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初中数学综合试题(二)
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你可能喜欢1. 告诉学生，高考和中考也不可能改分数，就算批错了，这也是考试的一部分。在试卷上涂涂改改本身就会增加被批错的概率，要避免老师批错的话，写答案的时候就要尽可能的写清楚。跟足球比赛一样，要避免误判，你就把球踢进球门，压在门线上的事儿，误判了也就误判了，比赛结果不可更改。&br&&br&2. 既然家长都找你了，那你跟家长谈谈，让家长考虑一下是不是关注学生成绩的方式方法不对，才导致学生为了一次无关紧要考试的成绩而有这样大的压力。&br&&br&3. 这种涂改答案以后来找分的情况在美国大学里也常见，重要考试之后试卷通常要复印存档。不重要的考试每次复印太麻烦，所以批卷的时候，都在学生错误的地方用红笔划一道，在空白地方也划一道，避免涂改或添加结果之后来找分。&br&&br&4. 不明白某大V的逻辑，“一个成年人，如果坚持去和一个小孩子去计较谁对谁错，那最好别从事教育工作”。老师这个工作，就是要告诉小孩子什么是对的，什么是错的啊。老师的是非观不一定跟学生一致，学生也不一定要听老师的，但老师总不能明明感觉学生错了还不跟学生说吧。
1. 告诉学生，高考和中考也不可能改分数，就算批错了，这也是考试的一部分。在试卷上涂涂改改本身就会增加被批错的概率，要避免老师批错的话，写答案的时候就要尽可能的写清楚。跟足球比赛一样，要避免误判，你就把球踢进球门，压在门线上的事儿，误判了也…
谢邀。&br&代数：&br&小学：加减乘除、乘方开方；&br&中学：解方程、不等式、函数；&br&本科：线性代数、矩阵；群环域模，Galois理论；&br&现代代数学家：everything e.g. &group& becomes &groupoid&, &Lie algebra& becomes &Lie algebroid&.&br&&br&几何：&br&小学：不记得有没有；&br&初中：平面几何，辅助线；&br&高中：（竞赛党）更多更难的辅助线；（一般人）平面解析几何、立体解析几何；&br&数学本科及以上：几何学主要分为微分几何和代数几何两大块，主要研究流形、orbifold、代数簇、scheme、stack等抽象的几何对象。&br&&br&空间：&br&小学到中学：三维欧氏空间，我们生活的物理空间，并且不对两者进行区分；&br&本科数学及以上：最典型的用法包括线性空间和拓扑空间。从广义上来说，一切几何对象都可以成为空间，比如projective spaces, Alexander spaces, Lenz spaces, loop spaces, etc.&br&&br&张量：&br&中学以前：没听过,是不是一个姓张的人发明的？&br&工科生：一堆带指标的东西做一些乱七八糟的变换；&br&学代数的：两个R模可以根据某种universal property定义张量积，里面的元素就是张量；&br&学微分几何的：我不关心张量在代数上的抽象定义，我只知道什么是协变张量、反变张量，我还会对张量求协变导数；&br&物理学家：Tensor is something that transforms like a tensor.&br&&br&曲线、曲面：&br&中学以前：不直的线，不平的面，没有严格定义；&br&本科：曲线是区间到拓扑空间上的连续映射，或者说一维流形（可能有自交）。曲面即二维流形；&br&复几何学家：我们的曲线是2维的，曲面是4维的（复流形实维数翻倍）；&br&代数几何学家：我们的曲线可以是离散的（over Q），可以只有有限个点（over finite field）。我们有时候还关心一条曲线是不是空的（是否有有理点）。
谢邀。 代数： 小学：加减乘除、乘方开方； 中学：解方程、不等式、函数； 本科：线性代数、矩阵；群环域模，Galois理论； 现代代数学家：everything e.g. "group" becomes "groupoid", "Lie algebra" becomes "Lie algebroid". 几何…
（欧几里德及其他很多度量空间中）&b&两点之间直线&/b&（测地线）&b&最短。证毕……&/b&&br&（严格凸赋范空间中）这是距离定义的一环。&br&（普通读者请忽略括号中的内容。）
（欧几里德及其他很多度量空间中）两点之间直线（测地线）最短。证毕…… （严格凸赋范空间中）这是距离定义的一环。 （普通读者请忽略括号中的内容。）
1. 欧拉的五角形数定理 (Euler's Pentagonal number theorem)，容易描述，不容易证明，背景深刻，知道的人相对不多，适合做为中学生的思考题（作为竞赛题太难了，当年欧拉都想了很久）。&br&&br&如下。我们把左边展开，会发现右边的系数居然都在[-1,1]范围：&br&&img src=&///equation?tex=%281-x%29%281-x%5E2%29%281-x%5E3%29+%5Ccdots+%3D+1+-+x+-+x%5E2+%2B+x%5E5+%2B+x%5E7+-+x%5E%7B12%7D+-+x%5E%7B15%7D+%2B+x%5E%7B22%7D+%2B+x%5E%7B26%7D+-+%5Ccdots& alt=&(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \cdots& eeimg=&1&&&br&&br&事实上，欧拉的五角形数公式是：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%281-x%5E%7Bn%7D%5Cright%29%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28-1%5Cright%29%5E%7Bk%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7B2%7D%5Cleft%283k-1%5Cright%29%7D& alt=&\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^{n}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{k}x^{\frac{k}{2}\left(3k-1\right)}& eeimg=&1&&&br&&br&这个证明不容易。中学生可能会想用数学归纳法，用数学归纳法确实可以证出来，但颇有难度。另一种思路是思考左边的组合意义。具体方法也不容易想到。&br&&br&如果此前没有见过这个公式，不妨思考一下怎么证明。&br&&br&&b&数学背景：&/b&与数论和表示论的一些事情有深刻联系。直接推广是 Jacobi triple product 公式。稍改一点就是 Dedekind eta 函数。&br&&br&&b&难度：&/b&★★★★★。如果能自己想出来，说明你的解题能力相当强。既然叫五角形数定理，难度就定为五颗五角星吧。&br&&br&=============================&br&&br&2. 第二个问题，乍听上去可能有点奇怪。&br&&br&如果一个级数：&img src=&///equation?tex=f%28x%29+%3D+a_0+%2B+a_1+x+%2B+a_2+x%5E2+%2B+a_3+x%5E3+%2B+a_4+x%5E4+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \cdots& eeimg=&1&&&br&&br&满足：对于所有正整数 &img src=&///equation?tex=n%5Cgeqslant+0& alt=&n\geqslant 0& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%28f%28x%29%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(f(x))^{n+1}& eeimg=&1&& 中 &img src=&///equation?tex=x%5En& alt=&x^n& eeimg=&1&& 项的系数等于 1。&br&&br&那么 &img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的系数 &img src=&///equation?tex=a_0%2C+a_1%2C+a_2%2C+a_3%2C+%5Ccdots& alt=&a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots& eeimg=&1&& 是否有简单的公式？&br&&br&如果算一下会发现只有 &img src=&///equation?tex=f%28x%29+%3D+1+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+x+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D+x%5E2+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x) = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} x^2 + \cdots& eeimg=&1&& 满足这个要求。&br&因为此时 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%5E2+%3D+1+%2B+x+%2B+%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D+x%5E2+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x)^2 = 1 + x + \frac{5}{12} x^2 + \cdots& eeimg=&1&&&br&并且 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%5E3+%3D+1%2B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx+%2B+x%5E2+%2B+%5Ccdots& alt=&f(x)^3 = 1+ \frac{3}{2}x + x^2 + \cdots& eeimg=&1&&等等等等。