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北京交通大学复习课件第1章 工程制图基础
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北京交通大学复习课件第1章 工程制图基础
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iframe(src='///ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')画法几何及机械制图_学霸学习网
画法几何及机械制图
画法几何及机械制图教学内容 经过多年的改革和实践，已初步构建成与新世纪人才综合素质的培养相适应的课程体系，课程的教学 内容和模式得到优化。在不增加本课程学时数的前提下，对课程的教学内容和模式进行优化，删除某些传 统过时的内容，增大计算机绘图 (AutoCAD)内容在本课程中所占比例，增加基于特征的参数化实体造型 (Pro/Engineer)等现代 CAD 内容。使本课程形成了手工草图、仪器绘图、计算机绘图并举的新格局。课程 内容体系如下： 1. 画法几何 (1) 投影的基本知识； (2) 点、直线和平面的投影； (3) 点、直线、平面的相对位置；(4) 立体的投影。 (5) 轴测图。 2. 制图基础 (1) 制图的基本知识和基本技能； (2) 组合体； (3) 图样画法。 3. 机械图 (1) 标准件和常用件； (2) 零件图； (3) 装配图。 4. 计算机绘图 (1)计算机绘图的发展概述； (2) AutoCAD 入门； (3) 基本绘图、编辑命令； (4) 设置绘图环境及标注尺寸； (5) 绘制零件图及装配图； (6) Pro/E 入门； (7) 创建参数化草图； (8) 生成实体及创建特征； (9) 生成工程图纸及实体装配。 教学内容组织方式与目的： 教学内容分为课堂讲授、教师辅导、学生选修和学生自学四部分。课堂讲授部分由教师在教学计划学时内 进行课堂教学， 作为基本要求内容； 教师辅导部分由教师在课堂内对学生进行答疑和指导， 巩固所学内容； 学生自学部分由学生利用课外时间进行自学，作为一般要求内容；学生选修部分由学生根据自己的兴趣及 能力进行课外选读，扩充知识。 将本课程分为画法几何、制图基础、机械图和计算机绘图模块。这四个模块可以按顺序串联在一起进行讲 授，又可根据课程的改革需求分开讲授。对非机械类的制图课程可将画法几何模块替代为正投影法基础模 块（其主要包括点、直线和立体的投影） ，计算机绘图模块主要含 (1)、(2)及(3)等内容。运用多媒体课件、 黑板及教具模型等方式授课， 采用启发式、交互式教学方法。 目的是使学生掌握正投影法的基本理论及 其应用，掌握分析和解决空间几何问题的能力；培养学生绘制和阅读机械图样的基本能力；培养学生现代 工程意识和创新设计能力及应用典型的绘图软件进行计算机绘图和设计的能力；养成认真思考的工作态度 和严谨细致的工作作风。 实践性教学的设计思想与效果： (1) 设计了知识面广、内容丰富、重点突出、形式多样的习题作业以利学生掌握所学知识； (2)建立了开放展示实践室，在开放式教学实践室中，配备了自行研发的可组装、拆卸的模块化教具模型， 供学生亲自动手拼装，以提高学生的动手能力和空间想象能力，激发其创新意识；配备有先进的测绘工具 和计算机，供学生进行模型及零、部件测绘，观看有关工程技术知识的教学录象片，使其徒手画图能力、 工程实践能力进一步增强；配备有电子模型库，供学生浏览，在此基础上，学生可以自行构思、建模造型、 生成图样，并有专门教师辅导，强化学生形象思维能力，进一步促进图形信息处理能力的培养；配备有练 习题、相应的立体造型及解答技巧，供学生对所学知识温故知新； (3) 编写了要求明确、内容详尽的计算机绘图上机实验指导书以具体指导学生的上机操作。教学条件 发行约 4 万册，辐射面较大，获全国高校出版社畅销图书奖。2003 年在密切注意工程图学指导委员会 制定的&画法几何及机械制图教学基本要求&的变化情况及国内外的一些同类教材的变化动向的基础上，注 意总结参考近几年来教学改革实践的经验，注意与机械系列基础课程教材的衔接，出版了《工程制图基础 教程》和《AutoCAD2002 绘图基础》两部教材。现正组织教师编写国家&十五&立项教材 1 部，出版了天津 市&十五&重点立项教材，在教材中增加计算机绘图的内容和实践，融入&三维造型&的内容及设计思想，从 而确定本课程在机械设计基础系列课程及其他专业课程中的基础地位及衔接作用。 为便于学生自主学习、体现学生在学习中的主体地位，编写了《工程制图基础习题解答》 ，使用效果良好。 通过在课堂上展示优秀作业，指导并激励学生认真学习。通过编写《上机指导提纲》 ，便于非机械类型制 图课的学生计算机上机练习，提高学习及练习效率。 针对本课程实践性较强的特点，在学习中安排了适当学时的手工仪器图、零件测绘和 CAD 上机练习等实 践内容，以锻炼学生的动手能力，培养认真负责、一丝不苟的工程素质。对机械制图模型及答疑室进行了 改造，添置了现代测绘工具等，使机械制图的教学实践环境发生了变化，增加了习题解答和电子模型等内 容，由教师专人值班解答学生问题，从而更加有利于学生的学习及复习巩固。通过计算机展示自行研制的 基于 Dreamweavre、Authorware、3DS MAX、AutoCAD 和 Pro/E 等平台开发的制图网络课件、习题解答课 件、常见机械结构加工工艺及过程，强化对学生形象思维能力及图形信息处理能力的培养，并使学生具有 空间实体构型设计的初步意识和基本能力。