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如图：矩形OABC中A（4，0），C（0，3）．动点P从A→B→C以每秒1个单位的速度运动．记OP在矩形中扫过的面积为S，运动时间为t探究：（1）当t为何值时，线段OP最长，是多少？（2）S与t的函数关系？并指出是什么函数关系？（3）当t为何值时，S=9，此时OP在矩形中扫过的面积是一个什么几何图形？
芥末芥末的1vhs
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如图，∵四边形OABC是矩形，A（4，0），C（0，3），∴BC∥OA，OC=AB=3，OA=CB=4，∠OAB=∠ABC=90°．（1）当点P与点B重合时，OP的长度最大．此时t=3．在Rt△OAP中，利用勾股定理得到：OP=OB=2+AB2=2+32=5，综上所述，当t=3时，线段OP最长，为5；（2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，S=OAoAP=×4×t=2t（0＜t≤3），该函数是正比例函数；②当点P在线段BC上时，S=S梯形OABP==t+（3＜t≤7），该函数是一次函数．综上所述，S=；（3）∵由（2）知，当点P在线段AB上时，S=2t（0＜t≤3），则S最大=2×3=6．∴当S=9时，点P在线段BC上．∴9=t+，解得 t=5，∴点P不与点C重合，即OP与AB不平行，且OP≠AB又∵BC∥OA，∠OAB=∠ABP=90°．∴四边形OABP是直角梯形．
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（1）根据图示知，当点P与点B重合时，线段OP最长；（2）分段函数：点P在线段AB上和点P在线段BC上两段函数．在线段AB上时，S=S△AOP；在线段BC上时，S=S梯形OABP；（3）把S=9代入（2）中的函数解析式，求得相应的t的值，则推知点P所在的位置，根据点P的位置来推断OP在矩形中扫过的面积是何种几何图形．
本题考点：
四边形综合题．
考点点评：
本题考查了四边形综合题．涉及到了三角形的面积、梯形的面积的求法，矩形的性质，列函数关系式以及直角梯形的判定方法．注意：在（3）中，推知四边形OABP是直角梯形的过程中，必须先推知OP与AB不平行，且OP≠AB，以排除四边形OABP是矩形和等腰梯形的情况．
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已知：O是坐标原点,P（m,n）（m＞0）是函数y=（k＞0）上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A（a,0）（a＞m）．设△OPA的面积为s,且s=1+n²/4．设n是小于20的整数,且k≠1+n²/4,求OP²的最小值
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由P在y=k/x上,可得m*n=k.有PA⊥OP于P交x正半轴于A(a,0),可得m*(m-a)+n*n=0,S=a*n/2.将m=k/n代入可得a=n^3/k+k/n,再将此代入S表达式可得S=(n^4/k+k)/2.又因为S=1+n^4/4,可得k=2.又因为k≠n^4/2,即n^2≠2.所求OP^2为m^2+n^2,即k^2/n^2+n^2=4/n^2+n^2≥2*2/n*n=4,当2/n=n时取等.又因为n^2≠2,且n为小于20的整数,故取距离根号二较近的整数代入计算.得到n取1或2时OP^2均取得最小值5.
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p是双曲线1/x上的一点,p关于y=x的对称点S是Q,O是原点,求“向量OP*OQ=?p是双曲线1/x上的一点,p关于y=x的对称点是Q,O是原点,求“向量OP*OQ=?答案4选1：A.2；B.1；C.3；D.0.
褓弑桀001DA
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p是双曲线y=1/x上的一点,∴设P(x,1/x),p关于y=x的对称点是Q(1/x,x),O是原点,∴向量OP*OQ=x*1/x+1/x*x=2.选A.
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