&br&&br&事实上，可以证明：&br&&img src=&///equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-e%5E%7B-x%7D%7D+%3D+%5Csum_i+%5Cfrac%7B%28-1%29%5Ei+B_i%7D%7Bi%21%7D+x%5Ei& alt=&f(x) = \frac{x}{1-e^{-x}} = \sum_i \frac{(-1)^i B_i}{i!} x^i& eeimg=&1&&&br&这个大家一般用留数定理证。但肯定也有初等方法的证明，可以想想。&br&&br&&b&数学背景：&/b&这是 代数几何/微分几何/代数拓扑 中 Todd class 的由来。A-hat class 之类都是用类似的方法定义。&br&&br&&b&难度：&/b&★★★。&br&&br&=============================&br&&br&3. 第三个问题。用一个非常简单的方法，可以算一个微妙的代数数论的东西。&br&&br&令 p 为一个大于 3 的质数。然后我们把从 1 到 p-1 的平方，模 p 的余数，都写出来。&br&&br&比如说，如果 p = 11，那么从 1 到 10 的平方，模 11，就是：&br&1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1&br&它们加起来等于 44 。&br&&br&加起来的结果，肯定可以被 p 整除（易证）。令商为 S(p)。比如这里 S(11) = 44 / 11 = 4。&br&&br&那么，现在各位可以写个程序，算个表出来：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Btabular%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0Ap%265%267%17%29%41%C%0A%5Chline%0AS%28p%29%262%262%264%266%268%268%268%18%C%5C%0A%5Chline%0A%24%5Cfrac%7Bp-1%7D%7B2%7D-S%28p%29%24%260%261%261%260%260%261%263%260%263%260%260%261%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Btabular%7D& alt=&\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
p&5&7&11&13&17&19&23&29&31&37&41&43\\
S(p)&2&2&4&6&8&8&8&14&12&18&20&20\\
$\frac{p-1}{2}-S(p)$&0&1&1&0&0&1&3&0&3&0&0&1\\
\end{tabular}& eeimg=&1&&&br&&br&如果 p = 1 (mod 4)，那么 S(p) = (p-1)/2（易证）。&br&&br&如果 p = 3 (mod 4)，那么 S(p) 比 (p-1)/2 小。令 T(p) = (p-1)/2 - S(p)。&br&&br&你会发现 T(p) 是振荡着越来越大的。T(p) 只在某几个 p 时等于1。这几个 p 是：&br&7, 11, 19, 43, 67, 163&br&那么，怎么证明只有这几个 p 时等于1？&br&&br&&b&数学背景：&/b&如果学过代数数论，看到 163 就应该知道是什么了。它们是 &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Heegner number&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，原因是 T(p) 可以联系到虚二次域的类数。163 是个很玄的数字，和 12 / 24 （上一个问出现了 12）一样神出鬼没。&br&&br&比如说不少人都知道 &img src=&///equation?tex=n%5E2+-+n+%2B+41& alt=&n^2 - n + 41& eeimg=&1&& 在 n 从 1 到 40 都是质数。它的判别式是 163。&br&&br&又比如 &img src=&///equation?tex=e%5E%7B%5Cpi+%5Csqrt%7B163%7D%7D+%3D++%5Ccdots& alt=&e^{\pi \sqrt{163}} =
\cdots& eeimg=&1&& 特别接近整数。再说到 j-invariant 再说说就是另一个奇妙联系 monstrous moonshine 了。&br&&br&&b&难度：&/b& ★★★★★★★。&br&&br&=============================&br&&br&&b&各位觉得有意思赞一下，迟点再补充几个比较少为人知的看上去初等但实际深刻的问题。。。&/b&
1. 欧拉的五角形数定理 (Euler's Pentagonal number theorem)，容易描述，不容易证明，背景深刻，知道的人相对不多，适合做为中学生的思考题（作为竞赛题太难了，当年欧拉都想了很久）。 如下。我们把左边展开，会发现右边的系数居然都在[-1,1]范围： (1-x)…
太早学编程当然不好了。&br&我小学就会C了，现在只能在某九线城市搬砖。&br&&br&再给你举两个反面教材。&br&&br&&br&A是十来岁就学编程，天天跑去写，后来跑去哈佛，无心向学，大二写了篇论文就退学去开什么公司，结果被告反垄断，简直业界毒瘤。&br&&br&B也是十来岁就编程，后来也跑去哈佛，情商低，又厌世，还不务正业擅自把学校女生照片放上网侵犯她人隐私。屡教不改，后来还退学搞网站、结果被告，身败名裂，丑事传千里，不仅被当地人拍成电影警告世人，连我国政府都觉得他教坏小朋友封了他的网站。&br&&br&中二是个建立三观的重要时期，千万别学编程！&br&&br&=======&br&唉，这么好猜居然都有人猜不到。A是比尔盖茨，B是扎哥。&br&&br&=======&br&&br&说实话了，学编程跟数学差有个毛关系，题主就是给自己数学差找借口。&br&题主说的编程，学下来花的时间也就相当于从零开始拿复音口琴学完整吹个国歌差不多。&br&去上课的话，十来个课时内就能入门的东西，能花多少时间？&br&要是这么点东西楼主就觉得能影响学习的话，不学是最好的选择，反正学早学晚一样。&br&要学的话好好找个老师，别走弯路。
太早学编程当然不好了。 我小学就会C了，现在只能在某九线城市搬砖。 再给你举两个反面教材。 A是十来岁就学编程，天天跑去写，后来跑去哈佛，无心向学，大二写了篇论文就退学去开什么公司，结果被告反垄断，简直业界毒瘤。 B也是十来岁就编程，后来也跑去…
“老师上课说的都能听得懂，但一到做综合题就蒙了，基础题会做就是会马虎。”&br&所有这类问题，都要首先建立一个认知：&b&“听得懂”≠“会做”≠“拿分”。&/b&&br&如果将最后顺利的拿上分作为100%完成度。&br&那么，&b&“听得懂”可能也只有20%而已，而到达“会做”也只相当于是完成了50%，“又快又准的做出来”的完成度是80%。&/b&&br&——也就是说，“又快又准的做出来”，到“中考（高考）时顺利拿上分数”，其实还有20%的工作。&br&凡是不重视这一点的人，都有很大的概率在高考、中考中翻船。&br&&br&你能考到班级前3，说明智力程度还算可以，&b&脑子聪明点的人，都有一个问题：就是太“浮”。（&/b&包括以前的我）&br&你“一到综合题就蒙了”的一个重要原因就是：你基本功太弱。&br&举个例子，一个非常简单的例子，分解因式。&br&&img src=&/c3f3b52ccdf753ea38dbc706_b.jpg& data-rawwidth=&136& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&136&&比如见到这个式子，我如果说可以分解因式，那么某个学生小明可能会去用十字相乘法：&br&&img src=&/6ff652c8c6ca_b.jpg& data-rawwidth=&211& data-rawheight=&145& class=&content_image& width=&211&&然后再去配正负号，这个速度就慢了。&br&如果碰到这种式子：&img src=&/f8a8dea79d12_b.jpg& data-rawwidth=&145& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&145&&小明的反应速度就会更慢了。&br&甚至，小明可能根本想不到用分解因式，而用了配方法。这个数字还比较简单，用配方法也还好，不过出错的概率会增大，时间也会增长。&br&&img src=&/0af154d5232f1efaed1c4e878bd7ea74_b.jpg& data-rawwidth=&140& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&140&&到了这个式子的时候，配方法就开始容易出错了。尤其，如果x^2前面的系数如果是“-2”的时候，出错率会大大增加。（不知道为什么用不成公式编辑了，只能上传图片了）&br&而如果碰到这个式子：&img src=&/d0a628cefb898fc3a3f94ffef56cd328_b.jpg& data-rawwidth=&151& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&151&&这个式子，其实是高考中的一个很简单的形状，小明根本就没有看出来分解因式，用配方做的。&br&那如果是这个——&br&&img src=&/c00d3c1c10fb23f9be972a7f1cc7d23c_b.jpg& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&336&&或这个&img src=&/2045def675e657acc93a741a3bc162f6_b.jpg& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&46& class=&content_image& width=&403&&&br&小明就连做也不会做了。而正经考试的时候，出现的形状就是这种形状。&br&&br&基本功不熟练，等到形状复杂的时候，你根本反应不过来。