同时，为丰富本课程的教学内涵，改进完善实验环节，设计研 制出助学型的可组装、拆卸的模块化教具实物模型并开放展示，供学生亲自动手拼装，以提高学生的动手 能力、空间想象及构型能力，激发其创新意识。 第 19 教学楼的 CAD 计算中心拥有 180 多台微机，可同时供 5 个班学生上机，其已与校园网联通。本课程 设计制作了教学与模型库等网络课件，并已在天津大学网络教学中发挥了积极的作用。网络课程包括学习 指南、电子课堂、模型展示和习题解答等内容，为学生自主学习提供了必要的条件和保证。 方法和手段 1. 教学方法 (1) 教学分为课堂讲授、教师辅导、学生选修和学生自学四部分。课堂讲授部分由教师在教学计划学时内 进行课堂教学， 作为基本要求内容； 教师辅导部分由教师在课堂内对学生进行答疑和指导， 巩固所学内容； 学生自学部分由学生利用课外时间进行自学，作为一般要求内容；学生选修部分由学生根据自己的兴趣及 能力进行课外选读，作为补充知识。讲授内容少而精，采用启发式、讨论互动式教学方法。凡是学生可以 解决的问题，尽量鼓励、启发学生自己解决，培养学生的参与意识和自学能力。 (2) 充分利用现有的教学条件，如 CAI 课件、可拆卸组装模型、实物模型和电子模型库等，增强直观性， 以解决学生不了解生产实际和空间想象力差的问题。 (3) 强调&读图&环节，教学内容详略得当。强化组合体的读图，使零件图读图的困难减少，使学生可以对 零件工艺知识有初步了解，将注意力集中在零件结构的识别与表达等内容的学习。在处理&读图&环节时， 遵循从简单到复杂、从外到内、形体分析为主到形体分析与线面分析的结合，将难点分解。 (4) 加强实践环节，促进量变到质变的转化。通过开放展示实践室及一定量的画图训练，使学生在掌握绘 图能力的同时提高读图能力。 (5) 制图教师参与指导学生的课程设计和毕业设计，既可以提高学生在设计中遵守制图国家标准的意识和 仔细认真的工作态度，又可将指导设计的体会融入到教学中，从而提高教学质量。 (6) 在教学中始终注意解决非智力因素的影响，第一次讲课就着重强调本课程的作用、地位及在工程实际 中的应用，唤起学生的求知欲并强调认真细致的工作作风。此外还向学生进行纪律、学风、爱护公物等方 面的教育，使学生养成不迟到、不早退、遵守课堂纪律、认真完成作业的良好学风。 2. 教学手段 坚持本课程&严谨治学、严格教学要求&的传统，执行严格、规范的教学管理规章和制度，建立、健全各种 教学文件和档案如：教学日历、试题分析及学生成绩档案等。 为保证课程改革的顺利进行，必须对现有的教学手段进行相应的变革，转变教学思想。首先配备并充分利 用现代化的教学设备，以提高教学效率。例如对计算机绘图教学，充分利用多媒体教室的先进设备，提高讲课的质量和效率。对工程制图课程，在使用现代化教学设备的同时，还逐步制作相应的教学辅助软件， 以代替部分教学模型和挂图；最终形成屏幕投影、黑板、模型实物及实物投影四体合一的课堂教学手段， 从而更加直观形象、生动地讲授教学内容。 利用现代化的教学工具如 CAI 课件、投影仪等进行教学，可以提高教学效率，使学生在有限的时间里获得 较大的信息量。在教学中扩大了多媒体等现代化教学手段的使用，例如，使用了自行研制的与教材配套的 助教型 CAI 系列课件，充分利用色彩、造型及动画技术得到良好的教学效果；课件已被一些学校使用，在 本地区具有一定的影响。 设计了知识面广、内容丰富、重点突出、形式多样的习题作业及相应软件，以利学生理解和掌握所学知识。 教师根据学生的具体情况， 利用习题解答软件引导学生按照正确的思路与解题步骤改正、 完成习题和作业， 从而提高教学效率。 建立了丰富完备的试题库及合理有效的考试形式，实行考、教分离制度，从而准确了解学生的学习情况、 促进学生的学习兴趣并减轻教师的工作负担；对本课程的考试方法也进行了相应的改革，由过去的 1 次期 末考试改为平时的 2 或 3 次考试，其中 AutoCAD 和 Pro/Engineer 内容实施上机考试。 设计制作了可组装、拆卸的模块化教具模型、网上模型库及电子课堂；建立了开放展示实践室，供学生亲 自动手拼装，以提高学生的动手能力、空间想象和构型能力，激发其创新意识。 利用典型的计算机绘图软件绘制图形，以部分替代传统的手工绘图，培养学生现代工程意识和创新设计能 力，使学生了解、掌握现代的绘图工具。使本课程形成手工草图、仪器绘图、计算机绘图并举的新格局。 建设规划 1.本课程的建设目标 在现有教学改革所取得的研究成果基础上，经过几年的不懈努力，使本课程的整体教学质量、师资队伍的 整体素质及学术水平得到进一步提高，教学内容与教学体系更加合理与优化，教学成果的覆盖面进一步扩 大，以适应课程发展和竞争的需要，并为高等学校&画法几何及机械制图&课程的发展做出贡献。 2.本课程的建设步骤 (1) 积极引进和选留青年教师(3 年内使 3 名青年教师获得博士学位，2 名青年教师晋升为讲师)从而形成一 支结构合理、人员稳定、教学水平高、教学效果好的师资队伍。 (2) 继续建立规范、严谨的教学制度和环境。其含有体现教学目的的教学大纲、教学文件和教学档案；有 符合教学大纲、适应本世纪发展要求及我校特色的教材和教辅材料；有能客观反映教学效果、学习质量的 考核方法。 (3) 继续使用先进的教学方法和手段(如网络课件)进行教学与管理， 并将本课程与机械基础系列课程及相关 专业课进行整合，以提高教学质量和学习效果。 (4) 进一步强化实践环节，增加零件测绘部分的学时，继续改造及完善可组装、拆卸的模块化教具实物模 型和制图开放展示实践室。教师参与指导学生的课程设计和毕业设计，以提高学生在设计中遵守制图国家 标准的意识和仔细认真的工作态度。 (4) 使用先进的教学方法和手段(如网络课件)进行教学与管理， 并将本课程与机械基础系列课程及相关专业 课进行整合，以提高教学质量和学习效果。 (5) 进一步完善知识面广、重点突出、形式多样的习题作业及构筑合理有效的学生作业检查体系，以适应 学生素质教育的需求；建立丰富完备的试题库及合理有效的考试形式，从而准确了解学生的学习情况、促 进学生的学习兴趣。 3.本课程已经上网的资源名称列表 “画法几何及机械制图”网络课程，其包括课程简介、电子课堂、 模型展示、教学大纲和学习指南等部分。 教学效果 “画法几何及机械制图”课程是天津大学机械类、近机械类专业必修的一门基础课。早在天津大学建校 之初就已设立，具有一百多年的历史。随着时代的发展和社会的变革，这门课程也在教学内容、教学方式 和方法、教材等各方面进行着与时俱进的改革。如今已经发展成为系统性、规范化、与多门课程相互整合 发展的重要课程。 多年来，我们对&画法几何及机械制图&课程进行了深入的变革，取得了很好的教学效果。专家评价、学生评价及指标见附件 1。 通过对课程的教学内容和模式进行优化，删除某些传统过时的内容，增加计算机绘图(AutoCAD)等内容在 本课程中所占比例，增加基于特征的参数化实体造型(Pro/Engineer)、双语教学等现代内容。使本课程形成 了图学基础理论、基本实践技能和现代设计方法并举的新格局。通过少而精的讲解、贴近实际应用的练习 和具有创新性的实践锻炼，能在短时间内使学生从对该课程的陌生转变到熟悉并喜爱该课程。 本课程摒弃传统教学方法的缺陷，汲取先进教学手段的精华，在不同教学阶段采用不同的教学手段，形成 多媒体教学、黑板、教学模型相结合的授课方式。在教学的过程中通过启发式、交互式教学充分调动学生 的积极性、主动性，形成教、学互动的局面，从而提高教学效率。 教材建设是课程建设的重要组成部分。承担了国家级规划教材《工程制图》和天津市规划教材《机械制图 及 CAD 基础》项目。 《机械制图（非机类） 》教材及习题集发行量居全国同类教材前茅。所制作的多媒体 教学课件系全体教师的智慧结晶，多次在国家级、市级评比中获奖。现已形成书本教材、多媒体课件和网 络课件相结合的立体式教材结构。 本课程拥有一支老、中、青相结合，经验丰富、教学严谨、紧跟时代步伐的师资队伍。在历次的教学比赛 和评估中均能体现其优异的教学效果。课程的主讲教师在学生评教的分数平均在 85 分以上。本课程首批 获得并一直保持天津大学的优秀课程称号，2004 年获校优秀教学成果一等奖和二等奖各 1 项，1999 年获 校优秀教学成果二等奖 1 项。近年来并有 4 人次在市级、校级讲课大赛中获一等奖一项、二等奖一项、三 等奖两项。 总之，&画法几何及机械制图&课程是我天津大学教学体系中的一门重要课程，在继承传统教学特点的基础 上，结合时代发展的需要将其建成一门在内容体系、知识领域、教学方法均领先的优秀课程。 课程特色 经过几年的努力工作，本课程形成以下的主要特色： (1) 继承和发扬&严谨治学、严格教学要求&的优良传统，坚持执行严格、规范的教学管理规章和制度。 (2) 构建了包括画法几何、机械制图、计算机绘图 (AutoCAD)和基于特征的参数化实体造型等现代 CAD (Pro/Engineer)内容的&工程图学&(Engineering Graphics)双语教学课程体系， 确立了本课程在开发学生机械设 计创新能力培养体系中的基础地位。 (3) 建立了多层次、内容丰富，条件优越的实践平台。实践环节体现了知识与能力的交融，在培养学生徒 手画图、仪器绘图、计算机绘图、构型设计及创新能力上的效果显著。 教学大纲 工程图样被喻为“工程界的语言”。它是表达和交流技术思想的重要工具，是工程技术部门的一项重要 技术文件。本课程研究绘制和阅读工程图样和解决空间几何问题的理论和方法，研究基于特征的参数化实 体造型等现代 CAD 技术，并以计算机及相应软件为工具绘制工程图样及构建三维空间形体，为培养学生 的制图技能、构型设计能力和空间想象能力打下必要的基础。同时，它又是学生学习后续课程和完成课程 设计、毕业设计不可缺少的基础。 本课程的目的和任务是使学生掌握正投影法的基本理论及其应用；培养学生阅读和绘制机械图样的基本能 力；培养和发展空间想象能力、空间分析和解决问题能力；培养学生现代工程意识和创新设计能力及应用 典型的绘图软件进行计算机绘图和构型设计的能力。培养认真思考的工作态度和严谨细致的工作作风。 1.教学基本要求 学习用投影法表达空间几何形体和图解空间几何问题的基本理论和方法；培养用仪器、计算机和徒手绘图 的能力，以及绘制与阅读投影图的能力。培养绘制和阅读零件图和装配图的基本能力，并使学生对标准件 和常用件的画法和标准有一定认识； 使学生对计算机绘图及基于特征的参数化实体造型等现代 CAD 内容 有所认识，为后续计算机辅助设计等课程的学习打下必要的基础，并能绘制出简单的零件图、装配图及实 体模型。 2.教学内容与学时分配 教学内容主要包括：画法几何、制图基础、机械图和计算机绘图等四部分内容。 (1) 画法几何 (17 学时) ① 投影的基本知识；② ③ ④ ⑤ (2) ① ② ③ (3) ① ② ③ (4) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨点、直线和平面的投影； 点、直线、平面的相对位置； 立体的投影。 