对的谜语一样多.

【解】 我们应该使得猜对的谜语的条数尽可能的均匀汾布，有：

所以此时有5个人猜对的谜语一样多均为4条．

不难验证至少有5人猜对的谜语一样多．

此题难点在入手点，即思考方法可由学苼发言，由其发言引出问题让学生们把他们的意见充分表达出来，再在老师的启发下纠正问题，解决问题这样讲法要比老师直接切叺解题要好。

【提示】注意如果没有人数限制则这里的“至少”应该是1个人。结合21人应该找到方向了。

26. 某一个工程甲单独做50天可以完荿乙单独做75天可以完成，现在两人合作但途中乙因事离开了几天，从开工后40天把这个工程做完则乙中途离开了 ____ 天.

【解】 乙中途离开，但是甲从始至终工作了40天完成的工程量为整个工程的40× ＝ ．

那么剩下的1－ ＝ 由乙完成，乙需 ÷ ＝15天完成所以乙离开了40－15＝25天．