&br&再回到最初的那个最简单的分解因式&br&&img src=&/c3f3b52ccdf753ea38dbc706_b.jpg& data-rawwidth=&136& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&136&&和&img src=&/f8a8dea79d12_b.jpg& data-rawwidth=&145& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&145&&小明是需要有人提醒他“分解因式”，或者想到“嗯，有可能用分解因式，我用十字相乘法试一试的”，才有可能将这个式子正确分解。&br&而真正学得好的人，在看到上面的这两个式子的时候，脑子中会直接冒出来(x-5)(x+3)和(x+18)(x-2)，后面的那个会略慢一点点，但也几乎是瞬间完成的。&br&这个“瞬间”是什么意思呢？就是&b&你手上被针扎了一下，你马上就缩手，这就是“瞬间”。&/b&&br&而到了这个式子——&img src=&/c00d3c1c10fb23f9be972a7f1cc7d23c_b.jpg& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&336&&&br&我才会内心想：“嗯，这个式子好像是可以分解因式的，我用十字相乘试一试”。&br&&br&也就是说：&b&基本功不熟练的人，可能在难度级别为2的时候，就开始反应速度慢了下来。而基本功熟练的人，可能是到了难度级别为4、5的时候，反应速度才会慢下来。&/b&&br&而数学，&b&不仅仅是“反应速度”的问题，还会影响到你的“解题方向”&/b&，比如上面这个复杂的式子（高考的题目），&b&如果第一反应没有看到“可以分解因式”，那么就会沿着一条很复杂的路径走下去&/b&，计算量极其之大，根本算不出来（在高考的情境下）。&br&你现在的状态，就是这个样子：&b&你以为你“会”了，其实你的基本功很薄弱，漏洞百出。&/b&&br&但你还不是那种“完全不会”的漏洞，而是“半会半不会”。&br&就像我刚才所说的这个小明一样。&br&（顺便说一下，最后的高考，小明去了一个中档的211大学。嗯，没错，211的水平就是这个样子的，所以高考真心不难的。）&br&&br&你现在要做的事情，不是“多做题”——多做题的效率太低，性价比不高。&br&你要做的是：&br&&b&1. 强化基本功。&/b&&br&如果你不知道自己哪块弱，那么就从初一开始，将课本上的知识点重新刷一遍，将课本、练习册上的基础题、中档题，全部都过一遍，记住一点“一定要做到快而准”，不要贪图进度，放慢一点，把基本功弄扎实了。&br&当然，最好还是针对自己的薄弱的模块，效率更高。但这个需要你通过归类等方法进行寻找。&br&基本功好了之后，综合题再进行一下总结和练习，分数就能拿上了。&br&但之前，你还是需要先保证“中档题、基础题100%拿上分”再说。&br&&b&2. 通过归类，找到自己经常容易出错的点，然后让自己警醒。&/b&&br&比如我刚才所说的，同样是配方，&img src=&/057cf2fab44ab20598af06_b.jpg& data-rawwidth=&152& data-rawheight=&46& class=&content_image& width=&152&&&br&就要比&br&&img src=&/0af154d5232f1efaed1c4e878bd7ea74_b.jpg& data-rawwidth=&140& data-rawheight=&52& class=&content_image& width=&140&&更容易出错的多。这就是我自己做题的一个总结。&br&再比如，只要整个式子变长，我就会放慢解题速度，并当时就进行检查，以保证正确。&br&我是追求速度的，但是如果“做错了”，那么速度再快也没有意义的。&br&你肯定有自己特别容易出错、马虎的地方，自己进行一下归纳，然后多给自己两耳光，让自己记住这些出错点。&br&&br&&br&&br&--------------------------------------&br&本人的博客：&a href=&///?target=http%3A//.cn/mrwishdream& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&本源教室MrWish_新浪博客&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
“老师上课说的都能听得懂，但一到做综合题就蒙了，基础题会做就是会马虎。” 所有这类问题，都要首先建立一个认知：“听得懂”≠“会做”≠“拿分”。 如果将最后顺利的拿上分作为100%完成度。 那么，“听得懂”可能也只有20%而已，而到达“会做”也只相当…
做图形学吧，从2D扫描几何图形做起（说的大概就是，给你一堆几何图形，然后你通过描点的方法把他们画出来），保证数学成绩突飞猛涨的同时，你的编程水平也在迅速提高。搞定了这个之后，去做三维的，你就会看是对微积分感兴趣了，连大学的东西也搞定了。
做图形学吧，从2D扫描几何图形做起（说的大概就是，给你一堆几何图形，然后你通过描点的方法把他们画出来），保证数学成绩突飞猛涨的同时，你的编程水平也在迅速提高。搞定了这个之后，去做三维的，你就会看是对微积分感兴趣了，连大学的东西也搞定了。
1.课堂上认真听讲，其实也不要太认真，那种活跃，轻松的心态最好（眼，手，脑，耳同步跟进）。&br&2.重视基础和细节（作业，课本尤其是课本上面的题，错一两道选择题数学的分数貌似就不在一个层面上了，这一点本渣很有体会），勤奋（自己的题自己做，做题在于少而精，做解答题时要先想，本渣之前有个不好的习惯就是一遇到难题立马看答案，觉得把答案的思路看懂我就会了，再然后我就悔了）。&br&3.做完题后归纳总结（知识点及做题过程中发现的技巧和经验，比如：步骤，思路，辅助线添加方法，小公式，小定理，基本图形）。&br&4.乐于助人（给别人讲一题你就会发现那道题你的思路会很明确，记忆深刻，另外给别人讲题的那个成就感爆棚啊）。&br&5.重视做题，本渣就是一个不爱做题，只爱看看的人，现在以血的教训相告，做题太重要了，但不要太多，达到一定量就行，做题可以纠正自己对知识点的错误理解。&br&6.数学是个最打击人的学科，能否在数学学科树立信心很重要。你会对数学保持狂热的战斗热情吗？你会在全班同学面前讲出你的方法吗？你敢在讲台前讲题么？你会因为自己做出了难题而盼望数学课早点到来去秀智商么？
1.课堂上认真听讲，其实也不要太认真，那种活跃，轻松的心态最好（眼，手，脑，耳同步跟进）。 2.重视基础和细节（作业，课本尤其是课本上面的题，错一两道选择题数学的分数貌似就不在一个层面上了，这一点本渣很有体会），勤奋（自己的题自己做，做题在于…
&img src=&/f965bde3dbbbd_b.png& data-rawwidth=&819& data-rawheight=&408& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&/f965bde3dbbbd_r.png&&&br&&img src=&/699cfee4a98a6b2a0af9_b.png& data-rawwidth=&873& data-rawheight=&537& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&873& data-original=&/699cfee4a98a6b2a0af9_r.png&&&br&内部平行四边形面积 = 底 * 高 ≈ 0.12 * 8.54 ≈ 1&br&或者 = 边 * 边 * sinα ≈ 5.39 * 8.54 * sin1.25° ≈ 1
内部平行四边形面积 = 底 * 高 ≈ 0.12 * 8.54 ≈ 1 或者 = 边 * 边 * sinα ≈ 5.39 * 8.54 * sin1.25° ≈ 1
不知道题主想要什么样子的回答。&br&先直接回答题主的问题&br&&img src=&/da4bea4cdc7118bde1fd3f81_b.jpg& data-rawwidth=&338& data-rawheight=&149& class=&content_image& width=&338&&然后再来点高大上的补充说明：&br&实际上你不能证明三角形的内角合是180度，因为这个证明实际上等价与证明欧式几何中的平行线假设——“两条平行线永远不会相交”，也就是说，我们默认认为某些事情是正确的，是不用证明的，然后在这个基础上构建了几何学，而其中有一件事就是“三角形内角合是180度”。&br&我们是可以改变这个根基的，在这种情况下出现了两种几何理论，这被称为“非欧几何”，比如球面上的三角形的内角合取决于这个三角形有多大，通常大于180度，甚至能让三角形的内角合是270度。
不知道题主想要什么样子的回答。 先直接回答题主的问题 然后再来点高大上的补充说明： 实际上你不能证明三角形的内角合是180度，因为这个证明实际上等价与证明欧式几何中的平行线假设——“两条平行线永远不会相交”，也就是说，我们默认认为某些事情是正确…
同余做&br&&br&只考虑三边互质的情况&br&&br&平方数模3后是0或1&br&&br&所以三边模3肯定是0，1，1的情况&br&&br&所以直角三角形俩直角边必有一条能被3整除&br&&br&边长模4，平方后模8，情况类似我就不讨论了，反正有一条能被4整除…&br&&br&所以两条边一乘肯定能被12整除&br&&br&再除个2也就能被6整除咯…
同余做 只考虑三边互质的情况 平方数模3后是0或1 所以三边模3肯定是0，1，1的情况 所以直角三角形俩直角边必有一条能被3整除 边长模4，平方后模8，情况类似我就不讨论了，反正有一条能被4整除… 所以两条边一乘肯定能被12整除 再除个2也就能被6整除咯…
不知道题主是什么专业，不过从毕业到成为一个站上讲台的老师能力上的提高并不困难，反而是如何跨过学生到老师，学习者到传授者，只对自己负责到为学生负责，这种思想观念习惯上的转变更困难一些，不过可以慢慢来。&br&具体的来说：&br&&b&一、了解初中的知识体系。买一套课内的教材&/b&（人大版、北师大版均可），了解现在初中都学些什么东西，虽然都是学过的，但教改总是不断变化。更重要的是了解各个年级各个学期的学习内容，新老师往往会因不了解孩子的学习进度讲解不适合的内容。另外&b&找一些中考题&/b&（最好是本市内、然后是其它重点中学中考题）认真做几套，基本做几套就可以了解中考的出题模式和难度，虽然我们追求素质教育，但中考是学生和家长都不能回避的，作为老师对这个部分一定要很熟。&br&&b&二、练习粉笔字、板书（电教设备、多媒体）&/b&。总之熟悉教师会用到各种工具，这里一定要真正的实践，理论再好也没有真的拿上粉笔练一下午来的有效。并且板书是慢功夫，需要长时间的练习，并在教学中不断改进，如果题主以后要做老师，可以开始练了。&br&&b&三、了解初中学生的生理心理特点、学习习惯等。可以看一些教育学、心理学方面的书&/b&，但最好的办法是&b&多和初中学生接触&/b&，找找亲戚朋友中有没有孩子正好上初中，找他们聊天，随便聊，对他们的心理特点掌握的越多越好。如果&b&有条件去听课&/b&，看看孩子在真实的课堂中是如何表现的，如果能各个年级都听课，好好观察一下不同年级学生的特点，以后自己上课心里就有底了。&br&&b&四、授课技能的提升。&/b&各个学校一般会对新老师进行教师培训，认真参加并完成培训中的各个环节，了解引入、铺垫、讲授、总结、拓展各个部分如何处理，了解课程的各个流程，还是多听课，多练习，自己多试讲，请有经验的老师评课，有机会就去真正的课堂实践，很快就可以自己站上讲台了。&br&&b&总的来说，多了解、多沟通，多练习，多听课，多与其它的老师交流和讨论，多向有经验的老师请教和学习，从毕业到站上讲台并不难，加油！&/b&