轴测图。 制图基础 (18 学时) 制图的基本知识和基本技能； 组合体； 图样画法。 机械图 (21 学时) 标准件和常用件； 零件图； 装配图。 计算机绘图 (56 学时) 计算机绘图的发展概述； AutoCAD 入门； 基本绘图、编辑命令； 设置绘图环境及标注尺寸； 绘制零件图及装配图； Pro/E 入门； 创建参数化草图； 生成实体及创建特征； 生成工程图纸及实体装配。上机操作 28 学时附：“画法几何及机械制图”网络课程教学大纲工程图样被喻为“工程界的语言”。它是表达和交流技术思想 的重要工具，是工程技术部门的一项重要技术文件。本课程研究绘制和阅读工程图样的原理和方法，为培 养学生的制图技能、构型设计能力和空间想象能力打下必要的基础。同时，它又是学生学习后续课程和完 成课程设计、毕业设计不可缺少的基础。 1.教学基本要求 学习用正投影法表达空间几何形体和图解简单空间几何问题的基本原理和方法；培养用仪器和徒手绘图 的能力，用投影图对物体内外形状和大小进行表达的能力，以及根据投影图和尺寸想象出物体内外形状和 大小的读图能力。 培养绘制和阅读中等复杂程度的零件图和装配图的基本能力， 并以培养读图能力为重点； 使学生对计算机绘图及其发展的意义有初步认识，并能绘制出相应的零件图及装配图。 2.教学内容与学时分配 教学内容主要包括：画法几何、制图基础、机械图和计算机绘图等四部分内容。 (1) 画法几何 (23 学时) ① 投影的基本知识； ② 点、直线和平面的投影； ③ 点、直线、平面的相对位置； ④ 立体的投影。 (2) 制图基础 (25 学时) ① 机械制图的基本知识和基本技能； ② 组合体； ③ 图样画法。 ④ 轴测图。 (3) 机械图 (32 学时) ① 标准件和常用件；② ③ (4) ① ② ③ ④ ⑤零件图； 装配图。 计算机绘图 (32 学时 ) AutoCAD 入门； 基本绘图命令； 基本编辑命令； 标注尺寸； 标注符号及文本。 上机操作 16 学时教案 绪论1 课程的研究对象、学习目的和学习方法 1.1 课程的研究对象和学习目的 “画法几何及机械制图”是一门研究图示、图解空间几何问题和绘制与阅读机械图样的课程。 根据投影原理、标准或有关规定，表示工程对象，并有必要的技术说明的图称为图样。随着生产和科 学技术的发展，图样在工程技术上的作用显得尤为重要。设计人员通过它表达自己的设计思想，制造人员 根据它加工制造，使用人员利用它进行合理使用。因此，图样被认为是“工程界的语言”。它是设计、制造、 使用部门的一项重要技术资料，是发展和交流科学技术的有力工具。 本课程的研究对象是： (1)在平面上表示空间形体的图示法； (2)空间几何问题的图解法； (3)绘制和阅读机械图样的方法； (4)计算机绘图技术。 学习本课程的主要目的是培养学生具有绘图、读图和图解空间几何问题的能力；培养和发展学生的空 间想象力以及分析问题与解决问题的能力；培养学生具有计算机绘图及设计的能力。 1.2 课程的学习方法 (1)本课程是实践性很强的技术基础课，在学习中除了掌握理论知识外，还必须密切联系实际，更多地 注意在具体作图时如何运用这些理论。只有通过一定数量的画图、读图练习，反复实践，才能掌握本课程 的基本原理和基本方法。 (2)在学习中， 必须经常注意空间几何关系的分析以及空间几何元素与其投影之间的相互关系。 只有“从 空间到平面，再从平面到空间”进行反复研究和思考，才是学好本课程的有效方法。 (3)认真听课，及时复习，独立完成作业；同时，注意正确使用绘图仪器，不断提高绘图技能和绘图速 度。 (4)画图时要确立对生产负责的观点，严格遵守《技术制图》和《机械制图》国家标准中的有关规定， 认真细致，一丝不苟。 2 投影法的基本概念 2.1 投影法 投射线通过物体向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。根据投影法所得到的 图形，称为投影或投影图，如图 1 中的 ab 。图 1 投影法 如图 1 所示，定点 S 是所有投射线的起源点，称为投射中心；直线 SA、SB 是发自投射中心且通过被 表示物体(直线 AB )上各点的直线，称为投射线；平面 P 是投影法中得到投影的面，称为投影面。 2.2 投影法分类 投影法分为中心投影法和平行投影法。 2.2.1 中心投影法 投射线汇交一点的投影法称为中心投影法。用中心投影法得到的投影称为中心投影。图 2 中心投影法 图 3 平行投影法 在图 2 中，P 为投影面，S 为投射中心，△abc 为空间△ABC 在投影面 P 上的投影。投射线 SAa、 SBb、SCc 交于投射中心 S 。 物体的中心投影不能反映其真实形状，故机械图中不采用。 2.2.2 平行投影法 投射线互相平行的投影法称为平行投影法，如图 3 所示。投射线的方向称为投射方向。 平行投影法又分为斜投影法和正投影法。投射线与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法，用斜投影 法得到的投影称为斜投影。投射线与投影面垂直的平行投影法称为正投影法，用正投影法得到的投影称为 正投影。 2.2.3 正投影法的投影特性 (1)当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映线段的实长或平面图形的实形。