不知道题主是什么专业，不过从毕业到成为一个站上讲台的老师能力上的提高并不困难，反而是如何跨过学生到老师，学习者到传授者，只对自己负责到为学生负责，这种思想观念习惯上的转变更困难一些，不过可以慢慢来。 具体的来说： 一、了解初中的知识体系。买…
首先，我定义一下我心中的优秀教师:就是可以让你的学生学得轻松又能得高分的老师。&br&不要跟我说从数学史的角度提高课堂趣味性从而激发学生学习兴趣。学生对数学没兴趣百分之九十九都是因为数学题不会做，经历了太多的失败与打击。就像你喜欢打篮球，但是如果把你扔到NBA，每天面对詹姆斯杜兰特，每次你上场都只能被狂虐，你还喜欢篮球吗？&br&&br&作为一个初中数学老师，那么做套中考题先，如果得分到不了145+，那你还是先去做题去吧。解题能力是一个老师优秀的基石。(很遗憾至少一半的老师这一关都没过)&br&&br&假定你可以145+，那么你会讲题吗？思路清晰让学生能听懂只是第一步，你能讲清楚为什么要用这个思路吗？你能从题目中的任何一个知识点展开旁征博引举一反三吗？你从学生的一套试卷中分析出他失分的最根本原因吗？你能在一堂上适时地讲几个跟知识点有关的笑话调节气氛吗？&br&&br&假定以上你也能做到，那你能准确把握月考期末号中考考点吗？你知道中考数学四川卷和重庆卷的细微差别吗？你有能力用一个小时讲完像《二元一次方程组》这样的一个章节的内容并保证学生完全听懂吗？你知道如何把各种心理学规律信手拈来，应用在上课、练习的每一个细节当中吗？&br&&br&如果以上你都能做到，你必然是一个优秀教师。只是，做到这些，从你入行开始算，至少要十年。绝大部分老师，包括那些超级中学的特级教师，一辈子也没做到。敝人不才，入行八年，极其好学、极其努力，目前也只敢说做到七八成。&br&&br&据我所知，全国能做到以上这些的有(当然不止这些人):教数学的孙维刚、王金战，教GRE的俞敏洪，教SAT的管卫东。如果你想入行，可以参考他们的教学视频和资料，这是你努力的标杆。&br&&br&如果你想成为优秀的数学老师，请向以上大牛看齐。&br&&br&最后说一句题外话，俞敏洪当年为了教GRE词汇，背熟了整本朗文英汉词典，总共差不多十万词汇，据说每天不背完500个不吃饭。500个是什么概念，初中三年考纲要求才2000单词。！&br&初中数学各种类型的题目也有几万道了吧，想教好数学，把这几万道题全部会做了先！
首先，我定义一下我心中的优秀教师:就是可以让你的学生学得轻松又能得高分的老师。 不要跟我说从数学史的角度提高课堂趣味性从而激发学生学习兴趣。学生对数学没兴趣百分之九十九都是因为数学题不会做，经历了太多的失败与打击。就像你喜欢打篮球，但是如果…
以前高中时似乎见过这么一个问题：&br&&br&给定正实数&img src=&///equation?tex=a%2C+b& alt=&a, b& eeimg=&1&&。定义&img src=&///equation?tex=a_0%3Da%2C+b_0%3Db%2C+a_%7Bi%2B1%7D%3D%28a_i%2Bb_i%29%2F2%2C+b_%7Bi%2B1%7D%3D%5Csqrt%7Ba_ib_i%7D& alt=&a_0=a, b_0=b, a_{i+1}=(a_i+b_i)/2, b_{i+1}=\sqrt{a_ib_i}& eeimg=&1&&&br&&br&那么&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_n%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Db_n%3DM%28a%2Cb%29& alt=&\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=M(a,b)& eeimg=&1&&&br&&br&这是高斯号的发现(&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/AGM_method& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&AGM method&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)。这算是高斯对椭圆积分，二阶线性微分方程和超几何函数研究的开始吧。&br&&br&P.S. 如果将&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&换成复数，开方变为多值函数，似乎会引向高斯对模函数的研究……
以前高中时似乎见过这么一个问题： 给定正实数a, b。定义a_0=a, b_0=b, a_{i+1}=(a_i+b_i)/2, b_{i+1}=\sqrt{a_ib_i} 那么\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=M(a,b) 这是高斯号的发现()。这算是高斯对椭圆积…
&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&三种学习境界
一、第一层为苦学
提起学习就讲&头悬梁、锥刺股&，&刻苦、刻苦、再刻苦&。处于这种层次的同学，觉得学习枯燥无味，对他们来说学习是一种被迫行为，体会不到学习中的乐趣。长期下去，对学习必然产生了一种恐惧感，从而滋生了厌学的情绪，结果，在他们那里，学习变成了一种苦差事。
二、第二层为好学
所谓&知之者不如好之者&，达到这种境界的同学，学习兴趣对学习起到重大的推动作用。对学习的如饥似渴，常常注到废寝忘食的地步。他们的学习不需要别人的逼迫，自觉的态度常使他们能取得好的成绩，而好的成绩又使他们对学习产生更浓的兴趣，形成学习中的良性循环。
三、第三层为会学
学习本身也是一门学问，有科学的方法，有需要遵循的规律。按照正确的方法学习，学习效率就高，学的轻松，思维也变的灵活流畅，能够很好地驾御知识。真正成为知识的主人。
目前，中学生的学习中，第一层居多，第二层为少数，第三层次更少。我们应当明确，学习的一个重要目标就是要学会学习，这也是现代社会发展的要求。21世纪中的文盲将是那些不会学习的人。所以，同学们在学习中应追求更高的学习境界，使学习成为一件愉快的事，在轻轻松松中学好各门功课。
三种学习习惯
学习成绩的好坏，往往取决于是否有良好的学习习惯，特别是思考习惯。
一、总是站在系统的高度把握知识
很多同学在学习中习惯于跟着老师一节一节的走，一章一章的学，不太对意章节与学科整体系统之间的关系，只见树木，不见森林。随着时间推移，所学知识不断增加，就会感到内容繁杂、头绪不清，记忆负担加重。事实上，任何一门学科都有自身的知识结构系统，学习一门学科前首先应了解这一系统，从整体上把握知识，学习每一部分内容都要弄清其在整体系统中的位置，这样做往往使所学知识更容易把握。
二、追根溯源，寻求事物之间的内在联系
学习最忌死记硬背，特别是理科学习，更重要的是弄清楚道理，所以不论学习什么内容，都要问为什么，这样学到的知识似有源上水，有木之本。即使你所提的问题超出了中学知识范围，甚至老师也回答不出来，但这并不要紧，要紧的是对什么事都要有求知欲，好奇心，这往往是培养我们学习兴趣的重要途径，更重要的是养成这种思考习惯，有利于思维品质的训练。
三、发散思维，养成联想的思维习惯
在学习中我们应经常注意新旧知识之间、学科之间、所学内容与生活实际等方面的联系，不要孤立的对待知识，养成多角度地去思考问题的习惯，有意识地去训练思维的流畅性、灵活性及独创性，长期下去，必然会促进智力素质的发展。知识的学习主要通过思维活动来实现的，学习的核心就是思维的核心，知识的掌握固然重要，但更重要的是通过知识的学习提高智力素质，智力素质提高了，知识的学习会变得容易。所以上面讲的学习的三个学习习惯实质上是三种思维习惯。学习的重点就是学会如何思考。
三个学习要点
关于学习的方法可以谈很多，但重要的应注意以下三点：
一、多读书，注意基础
要想学习好，基础知识的掌握尤为重要，而基础知识就是指课本知识，这一点同学们一定清楚。但在学习中，很多同学却不重视课本的阅读理解，只愿意去多做一些题，因为考试就是做题。实际上这是一种本末倒置的做法，应当说，课本与习题这两方面都很重要，互相不能替代，但课本知识是本，做题的目的之一是能更好地掌握知识。所以我们主张多读书少做题，不主张多做题少读书。
二、多思考、注重理解
&学而不思则罔&，思考是学习的灵魂。在学习中，知识固然重要，但更重要的是驾御知识的头脑。如果一个人不会思考，他只能做知识的奴隶，知识再多也无用，而且也不可能真正学到好知识。知识的学习重在理解，而理解只能通过思考才能实现，思考的源泉是问题，在学习中应注意不要轻易放过任何问题，有了问题不要急于问人，应力求独力思考，自己动手动脑去寻找问题的正确答案，这样做才有利于思考能力的提高。
三、多重复，温故而知新
《论语》开篇第一句；&学而时习之&道尽学宗，不断的重复显然是学习中很重要的一个方面。当然，这种重复不能是机械的重复，也不只是简单的重复记忆。我们主张每次重复应有不同的角度，不同的重点，不同的目的，这样每次重复才会有不同的感觉和体会，一次比一次获得更深的认识。知识的学习与能力的提高就是在这种不断的重复中得到升华，所谓温故而知新也。
三种学习精神
一、不唯书
古人云：&尽信书，不如无书。&在我们的学习中，教科书是我们学习的重要材料，学好课本基础知识是毫无疑问的。但是，这里应当明确两个问题；一、科学总是发展着的知识体系，我们所学的知识和方法不可能都是毫无缺陷的。这就需要我们多动脑筋，在思考的基础上敢于怀疑，大胆探索，提出我们自己的观点和看法。二、人们对事物的认识过程总是多次反复才能完成的。也许我们的怀疑是错误的，我们提出的观点和见解是不正确的，但正是从这种错误与正确的交锋中才能获得正确的认识。一味死记硬背，即便把课本背熟了，也难以灵活运用。所以，我们提倡不唯书，并不是为了否定书，而是为了培养一种创新精神。
二、不唯师
在中学生的学习中，很多同学上课时只会认真听讲；把老师的板书一字不差地抄录下来，课后进行消化吸收，但却很少能发现问题、提出问题，老师讲什么是什么，教什么把什么，把自己变成了一个&知识容器&。瑞士著名的教育心理学家皮亚杰曾说过；&教育的主要目的是培养能创新的而不是简单重复前人已做过的事的人。&所以，我们主张同学要多与老师交流，当对老师讲的有疑问或有不同看法时，要敢于坚持自己的观点，敢于向老师质疑，甚至与老师争论，在争论中我们失去的只是错误，而得到的除了正确的认识外，更重要的是智力的发展，还有勇气和信心的提高，最终有&青出于蓝而胜于蓝&的必然。
三、不唯一
对于一个知识的理解，可以从不同的角度去认识；对于一道题的求解，可以有不同方法；对于一个实际问题，可以从不同学科去分析解决。世界本身就是一个多样化的世界，我们学习的目的决不是为了追求唯一的答案。所以，我们在学习中必须具备这种&不唯一&的意识和精神，尽可能寻求更多解决问题的途径，养成多方面、多角度认识问题的习惯，训练思维的灵活性和变通性。
三条学习原则
学习的具体方法，往往因人而异，不同的人有不同的学习特点，完全可以根据自己的实际情况采取不同的措施。但也需要我们严格遵守一些共同的原则，它们是取得好成绩的重要保证。
一、自觉性原则
自觉性要求中学生能够自觉地安排自己每天的学习活动，自觉地完成各项学习任务。我们应当明确，当学习是一种自觉的行为时才更有效，特别是中学生的学习，主要依靠自觉来完成。如果把学习变成一种被别人压迫的行为，学习的动力就会减弱，久而久之就会产生厌倦感，失去学习兴趣，学习效果可想而知。所以，对于那些学业不佳的同学应首先检查自己的学习自觉性如何，一切属于自己的事，必须自觉地去做，这是做好一切事情的前提。
二、主动性原则
主动性要求中学生的学习有热情，主动获取知识，不等待，不依靠，不耻下问。做任何事情，积极主动是取得成功的必要条件，学习也不例外。很多同学在学习中恰恰缺乏这一点，不懂的问题宁肯烂在肚子里，也不愿开口问一下别人。老师讲什么，就学什么，不越&雷池&半步，很少主动与老师、同学交流，有的同学甚至一年也不会问老师一个问题。这些同学决不是一个问题也没有，而是缺乏学习的主动性和积极性，而这种被动的学习状态是十分有害的，必须改变。
三、独立性原则
独立性要求中学生做事有主见，不轻信，不盲从，不人云亦云，能独立完成学习任务，不轻易受群体因素的影响。很多优秀的学生往往具备这样的特征。当别的同学总愿让老师反复讲解时，他们却更愿意独立思考，依靠自己独立的智慧去努力获取知识。正是他们这种学习的独立性，造就了他们的出类拔萃。我们认为，如果在学习中没有独立性，就没有创造性，就不可能取得最佳的学习效果。
三种学习技能
一、学会快速阅读
直接从书中获取知识是一条重要的途径，即使是教科书中的知识，也不能纯粹依靠老师的讲解来学习。一个掌握阅读技能的学生，能够更迅速、更顺利地掌握知识，学的更主动，更轻松。在实际学习中，许多同学习惯于上课听讲，下课做作业，即使是教科书也不甚阅读，更不用说大量阅读课外书籍。长期下去造成的结果是不会读书，没有形成熟练的阅读技能，对学习的发展造成严重阻碍，这可能是很多同学在学业上落伍的一个重要原因。我们讲的阅读技能并不是指能简单的读，而是指在阅读的同时能思考，在思考的同时能阅读的能力，是指能够根据不同书籍的模式迅速分清主次、把握书中内容的一种技能。这就要求同学必须多读书，注意了解不同书籍的特点和阅读技巧，加强读思结合，并且有意识地加快阅读速度，逐渐形成快速阅读技能。
二、学会快速书写
中学阶段课业负担比较重，如果没有掌握快速书写的技能，这种负担会更加沉重。比如课堂上跟不上老师的速度记录笔记，课后完成作业用时过多，考试因书写太慢而答不完试卷等，这些现象都与书写技能有关。可以说书写技能是我们借以掌握知识的工具，这种工具所处的状态将决定我们能否有效而合理地使用时间。那些书写速度慢的同学对此应引起足够的注意，自觉地加强这方面的训练，尽快掌握这一技能。当然，快速书写的同时还要保证字迹的清楚与规范。
三、学会做笔记
做笔记是一种与动手相结合的学习行为，有助于对知识的理解和记忆，是一种必须掌握的技能。中学生的学习笔记主要有课堂笔记、读书笔记和复习笔记等，课堂笔记应注意结合教材进行记录，不能全抄全录老师的板书。读书笔记应注意做好圈点勾批，所谓&不动笔墨不读书&。复习笔记应注意做好知识的归纳整理，理清知识结构和联系。还需要指出的是，不论哪种笔记都要做好疑难问题的记录，便于集中处理。
三种学习能力
一、独立探求知识的能力
这种能力也可以叫自学能力，在外界条件完全相同的情况下，不同的学生所取得的学习成绩是不同的，这有多方面的原因，但其中自学能力不同是一个重要原因。那些优秀的同学往往具有较强的自学能力，他们不仅仅满足在老师指导下的学习，更注重独立探求知识。他们注重对书本的自学理解，遇到问题，并不急于求教，而是首先通过独立思考来解决，他们总是根据自己的实际情况来安排学习，表现出较强的独立性和自主性。我们认为，在一个人所学到的知识中，独立探求的比例越大，那么知识掌握的就越好，而且能更好地促进他的进一步发展。所以，同学们在学习中应加强自学精神和独立意识。
二、与他人合作的能力
人类的认识活动总是在一定的社会环境中完成的，所以我们在主张独立探求知识的同时，还需要加强与他人的合作学习，通过合作学习，更加全面、更加深刻地理解知识。老师讲，学生听，只是一种单向传递，知识的掌握需要双向、多向交流，所以，我们不仅要主动与老师多交流，而且要与同学进行积极的讨论。学会认真听取别人的意见，互相协作解决问题，也是善于同别人打交道的一种社交能力。一位哲学家曾说过：&我有一个苹果，你有一个苹果，交换以后，我们还是拥有一个苹果。但是，我有一种思想，你有一种思想，交换以后，我们就会拥有两种思想。&
三、流畅的表达能力
一些同学认为，好象只有文科要求有较好的写作表达能力，实际上理科所要求的解答过程也是一种表达能力。我们这里所说的表达能力不仅包括文字表达，还包括口头表达。在很多学习活动中，善于演讲，能够准确、自如地表达自己的思想是一种重要的学习能力。语言是与人交流的工具，也是思维能力的表现，不注意表达能力的训练，不仅影响与他人的交往，而且会影响思维的发展，进而影响学习。所以，同学们应有意识地加强表达能力的自我训练。
四种思维品质
通俗地讲，人们在工作、学习、生活中每逢遇到问题，总要&想一想&，这种&想&，就是思维。它是通过分析、综合、概括、抽象、比较、具体化和系统化等一系列过程，对感性材料进行加工并转化为理性认识及解决问题的。我们常说的概念、判断和推理是思维的基本形式。无论是学生的学习活动，还是人类的一切发明创造活动，都离不开思维，思维能力是学习能力的核心，培育高品质的思维是我们最重要的学习任务之一。
一、敏捷性
是指思维活动的反应速度和熟练程度，表现为思考问题时的快速灵活，善于迅速和准确地做出决定、解决问题。培养思维的敏捷性应注意：l、熟练掌握基础知识和基本技能，熟能生巧。2、课堂听讲超前思维，抢在老师讲解之前进行思考，把课堂接受知识的过程变成思维训练的活动。3、定时作业，有意识地限定时间完成学习任务。
二、深刻性
是指思维活动的抽象和逻辑推理水平，表现为能深刻理解概念，分析问题周密，善于抓住事物的本质和规律。培养思维的深刻性应注意；l、追根究底，凡事都要去问为什么，坚决摈弃死记硬背。2、积极开展问题研究，按写小论文，养成深钻细研的习惯。
三、整体性
指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。考虑问题，总是从整体出发，能够很好地处理整体与局部关系。培养思维的整体性应注意：l、站在系统的高度学习知识，注重知识的整体结构，经常进行知识总结。2．寻找新旧知识的联系与区别，挖掘共性，分离个性，在比较中学习新知识。3、注重知识的纵横联系，在融会贯道中提炼知识，领悟其关键、核心和本质。
四、创造性
指思维活动的创造意识和创新精神，不墨守成规，奇异、求变，表现为创造性地提出问题和创造性地解决问题。培养思维的创造性应注意：l、加强学习的独立性，保持应有的好奇心。2．增强问题意识，在课堂听讲和读书学习中，注意发现问题，提出问题。3、注重思维的发散，在解题练习中进行多解、多变。
四位良师益友
在我们的学习中，除了代课教师，个少还有三位特殊的&老师&，它们的作用和老师一样重要，也是我们学习中的良师益友。
在实际学习中，不少同学总认为自己比别人笨，小相信自己的能力。他们不敢碰难题，即便做出答案也总怀疑不正确，更不敢向学习好的同学挑战。这种自信缺乏，严重地阻碍了学习的进步。如果说每个人都有巨大的潜能，那么，自信就是开发巨大潜能的金钥匙。不管什么时候，我们都要认识到，人与人之间虽然存在着差异，但每个人可供开发的潜力所能达到的高度是不可限量的。只要自己敢想、敢做，永不服输，就一定能不可阻挡地走向成功。自信是学习中的第一位老师。
课本是我们学习中的第二位老师。课本知识是最基本的知识，它随时伴随在我们身边，每有问题，我们首先想到的应当是查阅课本。不仅如此，课本还起着训练同学自学能力的作用，那些平时不重视阅读课本，只把课本当做课后练习的习题本的同学是很难学好知识的。
&三人行，必有我师焉。&同学是我们学习中的第三位老师。学习不仅需要学生与教师之间的双向传递，更需要同学之间的多向交流，同学之间的协作更方便。通过同学之间的讨论、争辩，有助于开拓思路，激发思维，互相促进。
我们的任课教师是我们学习中的第四位老师。这并不是轻视教师的作用，只是指教师没有课本和同学更易接近、更方便。教师的重要作用在于对知识的关键进行点拨，是学生学习的外围推动力，因此，上课时认真听讲就显得尤为重要。
中学生学习方法杂谈
&面向现代化，面向世界，面向未来&，是整个教育工作的根本指针，也是时代发展的客观要求。信息量激增，知识迅速发展，是当今知识世界的显著特色。看未来，看发展，方法比单纯的知识更重要。许多教育专家认为，将来的&文盲&，不再是目不识丁的人，而是一些没有学会如何获取知识，不会自己钻研问题，没有预见力的人。这就要求学生不仅要掌握知识，更重要的是必须学会如何学习。科学的方法是点金术，是通向成功的桥梁。尤其是在知识更新日益加速的今天，掌握科学的学习方法，具备独立获取知识的能力显得特别重要。一个只能被动学习，不会主动探求知识的学生，在他们日后的工作、学习中必将遇到许多麻烦，甚至完全无法适应周围的环境。只有既学到了知识，又掌握了科学的学习方法，才能适应社会的飞速发展，并能为社会做出创造性的贡献。
学习必须循序渐进。学习任何知识，必须注重基本训练，要一步一个脚印，由易到难，扎扎实实地练好基本功，切忌好高鹜远，前面的内容没有学懂，就急着去学习后面的知识；基本的习题没有做好，就一味去钻偏题、难题。这是十分有害的。
学习必须勤于思考。中学是一个重要的学习阶段。在这个期间要注意培养独立思考的能力。要防止那种死记硬背，不求甚解的倾向。学习中要多问几个为什么。一个问题可以从几个不同的方面去思考，做到举一反三，融会贯通。