如图 4(a)所示， AB//P，则 ab=AB；△ABC//P，则 △ABC ≌△abc。 (2)当线段或平面图形垂直于投影面时，其投影成为一点或一直线，如图 4(b)所示。投影的这种性质称 为积聚性。 (3)当线段或平面图形倾斜于投影面时，线段的投影比实长短，平面图形的投影成为类似形。如图 4(c) 所示，△ABC 倾斜于 P，则 abc 仍为三角形，但不反映实形。(a)(b) 图 4 正投影法的投影特性(c)3 工程上常见的投影图 3.1 多面正投影 物体在互相垂直的两个或多个投射面上所得到的正投影称为多面正投影图。将这些投影面旋转展开到 同一图面上， 使该物体的各正投影图有规则地配置， 并相互之间形成对应关系。 根据物体的多面正投影图， 便能确定其形状。 图５是一物体在三个相互垂直的投影面上的三面正投影图。图 5 物体的三面正投影图 正投影图的优点是能反映物体的实际形状和大小，即度量性好，且作图简便，因此在工程上被广泛使 用，缺点是直观性较差。图 6 物体的轴测投影 3.2 轴测投影 将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上 所得到的图形称为轴测投影。轴测投影作图较繁，且度量性差。但因它直观性较好，容易看懂，所以在某些工程图样和书籍中常作 为辅助图样使用。 3.3 标高投影 在物体的水平投影上， 加注某些特征面、 线以及控制点的高程数值和比例的单面正投影称为标高投影。 标高投影常用来表示不规则曲面，如船体、飞行器、汽车曲面以及地形等。图 7 标高投影 3.4 透视投影 用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到的图形称为透视投影(透视图)。图８为一物体的透视 图。图 8 物体的透视投影 透视图与照相机成形原理相似，较接近视觉映象，所以透视图的直观性较强。但是，由于透视图度量 性差，且作图复杂，所以，透视图只用于绘画和建筑设计等。第一章 机械工程制图基本知识机械工程图样的质量，将直接影响产品的质量和经济性。因此，掌握绘制机械图样的基本知识和技能 是学习本课程的目的之一。 本章主要介绍国家标准《技术制图》和《机械制图》的若干规定，绘图仪器和工具的使用，以及几何 作图方法。 《技术制图》和《机械制图》国家标准是我国基本技术标准之一，它起着统一工程界的共同“语言”的 重要作用。为了准确无误地交流技术思想，绘图时必须严格遵守《技术制图》和《机械制图》国家标准的 有关规定。 学习本章内容应掌握《技术制图》和《机械制图》国家标准中关于图纸幅面、图框格式、比例、字体、 图线和尺寸注法等基本规定，并在绘图时严格遵守，应能正确地标注常见平面图形尺寸。在学习中应正确 使用绘图工具和仪器，掌握常用几何作图的规律、方法以及徒手绘制草图的技巧，掌握平面图形的线段分 析方法，按正确的方法和步骤绘制图形，并做到作图准确、线型分明、字体工整、图面整洁美观。 1 国家标准《技术制图》和《机械制图》的若干基本规定本节所介绍的国家标准一部分源自最新的《技术制图》国家标准，例如 GB/T 《技术制图 字体》，其中“GB”为“国标”（国家标准的简称）二字的汉语拼音字头，“T”为推荐的“推”字的汉语拼音字 头，“14689”为标准编号，“1993”为标准颁布的年号。另有部分源自《机械制图》国家标准，例如 GB/T 4，其中“4458.4”为标准编号，“1984”为该标准颁布的年号。 1.1 图纸幅面及格式（GB/T ） 图纸宽度（Ｂ）和长度（Ｌ）组成的图面称为图纸幅面。图１图纸幅面 1.1.1 图纸幅面尺寸和代号 绘制技术图样时，应优先采用表 1 中规定的基本幅面。 表１基本幅面尺寸（第一选择）（mm)必要时，也允许选用表 2 和表 3 所规定的加长幅面，加长幅面尺寸是由基本幅面的短边成整数倍增加 后得出。 表 2 加长幅面尺寸（第二选择）（mm)表３加长幅面尺寸（第三选择）（mm)如图 2 所示，粗实线表示表 1 的基本幅面（第一选择）；细实线表示表 2 的加长幅面（第二选择）； 虚线表示表 3 的加长幅面（第三选择）。图 2 图幅及加长边 1.1.2 图框格式 图纸上必须用粗实线画出图框，其格式如图３所示，分为留有装订边和不留装订边两种，但同一产品 的图纸只能采用一种格式。(a)(b)（c)(d)图 3 图框格式 (1) 留有装订边的图纸的图框格式如图 3(a)、(b)所示，图中尺寸 a、c 按表 1 的规定选用； (2) 不留装订边的图纸的图框格式如图 3(c)、(d)所示，图中尺寸 e 按表 1 的规定选用； (3) 加长幅面图纸的图框尺寸，按所选用的基本幅面大一号的图框尺寸确定。例如 A2× 3 的图框尺寸， 按 A1 的图框尺寸确定，即 e 为 20(或 c 为 10)，而 A3× 4 的图框尺寸，按 A2 的图框尺寸确定，即 e 为 10 （或 c 为 10）。 1.1.3 标题栏及其方位 标题栏一般由名称及代号区、签字区、更改区及其他区组成。 (1) 标题栏的格式和尺寸按 GB/T 9 的规定，如图 4 所示。 标题栏的位置应位于图纸的右下 角，如图 3 所示。图 4 标题栏的格式及尺寸 (2) 标题栏的长边置于水平方向并与图纸的长边平行时，构成 X 型图纸，如图 3 中的(b)、(d)。若标题 栏的长边与图纸的长边垂直时，则构成 Y 型图纸，如图 3 中的(a)、(c),在此情况下看图的方向与标题栏的 方向一致。 (3) 为了利用预先印制的图纸，允许将 X 型图纸的短边置于水平位置使用，如图 5(a)所示；或将 Y 型 图纸的长边置于水平位置使用，如图 5(b)。