学习必须一丝不苟。学习切忌似懂非懂。例如，习题做错了，这是常有的事，重要的是能自己发现错误并改正它。要在初中乃至小学学习阶段就要培养这种本领。这就要求我们对解题中的每一步推导能说出正确的理由，每一步都要有根据，不能想当然，马马虎虎。
学习必须善于总结。学完一章，要做个小结；学完一本书。要做个总结。总结很重要，不同的学科总结方法不尽相同。常做总结可帮助你进一步理解所学的知识，形成较完整的知识框架。
学习必须持之以恒。俗话说&水滴石穿&、&一口吃不成胖子&。因此，最好制定一个学习计划，常常自我监督，严格要求，每天或分阶段自己或让父母检查，是否完成了学习计划，为什么没有完成，怎样补救等等。总之，学习不能只凭热情，三日打鱼，两日晒网是做不成大事的。
学习方法，要因人而异、因学科而异，正如医生用药，不能千人一方。同学们应当从实际出发，根据自己的情况，发挥特长，摸索适合自己特点的有效方法。
什么是最好的学习方法？这要根据不同的学生，不同的任课老师等具体情况来选取。一般说来，好的学习方法，应该符合以下三个条件：符合认识规律的科学方法；符合自己个性特点的方法；符合不同学习内容和不同教师授课特点的方法。学生在选取适合自己的学习方法时，可以从下列几个方面摸索与总结：不同学科的学习程序(要不要预习，先做作业后复习，还是边做作业边复习，要具体问题具体对待)、预习方法、听课方法、复习方法、做作业和自我测试的方法、改错的方法和单元总结的方法等等。
学习方法五原则
学习方法因人而异，但正确的学习方法应该遵循以下几个原则：循序渐进、熟读精思、自求自得、博约结合、知行统一。
1.&循序渐进&——就是人们按照学科的知识体系和自身的智能条件，系统而有步骤地进行学习。它要求人们应注重基础，切忌好高骛远，急于求成。循序渐进的原则体现为：一要打好基础。二要由易到难。三要量力而行。
2.&熟读精思&——就是要根据记忆和理解的辩证关系，把记忆与理解紧密结合起来，两者不可偏废。我们知道记忆与理解是密切联系、相辅相成的。一方面，只有在记忆的基础上进行理解，理解才能透彻；另一方面，只有在理解的参与下进行记忆，记忆才会牢固，&熟读&，要做到&三到&：心到、眼到、口到。&精思&，要善于提出问题和解决问题，用&自我诘难法&和&众说诘难法&去质疑问难。
3.&自求自得&——就是要充分发挥学习的主动性和积极性，尽可能挖掘自我内在的学习潜力，培养和提高自学能力。自求自得的原则要求不要为读书而读书，应当把所学的知识加以消化吸收，变成自己的东西。
4.&博约结合&——就是要根据广搏和精研的辩证关系，把广博和精研结合起来，众所周知，博与约的关系是在博的基础上去约，在约的指导下去博，博约结合，相互促进。坚持博约结合，一是要广泛阅读。二是精读。
5.&知行统一&——就是要根据认识与实践的辩证关系，把学习和实践结合起来，切忌学而不用。&知者行之始，行者知之成&，以知为指导的行才能行之有效，脱离知的行则是盲动。同样，以行验证的知才是真知灼见，脱离行的知则是空知。因此，知行统一要注重实践：一是要善于在实践中学习，边实践、边学习、边积累。二是躬行实践，即把学习得来的知识，用在实际工作中，解决实际问题。
如何在学习上占第一
学习上占第一，每个同学都可以做到。之所以你占不了第一，主要有两个原因：第一、生活方式、学习方法不正确，第二、没有坚强的毅力。在这里面毅力是第一重要的，学习方法是第二重要的。在现实生活中，全中国仍有70％以上的占第一的学生虽然占了第一，但他们并不是毅力最强的，或者说学习方法生活方式不是最好的。他们也许今天是第一，明天就不是了。也就是说，你如果按占第一的方法去学习、去锻炼，一般都会超过现有的第一。
辉煌的第一是不是要经过艰苦的努力才能得到呢？说它艰苦是因为&培养坚强的毅力&是世上最艰苦的工作，只有你具有了坚强的毅力才可能成为第一，当然正确的生活方式和学习方法也是特别重要的。在这里什么是坚强的毅力呢，只要你能按下面几点要求去做，而且每天都做记录，持之以恒，每天都不间断地坚持一个学期、一年、三年，那么你的毅力就足以达到占第一的要求了。在这项锻炼中就怕你中间有间断，风雨、心情、疾病、家务等等都不是你中断锻炼的理由。你要记住，学好学业是你学生生活中最重要的，没有什么工作的重要性会超过它。除了坚强的毅力，正确的学习方法和生活方式也是很重要的。
第一人人可以占，原来占第一的同学也不一定就比你更聪明多少，脑细胞也不一定比你多。爱迪生不是说过&天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的灵感&吗？！所以你第一要过心理关，就是说：要坚信你一定能成功，一定会超过现有的第一，包括现在是第一的你自已。
第二、你要天天锻炼。没有一个健康的身体，你什么事也做不好，即使偶尔做好了，也不能长久。每天30分钟左右的锻炼一定要天天坚持。锻炼的形式多种多样，跑步、打乒乓球、打篮球、俯卧撑、立定跳远等等都可以。有些同学好面子，见到别人不跑步，怕自已跑别人看见了不好意思，那就错了，真正不好意思的是辛苦了几年考不上大学，是上了几年大学还要下岗。如果将来自已养活不了自已，那才是真正不好意思的。
第三、学习态度要端正。每次上课前，一定要把老师准备讲的内容预习好，把不好理解的、不会的内容做好标记，在老师讲到该处时认真听讲。如果老师讲了以后还不会，一定要再问老师，直到明白为止。当一个问题问了两遍三遍还不会时，一般的同学就不好意思问了，千万别这样，老师们最喜欢&不问明白誓不罢休&的性格了。上课时要认真听讲，认真思考，做好笔记。做笔记时一定要清楚，因为笔记的价值比课本还，将来的复习主要靠它。
课下首先要做的不是做作业，而是把笔记、课本上的知识点先学好，该记的内容一定把它背熟。这样会大大提高你做作业的速度，即平常说的&磨刀不误砍柴功&。做作业时应该独立思考，实在不能解决的问题，再和同学、老师商量。问同学时，不要问这道题结果是什么，而是要问&这道题究竟怎么做？&&这道题为什么这样做？&
第四、正确面对错误和失败。当有的知识你没有在课上学会、当你的练习做错时或者在考试中成绩太差时，你既不要报怨，也不要气馁，你应该正视这自已不愿得到的现实。没有学会不要紧，把该知识写到你的《备忘录》中，然后问同学问老师，再把正确的解释或结果，写到其它页上。错了题也是这样，考试失利不就是错的题多点吗，正确的方法是把原题抄到《备忘录》中，把正确的做法学会后，把做法和结果写到其它页上，如果能注上做该类题的注意事项，就会把你的学习效率又提高30％－60％。之所以把答案或解释写到其它页上，就是为了下次看知识点或错误的题目时，再动动脑筋，想想该知识点的理解和解释情况，再练练该题的做法和答案。错误和失败并不可怕，只要你能正视它，一切都会成为你成功的动力。
第五、记帐。你的学习一定要有一本帐，你什么时候做得好，记下来，什么时候错了题，记下来(注：帐本上只记&今天错题为《备忘录》××页×题)。课下几点几分学了英语，记录好；几点几分至几点几分学了物理记下来。把你生活中锻炼、学习的分分秒秒记录在你的帐本上，把你每次作业和考试中的正确题数、错误题数和错误题号(《备忘录》上的页号题号)一一记录在你的帐本上。把你每天学会的知识点都记录在帐本上，以备明天、后天再检查一下自已是否真正掌握了这些知识点。在帐本上过去了几天的知识点，你一定要学会并能熟练掌握。
帐本记录的是你学习、锻炼中每一个细节。这样记下来，在校生活中，每天约有一页32开纸的记录量，不在校时可能有两页32纸的记录量。
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三种学习境界
一、第一层为苦学
提起学习就讲"头悬梁、锥刺股"，"刻苦、刻苦、再刻苦"。处于这种层次的同学，觉得学习枯燥无味，对他们来说学习是一种被迫行为，体会不到学习中的乐趣。长期下去，对学习必然产生了一种恐惧感，从而滋生了厌学的情绪，结…
&a data-hash=&f3f49bbb888dfa14d647& href=&///people/f3f49bbb888dfa14d647& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@小明& data-hovercard=&p$b$f3f49bbb888dfa14d647&&@小明&/a&的答案可以作为证明的后半部分，但「所有勾股数都能表示成m?+n?, m?-n?, 2mn」仍需证明。更重要的是，这个形式看起来又是「神来之笔」，并没有解释是怎么想出来的。&br&&br&下面我就从思路入手，一方面讲一下这个形式是怎么想出来的，另一方面把证明过程补充完整。&br&&br&设三角形的三边满足&img src=&///equation?tex=a%5E2%2Bb%5E2+%3D+c%5E2& alt=&a^2+b^2 = c^2& eeimg=&1&&，我们要证明的是&img src=&///equation?tex=S%3Dab%2F2& alt=&S=ab/2& eeimg=&1&&能被6整除。&br&&br&&img src=&///equation?tex=a%5E2%2Bb%5E2+%3D+c%5E2& alt=&a^2+b^2 = c^2& eeimg=&1&&就是唯一的条件了！怎么办呢？先胡乱变变形呗：&img src=&///equation?tex=a%5E2+%3D+%28c%2Bb%29%28c-b%29& alt=&a^2 = (c+b)(c-b)& eeimg=&1&&。&br&&br&这时我们看到，左边是个平方数，右边是它的两个因子。&br&平方数的质因数都是成对的。这些成对的质因数，会怎样分配到右边两项里去呢？是每项各一个，还是只能成对地分给某一项？&br&这时候我们想到，如果&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&有公因子，那么这个因子应该是右边两项各分得一个的。但是&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&有公因子的情况不本质，总可以归约到它们没有公因子的情况。所以我们不妨设&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&没有公因子。&br&&br&那么现在&img src=&///equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&&的各个质因数，应该只能成对地分配到右边了吧？对于除了2以外的质因数，确实是这样的，因为如果&img src=&///equation?tex=c%2Bb& alt=&c+b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c-b& alt=&c-b& eeimg=&1&&都有某个质因数&img src=&///equation?tex=p%5C%2C%28p%3E2%29& alt=&p\,(p&2)& eeimg=&1&&，那么&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&就也都能被&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&整除，而&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&也有因子&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&，这就跟「不妨设」矛盾了。但是，若&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&有质因数2，则这个2可能分给&img src=&///equation?tex=c%2Bb& alt=&c+b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c-b& alt=&c-b& eeimg=&1&&各一个。&br&&br&能不能避免这种情况？能！既然&img src=&///equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&没有公因子，那么&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&当中必然有一个奇数，让&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&是那个奇数就好了嘛！&br&&br&于是，&img src=&///equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&&的各个质因数就只能成对地分给&img src=&///equation?tex=c%2Bb& alt=&c+b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c-b& alt=&c-b& eeimg=&1&&，于是&img src=&///equation?tex=c%2Bb& alt=&c+b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c-b& alt=&c-b& eeimg=&1&&就都是平方数。设&img src=&///equation?tex=c%2Bb+%3D+m%5E2& alt=&c+b = m^2& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=c-b+%3D+n%5E2& alt=&c-b = n^2& eeimg=&1&&，于是有&img src=&///equation?tex=a+%3D+mn& alt=&a = mn& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=b+%3D+%28m%5E2-n%5E2%29%2F2& alt=&b = (m^2-n^2)/2& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=S+%3D+ab%2F2+%3D+mn%28m%2Bn%29%28m-n%29%2F4& alt=&S = ab/2 = mn(m+n)(m-n)/4& eeimg=&1&&。&br&&br&我们要证明&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&能被6整除，也就是既能被3整除，也能被2整除。&br&下面的思路就跟&a data-hash=&f3f49bbb888dfa14d647& href=&///people/f3f49bbb888dfa14d647& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@小明& data-hovercard=&p$b$f3f49bbb888dfa14d647&&@小明&/a&很像了。&img src=&///equation?tex=m-n%2C+m%2C+m%2Bn& alt=&m-n, m, m+n& eeimg=&1&&成等差数列，要么其中有一项能被3整除，要么它们的公差&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&（也是&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&的因子）能被3整除。&br&&img src=&///equation?tex=m%2Cn& alt=&m,n& eeimg=&1&&都是奇数，所以&img src=&///equation?tex=m%2Bn& alt=&m+n& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=m-n& alt=&m-n& eeimg=&1&&一定有一个是4的倍数，另一个除以4余2，一共有3个因子2，除以4后还剩一个，所以&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&能被2整除。&br&综上，&img src=&///equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&能被6整除。&br&&br&有人要问了：为什么你得到的是&img src=&///equation?tex=a+%3D+mn& alt=&a = mn& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=b+%3D+%28m%5E2-n%5E2%29%2F2& alt=&b = (m^2-n^2)/2& eeimg=&1&&，跟&a data-hash=&f3f49bbb888dfa14d647& href=&///people/f3f49bbb888dfa14d647& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@小明& data-hovercard=&p$b$f3f49bbb888dfa14d647&&@小明&/a&差了一个系数2呢？&br&这是因为我取了&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&为奇数。事实上，&img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&&必然是一奇一偶的：若二者皆为奇，则&img src=&///equation?tex=a%5E2%2Cb%5E2& alt=&a^2,b^2& eeimg=&1&&除以4均余1，&img src=&///equation?tex=c%5E2& alt=&c^2& eeimg=&1&&除以4余2不可能是平方数。知道了这一点后，就可以让&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&是那个偶数。而&img src=&///equation?tex=b%2Cc& alt=&b,c& eeimg=&1&&都是奇数，&img src=&///equation?tex=c%2Bb& alt=&c+b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c-b& alt=&c-b& eeimg=&1&&中必有一个有且仅有一个因子2，所以&img src=&///equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&&的质因子对中，只有一对2要分别分给&img src=&///equation?tex=c%2Bb& alt=&c+b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c-b& alt=&c-b& eeimg=&1&&，其余的都要成对分配。这样就可以设&img src=&///equation?tex=c%2Bb+%3D+2m%5E2& alt=&c+b = 2m^2& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=c-b+%3D+2n%5E2& alt=&c-b = 2n^2& eeimg=&1&&，后面的过程就跟&a data-hash=&f3f49bbb888dfa14d647& href=&///people/f3f49bbb888dfa14d647& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@小明& data-hovercard=&p$b$f3f49bbb888dfa14d647&&@小明&/a&一样了。但是你看，这里要增加好多推理过程不是？
的答案可以作为证明的后半部分，但「所有勾股数都能表示成m?+n?, m?-n?, 2mn」仍需证明。更重要的是，这个形式看起来又是「神来之笔」，并没有解释是怎么想出来的。 下面我就从思路入手，一方面讲一下这个形式是怎么想出来的，另一方面把…
先来讲讲我三年数学的成绩变化吧&br&初一上半学期，除了最后一次期末没有上过九十（初一啊同志们！现在想想我当时觉得数学难真是naive！我更怀疑我的智商当时是发生了什么！）最后一次考试上了九十，不过也是九十二而已（“呵呵”）。那次考试我们班四个满分（然而全年组一共六个，我们班是语文班主任。没错就是这么任性啊哈哈！）&br&初一下，我好像开窍了，整个学期考试成绩都稳定在96-98之间（上面提到四个满分的哥们哈哈哈这个学期都没有考过我呢蛤蛤）&br&初二平稳，90-98直接（这段没有吐槽的）&br&初三（黄色微笑脸），上学期我记不太清了，但是和初一上差不多，没上过九十，一直都是八十多，而且上学期期末考试我也没有上九十（哭瞎）。&br&下学期（此处高能：之前的满分都是一百分，现在开始要变为150分哦）&br&第一次，我80&br&，&br&，&br&，&br&没打错，真的&br&第二次，我129&br&，&br&，&br&，&br&后两次大概就是115-130之间&br&最后中考135史上最高。&br&你看我并不是什么数学大神，就是混了个中等偏上，所以我才敢说这是我努力的结果，和天赋智商超前学习并无关系。&br&而且我本人，除了初二真心喜欢数学，剩下其他的时间也都在纠结“天哪噜数学作业好多这个看起来我会就不写了我天这个好难好好研究一下呼总算写完了玩会知乎吧”&br&因为我有进步，所以敢说。&br&题主已经初三了呢，所以无论怎样努力，你要保证的都是：拼尽全力。&br&你知道初三有多残酷吗，中间的寒假我以为我很努力学了结果开学第一次考试我没有进步反而退步了。&br&你懂了？&br&好，我们开始讲正题。&br&这个假期已经没几天了，你首先要做的任务是把所有的数学书找出来，认认真真看一遍。包括概念定理，例题导语。重新加固一遍概念定理，有助于你今后推理时的应用。而例题往往是最基本的，每一道例题都代表一种解题模型，仔细研究，这样大部分的基础分你都能拿到。及格就是很好突破的了。&br&我猜你这样的成绩，看书时肯定会遇到没有学会的，请一点点靠教材弄明白你不懂的地方，然后反复做基本题加深。什么样的基本题呢？直截了当考察你不会的考点的题，每道题就这么一个知识点，就是你不会的那个。&br&如果你全力去做，再加上你不错的智商，我猜只要五天这个任务就能完成，咱们四舍五入，算一周（什么鬼）。这一周你就要吃透课本，加固基础。你的目标是弄明白书中每一个知识点。&br&OK，，，接下来呢&br&接下来我们做几套套题，正规的要同一系列的哦。五套左右吧。自己照答案对，看看主要错在哪类题。（如果你上一周的工作做得好，这几套题的成绩应该能有提高）&br&归类总结，发现自己的问题了。那我们就接着专攻它们。&br&如果你是马虎，那就什么样的题都来点，但求全对。&br&如果你是读题读不懂，那就像做阅读理解，分出题目的条件，数字，类型，再逐一计算。&br&如果你是推理小白，那就认真读题，写出思路，像扩充一样整理成步骤。然后和标准答案一！步！一！步！对！（前提你的答案是完全标准的）&br&总之以此类推，找弱点逐项击破。这个大概要五天？嗯差不多。&br&接下来你的假期还有最后的几天了，别犹豫去预习吧。&br&预习之后的事情，我们明天再说。