(b) （c) 图 5 图纸的另一种配置方式及附加符号 (4) 学生作业建议采用图 6 的格式。作为装配图的标题栏，应画出全部内容；作为零件图的标题栏， 只需画出图中高（28）的粗线框内的部分。(a)图 6 学生作业用标题栏格式 1.1.4 附加符号 (1) 对中符号为了使图样复制和缩微摄影时定位方便，各号图纸均在图纸各边长的中点处分别画出对 中符号。对中符号用粗实线绘制，线宽不小于 0.5mm，长度从纸边界开始画入图框内约 5mm，如图 5(a)、 (b)。当对中符号处在标题栏范围时，伸入标题栏部分省略不画，如图 5(b)。 (2) 方向符号对于按图 5 配置的图纸，为了明确绘图与看图时图纸的方向，应在图纸下边的对中符号 处画一个方向符号， 如图 5(a)、 (b)。 方向符号是用细实线绘制的等边三角形， 其大小和所处的位置见图 5(c)。 1.1.5 图幅分区 (1) 必要时，可以用细实线在图纸周边内画出分区，如图 7 所示。图 7 图幅分区 (2) 图幅分区数目按图样的复杂程度确定，但必须取偶数。每一分区的长度应在 25～75mm 之间选择。 (3) 分区的编号，沿上下方向（按看图方向确定图纸的上下和左右）用直体大写拉丁字母从上到下顺 序编写；沿水平方向用直体阿拉伯数字从左到右顺序编写。当分区数超过拉丁字母的总数时，超过的各区 可用双重字母编写，如 AA、BB、CC…等。拉丁字母和阿拉伯数字的位置应尽量靠近图框线。 (4) 在图样中标注分区代号时，分区代号由拉丁字母和阿拉伯数字组成，字母在前数字在后并排书写， 如 B3、C5 等。当分区代号与图形名称同时标注时，则分区代号写在图形名称的后面，中间空出一个字母 的宽度，例如 E-E A7。 1.2 比例（GB/T ） (1) 图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比称为比例。 (2) 比值为 1 的比例称为原值比例，即 1:1。比值大于 1 的比例称为放大比例，如 2:1 等。比值小于 1 的比例称为缩小比例，如 1:2 等。绘图时应采用表 4 中规定的比例，最好选用原值比例，但也可根据机件 大小和复杂程度选用放大或缩小比例。 表 4 标准比例(3) 同一机件的各个视图应采用相同比例，并在标题栏“比例”一项中填写所用的比例。当机件上有较 小或较复杂的结构需用不同比例时，可在视图名称的下方标注比例，如图 8 所示。图 8 不同比例的标注 1.3 字体（GB/T ） 书写字体必须做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。字体高度（用 h 表示）的公称尺寸 系列为：1.8，2.5，3.5，5，7，10，14，20mm。如果要书写更大的字，其字体高度应按 的比率递增。字体高度代表字体的号数。图样中字体可分为汉字、字母和数字。 1.3.1 汉字 汉字应写成长仿宋体，并应采用国家正式公布的简化字。汉字的高度 h 应不小于 3.5mm，其字宽一般 为 。书写长仿宋体的要点为：横平竖直、注意起落、结构匀称、填满方格。长仿宋体字的示例如下： 10 号字7 号字5 号字3.5 号字1.3.2 字母及数字 字母和数字分为 A 型和 B 型。 A 型字体的笔画宽度为字高的 1/14； B 型字体的笔画宽度为字高的 1/10。 在同一图样上，只允许选用一种字型。一般采用 A 型斜体字，斜体字字头与水平线向右倾斜 75° 。以下字 例为 A 型斜体字母及数字和 A 型直体拉丁字母： 拉丁字母大写斜体：拉丁字母小写斜体：阿拉伯数字斜体：拉丁字母大写直体：拉丁字母小写直体：1.3.3 字母组合应用示例 (1) 用作指数、分数、极限偏差、注脚等的字母及数字，一般采用小一号字体，其应用示例如下：(2) 图样中的数学符号、计量单位符号，以及其他符号、代号应分别符合国家标准有关法令和标准的 规定。量的符号是斜体，单位符号是直体，如 m/kg，其中 m 为表示质量的符号，应用斜体，而 kg 表示质 量的单位符号，应是直体。例如：(3) 其他应用示例如下：1.4 图线及画法（GB/T
GB/T 2） 1.4.1 图线 图线是起点和终点间以任意方式连接的一种几何图形，形状可以是直线或曲线、连续线或不连续线。 机械图样中，常用的图线见表 5。 表 5 图线名称及线型所有线型的图线宽度（d）的系列为：0.13，0.18，0.25，0.35，0.50，0.7，1，1.4，2（单位均为 mm）。 1.4.2 图线画法 (1) 机械图样中粗线和细线的宽度比率为 2:1。表 5 中，粗实线的宽度通常选用 0.5mm 或 0.7mm，其 他图线均为细线。在同一图样中，同类图线的宽度应一致。 (2) 除非另有规定，两条平行线之间的最小间隙不得小于 0.7mm。 (3) 细点画线和细双点画线的首末端一般应是长画而不是点，细点画线应超出图形轮廓 2～5mm。当 图形较小难以绘制细点画线时，可用细实线代替细点画线，如图 9 所示。图 9 细点画线的画法 图 10 细点画线或细虚线与其他图线的关系 (4) 当不同图线互相重叠时，应按粗实线、细虚线、细点画线的先后顺序只画前面一种图线。手工绘 图时，细点画线或细虚线与粗实线、细虚线、细点画线相交时，一般应以线段相交，不留空隙；当细虚线 是粗实线的延长线时，粗实线与细虚线的分界处应留出空隙，如图 10 所示。 1.5 尺寸标注（GB/T 4 GB/T 6） 图形只能表达机件的结构形状，其真实大小由尺寸确定。