先来讲讲我三年数学的成绩变化吧 初一上半学期，除了最后一次期末没有上过九十（初一啊同志们！现在想想我当时觉得数学难真是naive！我更怀疑我的智商当时是发生了什么！）最后一次考试上了九十，不过也是九十二而已（“呵呵”）。那次考试我们班四个满分（…
添加了关于备课的说明（其实就是复制自己另一个答案_(:з」∠)_）&br&============================&br&第五年任教，经验不多，有一些感想分享，希望大牛们轻喷多指教。&br&&br&正好下来在带初一，两个班的数学加一个班班主任。虽然经验不算多，但有能让学生不讨厌我，或者说大部分学生认可我的自信。&br&&br&第一年带初一的时候上了一节公开课，上完后我们学校的资深级老师告诉我：你的课是很有吸引力的，一定要记住并发挥自己的优势特点。&br&&br&为此我很是沾沾自喜了一段时间。直到后一次公开课，还是那位资深老师对我说，你这节课和上次那节不能比，你没发现这节课上的很困难吗。&br&&br&我内心给自己找了一会理由，心想这个课题我不顺手，这个班没上次那个状态好等等等等，但同时也承认很多东西没做好充足的准备。我犹豫着问那位老师，您上次说我的优势特点是指什么？&br&&br&他回答，你的声音啊！&br&&br&说实话我听到这个答案的时候是有失望的，我本以为我有着特别优秀的天赋，到最后竟是一个声音……然后我慢慢想到，自己以前当学生的时候经常会觉得某某老师说话让人昏昏欲睡……想到我声情并茂地在台上讲课并加入一些生动例子的时候，即使在数学课上，大家也是笑着集中注意力听的……想到这些，我慢慢释然了。&br&&br&把自己的特点，顺势发挥到最大就是成功。&br&&br&总结性几点：&br&1.备课！备课！备课！重要的事情说三遍！&br&身边很多人觉得初中课好上，写备课本只是新老师完成任务；而我的教学师傅，明年退休，详细教案至少备三次。&br&备什么？重难点，知识体系（知识和前后的关联，备课决不是只备这一节课的内容），每个环节大约花的时间（公开课甚至要熟悉到不差一分一秒），学生在每一个细节和过程里可能会出现的问题。&br&其中最后一点对于新老师最难。那么记住两点：多请教老教师，课堂上走下去看学生的完成情况。尤其初一孩子，思维方式和你完全不同，一定要关注孩子们是怎么错的。&br&（关于备课，复制一下自己在另一个回答 &a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&中小学老师为什么每节课前都要备课？ - 单西的回答&/a& 里面提到的：）&blockquote&备课备什么？&b&备内容+备学生&/b&。&br&内容不变？有的答案提到了：教材隔几年换一次。&br&OK我们先假定教材永远不变。&br&&b&学生变不变？&/b&&br&我刚刚毕业班下来接初始年级，不说每个具体的学生，班级风格完全不同了，最大的感受是三年一代沟古人诚不欺我也……这她娘的跟上届真的只差三年吗……？&br&就算带的是几个水平相当的班级，去A班上课前和去B班上课前我都还要分别想想几个细节根据不同风格分别怎么处理呢。&br&前段时间讲到分段计费问题，题目曰：“某通信公司套餐手机月租……”下面一个个学生睁着纯洁无暇的大眼睛问我：“老湿，手机月租是神马……”&br&呵呵。你说教材敢不敢不变……虽然我们假定了教材不变的前提。&br&当老师之后我总回想郑渊洁一句话：好老师用40种方法教1个学生，差老师用1种方法教40个学生。&br&虽然每次想到这句话我总是汗颜的……上课方式决定了不可能用40种方法教一个学生，但是对于不同的情况，&b&课堂结构、方法和诸多细节处理&/b&都是要有变化的。&br&&br&举个栗子。&br&两个普通班：A班，气氛较活跃；B班，气氛较内敛。&br&你上届带了一个重点班，这节课的内容采用小组讨论，教师总结的形式完成，非常精彩。&br&&b&OK，请问你敢不敢把上届那节课搬过来给A、B两个班再上一次？&/b&&br&照搬的结果：&br&A班：气氛活跃，然并卵，学生压根没找到重点，啥都没讨论出来。&br&B班：有几个关系好的同桌交流了一会，关系不好的各自默默看着自己的课本不说话。&br&&b&&u&注意：&/u&&/b&我这个前提&b&是最简略的前提，完全没有提到每个个体的理解能力、学习习惯和知识储备&/b&，&b&更没有提到这个班可能有的一些细节&/b&，比如说小组讨论这种形式有的班是一直有合适的四人小组，但很多班没有这种习惯和形式。&br&好，可是我觉得那节课真的很精彩，我想借鉴一下，怎么办？&br&A班：在讨论前做好合适的&b&铺垫和引导&/b&，再让学生讨论；总结时再次注意引导补充。&br&B班：要么换一种形式，采用学生易于接受的形式教学；要么在之前做好&b&大量准备工作让学生慢慢逐渐接受并习惯&/b&讨论形式的教学。&br&你要准备的事情：&br&A班：根据学生情况（钻研教学难点：这一层次学生可能忽略的内容）设计好精妙的铺垫和引导&br&B班：重新构思另一种教学方式，或花大量时间做准备工作（也需要经过设计）。&br&摊手。&br&再次强调：我的前提是&b&最简略的&/b&前提。试想实际情况中，你还需要加上所有实际的个体情况和总体情况，理解能力、学习习惯、知识储备等等等等……想想需要考虑的事情有多少吧。&br&这一方面，是&b&备学生&/b&。&br&&br&另外，刚才提到的&b&铺垫和引导&/b&，我提到需要钻研想通&b&学生可能忽略的内容&/b&；&br&你觉得这个东西每次都一样么？&br&而且学生讨论中，你肯定需要去看一下情况的，&b&请问每个学生想到的内容和遇到的问题都一样么&/b&？&br&会玩的老师和不会玩的老师一个最大的区别：&b&对突发情况的应对能力&/b&。&br&这里的突发情况包括学生突然提出或出现的问题（相信我，学生的想象能力是无穷的……）和对课堂造成影响的一些外因（窗外有个人从围墙上走过去了……别笑，真事）和其他内因（你自己讲课突然出现的一些变化或其他意外）等。&br&一个会玩的老师必须要有：&b&大量的知识储备和相应思考&/b&。&b&对教材的理解&/b&，读书百遍其义自见这句话我现在是真服，每次重新看教参都有新的理解，包括整个教材的结构，例题的用意和细节，考虑到学生学情的一些处理等等；教完一轮学生&b&重新&/b&仔细看起始年级的教材你会发现编教材的人很多用心你上一次没有注意到。&br&说通俗一点：照本宣科可能出现的情况：学生突然提了一个你完全没想过的角度的问题，于是你懵逼了。糊弄过去，草草收场。&br&这一方面，是&b&备内容&/b&。&u&而且是假定教材不变的前提下&/u&。&/blockquote&&br&2.课堂需要生动。如果你足够幽默，尽情穿插进去；如果你不会幽默，在一边学的时候，一边保证你的课堂有充分的学生讨论。放心让孩子们用自己的语言去表达。当然，初一孩子海阔天空，还需要教师往培养数形结合，分类讨论等方向去引导。&br&很多概念可以从多个角度（数和形，数学和生活）去讲。比如最近讲有理数加法，我就以讲台为起点，记往右走为正，则往西左走为负。我往右走3步，再往右走5步，相当于一共往右走8步；这就相当于3+5=8；反过来把右变成左，就成了（-3）+（-5）=-8。这不算特别生动，关键是接下来让学生自己去总结：这两个式子属于同号的数相加，你发现什么规律？（符号不变）为什么不变？从实例（走路）的角度去想想？&br&－因为我一直是往一个方向走的，那除非走到绕地球一圈了（学生笑），否则我肯定还在那边方向。&br&在这之前我已经用类似的方式引导学生自己回答出：走的方向也就相当于数的符号，走的距离相当于数的绝对值。这个对应的体系在有理数全章里我一直在用，学生理解起来很快。&br&包括初一孩子最头疼的计算过程格式，同样是引导他们“为什么要这样写”。（-3）+（-5）=-（3+5），这个格式实际上就在体现有理数加法法则“先定符号，再定绝对值”。课堂上讲解了，作业再个别出现问题下来单独辅导的时候，我引导不会写格式的学生问“先定…后定……”再次强调，基本都能理解并认同要写格式。&br&&br&3.原则和落实。&br&初一一定要定好规矩，而更重要的是你定好规矩一定要按规矩实行。这一点所有科目通用。&br&而初中还有一句话：成绩是抓出来的，不是讲出来的。（喜欢上课但不喜欢课后落实的我虽不愿承认，但这是事实……）&br&&br&4.爱学生&br&如果你能看到学生的优点，把他们当做孩子（可以容忍一些不成熟的缺点，但一定要关注这些并在有条件的情况下引导），那么孩子一定会喜欢你。不管你的风格是轻松愉快还是偏严肃。&br&只要孩子喜欢你，那么课堂就省了一大半心了。他会愿意听你的话。&br&&br&&br&在办公室加班刷知乎（……）手机打字好累，想到再补充…求同行交流！&br&-----------------------&br&有人赞了好开森(??ω??)?? 改了下错别字……才想起来自己现在其实是第六年任教了?Д?好可怕……
添加了关于备课的说明（其实就是复制自己另一个答案_(:з」∠)_） ============================ 第五年任教，经验不多，有一些感想分享，希望大牛们轻喷多指教。 正好下来在带初一，两个班的数学加一个班班主任。虽然经验不算多，但有能让学生不讨厌我，或…
已有帐号？
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