一张完整的图样，其尺寸注写应做到正确、 完整、清晰、合理。本节只就尺寸的正确注法摘要介绍国家标准有关注写尺寸的一些规定，对尺寸注写的 其他要求将在后续章节中介绍。 1.5.1 基本规定 (1) 机件的真实大小应以图样上所注的尺寸数值为依据，与绘图的比例及绘图的准确度无关。 (2) 图样中的尺寸一般以毫米为单位。当以毫米为单位时，不需标注计量单位的代号或名称。如采用 其他单位时，则必须注明相应计量单位的代号或名称。 (3) 图样中标注的尺寸应为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则应另加说明。 1.5.2 尺寸组成 一个完整的尺寸有尺寸数字（包括必要的字母和图形符号）、尺寸线和尺寸界线组成。(a)(b)图 11 尺寸组成 (1) 尺寸界线用细实线绘制，并应自图形的轮廓线、轴线或对称中心线引出，也可以用轮廓线、轴线 或对称中心线做尺寸界线。 尺寸界线应超出尺寸线约 2mm， 如图 11 （a)所示。 若在光滑过渡处标注尺寸时， 必须用细实线将轮廓线延长，并从它们的交点引出尺寸界线，如图 12 所示。图 12 光滑过渡处的尺寸界线 (2) 尺寸线必须用细实线画出，不得用其他图线代替或画成其他图线的延长线，也不能与其他图线重 合。尺寸线的终端应画出箭头，并与尺寸界线相接触。通常尺寸线应垂直于尺寸界线。尺寸线终端的箭头 如图 11（b)所示，箭头最粗处的宽度为 d（d 为粗实线宽度），其长度约为（4～5）d。同一图样中所有尺 寸箭头的大小应大致相同。当尺寸界线内侧没有足够位置画箭头时，可将箭头画在尺寸界线的外侧；当尺 寸界线内、外侧均无法画箭头时，可用圆点代替，圆点必须画在用细实线引出的尺寸界线上，圆点的直径 为粗实线的宽度 d。标注线性尺寸时，尺寸线必须与所标注的线段平行。尺寸线与轮廓线以及两平行尺寸 线的间距一般取 7mm 左右，如图 11 所示。 (3) 线性尺寸的尺寸数字一般应注写在尺寸线的上方，如图 11 所示。也允许注写在尺寸线的中断处。 当没有足够的位置注写尺寸数字时，可引出标注。线性尺寸的尺寸数字应按图 13(a)所示的方向注写。水平 方向的尺寸数字字头朝上；垂直方向的尺寸数字字头朝左；倾斜方向的尺寸数字字头趋于朝上。当必须在 图中所示３０° 范围内标注尺寸时，可按图 13(b)的形式标注。尺寸数字不允许被任何图线穿过，当不可避 免时，必须将图线断开，如图 13(c)所示。(a) 5.3 常用的尺寸注法 表 6 常用的尺寸注法(b) 图 13 尺寸数字注写(c)2 制图工具及其用法 正确使用制图工具是确保绘图质量、提高绘图速度的重要因素。本节简要介绍常用的制图工具及其使 用方法。 2.1 图板图板的板面应平整，工作边应光滑平直。绘图时，用胶带将图纸固定在图板的适当位置上，一般在图 板的左下方，如图 14 所示。图 14 图板与丁字尺图 15 丁字尺和图板配合画水平线 2.2 丁字尺 丁字尺由尺头和尺身组成，尺身带有刻度，便于画线时直接度量。使用时，用左手握住尺头，使其工 作边紧靠图板左侧工作边， 利用尺身工作边由左向右画水平线。 由上往下移动丁字尺， 可画出一组水平线， 如图 15 所示。 2.3 三角板 一副三角板由一块 45° 的等腰三角形和一块 30° 、60° 的直角三角形组成。三角板与丁字尺配合使用， 可自上而下画出垂直线以及与水平方向成 15° 整数倍的倾斜线，如图 16 所示。图 16 三角板与丁字尺配合使用画线 利用两块三角板可以画出已知直线的平行线和垂直线，如图 17 所示。图 17 用两块三角板画出已知直线的平行线和垂直线 2.4 绘图铅笔 绘图铅笔的铅心的软硬用字母“H”和“B”表示。H 前的数值越大，表示铅心越硬，所画图线越浅；B 前 的数值越大，表示铅心越软，所画图线越黑；HB 表示铅心软硬适中。画图时，应根据不同用途，按表 7 选用适当的铅笔及铅心，并将其磨削成一定的形状。 表 7 铅笔的选用2.5 绘图仪器 绘图仪器种类很多，每套仪器的件数多少不等，下面简要介绍圆规和分规的使用方法。 2.5.1 圆规 圆规用于画圆和圆弧。圆规的一条腿上装钢针，另一条腿上装铅心。钢针的两端形状不同，一端有台 阶，另一端为锥形。画圆时要使针尖略长于铅心尖，并将带台阶的一端针尖扎在圆心处。如图 18 所示。 画圆或画弧时，应根据不同的直径，尽量使钢针和铅心同时垂直于纸面，并按顺时针方向一次画成， 注意用力要均匀，如图 19 所示。若需画特大的圆或圆弧时，可加接长杆。画小圆可用弹簧圆规。若用钢 针接腿替换铅心插腿时，圆规可作分规用。图 18 圆规钢针、铅心及其安装图 2.5.2 分规19 圆规的使用分规用于量取尺寸和截取线段。分规两条腿上均装钢针，当两条腿并拢时，两针尖应能对齐，如图 20 所示。图 21 表示用分规等分线段的作图方法。图 20 针尖对齐图 21 分规的用法 2.6 其他制图工具 为了提高绘图质量和速度，可用图 22 所示的擦图片、胶带、像皮等制图工具。图 22 其他制图工具 3 几何作图 机件的轮廓形状是由不同的几何图形组成的。熟练掌握几何图形的正确画法，有利于提高作图的准确 性和绘图速度。本节介绍一些常见的几何图形作图方法。 3.1 等分已知线段 以三等分已知线段 AB 为例。 作图步骤如图 23 所示。图 23 等分已知线段 ① 过点 A 任作一直线 AC； ② 用分规以任意长度在 AC 上截取三等分，得 1、2、3 点； ③ 连接 3B，并过 1、2 点作 3B 的平行线交 AB 于 11、21，即得线段 AB 上三等分点。 以上作图方法适用于任意等分已知线段。 3.2 正多边形的画法 3.2.1 正六边形的画法 （1) 作对角线长为 D 的正六边形画两条垂直相交的对称中心线，以其交点为圆心，D/2 为半径作圆。有以下两种画法： 1) 如图 24(a)所示，在圆上以 D/2 为半径画弧六等分圆周，依次连接圆上六个分点 1、2、3、4、5、6 即为正六边形； 2) 如图 24(b)所示，用丁字尺与 30° 、60° 三角板配合，作出正六边形。 （2) 作对边距离为 S 的正六边形 如图 24(c)所示,先画对称中心线及内切圆（直径为 S），然后利用丁字尺与 30° 、60° 三角板配合，即 可画出正六边形。(a)(b) 图 24 正六边形的画法（c)3.2.2 正五边形的画法 已知正五边形外接圆直径作正五边形。 作图步骤如图 25 所示。 ① 画正五边形外接圆； ② 二等分 OB 得点 M； ③ 在 AB 上截取 MP＝MC，得点 P； ④ 以 CP 为边长等分圆周，得 E、F、G、K?等分点； ⑤ 依次连接得正五边形。图 25 正五边形的画法 3.3 斜度与锥度的画法及标注 （1) 斜度 斜度是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度，其大小用两直线或平面间的夹角的正切来度 量。在图样中以 1:n 的形式标注。图 26 为斜度是 1:5 的画法及标注。标注时斜度符号的倾斜方向应与斜度 方向一致。图 26 斜度画法及标注（2) 锥度 锥度是指正圆锥底圆直径与其高度或圆锥台两底圆直径之差与其高度之比。在图样中以 1:n 的形式标 注。图 27 为锥度为 1:5 的画法及标注。在画锥度时，一般先将锥度转化为斜度，如锥度为 1:5，则斜度为 1:10。锥度符号的方向应与锥度一致。图 27 锥度画法及标注 3.4 圆弧连接的画法 在制图中，用一条线（直线段或圆弧）把两条已知线（直线段或圆弧）平滑连接起来称为连接。平滑 连接中，直线与圆弧、圆弧与圆弧之间是相切的。因此必须准确地求出切点及连接圆弧的圆心，才能得到 平滑连接的图形。 3.4.1 直线连接两已知圆弧 两已知圆弧的圆心为 O1、O2，半径分别为 R1、R2，作直线与两已知圆弧相切。可利用“半圆上圆周 角为直角”的定理准确求出切点。 (1) 直线外接两已知圆弧 作图步骤如图 28 所示。 1) 已知条件； 2) 求切点： ① 求 1 点； ② 求切点 T1、T2； 3) 连接并描粗。图 28 直线外接两已知圆弧 (2) 直线内接两已知圆弧 作图步骤如图 29 所示。 1) 已知条件； 2）求切点： ① 求 1 点； ② 求切点 T1、T2； 3) 连接并描粗；图 29 直线内接两已知圆弧 3．4.2 圆弧连接两已知线 已知半径为 R 的圆弧与定直线相切、 与定圆外切、 与定圆内切的圆心轨迹 OO′及切点 T 和 T′的作图见 图 30。(b) 图 30 连接圆弧圆心轨迹及切点 用已知半径为 R 的圆弧连接两已知线（直线或圆弧）的作图见表 8。 表 8 圆弧连接两已知线(a)（c)3.5 平面图形的画法 以图 31 所示手柄为例。 3.5.1 平面图形的尺寸分析 (1) 定形尺寸确定平面图形中几何要素大小的尺寸称为定形尺寸。例如直线的长短、圆的直径（或半 径）等。图 31 手柄 (2) 定位尺寸确定几何元素位置的尺寸称为定位尺寸。如圆心和直线相对于坐标系的位置等。 (3) 尺寸基准标注定位尺寸的起点称为尺寸基准。对平面图形而言，有上下和左右两个方向的尺寸基 准，相当于 X、Y 轴，通常以图形中的对称线、较大圆的中心线、较长的直线作为尺寸基准。 3.5.2 平面图形的线段分析 根据所注的尺寸，平面图形中线段（直线和圆弧）可以分为已知线段、中间线段和连接线段三类。现 以图 31 所示的各段圆弧为例分析如下： (1) 已知弧已知半径尺寸和圆心的两个定位尺寸的圆弧称为已知弧。已知弧可直接画出。 (2) 中间弧已知半径尺寸和圆心的一个定位尺寸的圆弧称为中间弧。如图中 R50 的圆弧，其圆心的 X 方向的定位尺寸不知，需要利用与 R10 圆弧的连接关系（内切），才能求出它的圆心和连接点。 (3) 连接弧只知半径尺寸的圆弧称为连接弧，如图中 R12 的圆弧。连接圆弧缺少圆心的定位尺寸，故 需要利用与其相邻的两直线的相切关系才能确定圆心位置， 如 R12 圆弧必须利用与 R50 和 R15 两圆弧的外 切关系才能画出。 3.5.3 平面图形的作图步骤 绘制平面图形的作图步骤是：先画基准线；再按已知线段、中间线段、连接线段的顺序依次画出各线 段；最后检查全图，按各种图线的要求加深，并标注尺寸。 手柄的作图步骤如图 32 所示： ① 画基准线 A、B。 ② 画已知线段（直线和圆弧）。 ③ 画中间弧。作平行并相距 B 均为 15 的两平行线Ⅱ、Ⅲ，然后作Ⅰ、Ⅳ分别平行于Ⅲ、Ⅱ，且相距 均为 50，按内切几何条件分别求出中间弧 R50 的圆心 O1、O2，连 OO1、OO2，求出切点 T1、T2。画出 两段中间弧 R50。 ④ 画连接弧。按外切几何条件分别求出连接弧 R12 的圆心 O3、O4，连 O5O3、O５O４、O２O３、 O１O４，求出切点 T３、 T４、T５、T６。画出两段连接弧 R12。完成底稿。 ⑤ 检查，加深图线，并标注尺寸。图 32 手柄作图步骤 3.5.4 平面图形的尺寸标注 标注平面图形的尺寸，应遵守国家标准的有关规定，并做到不遗漏、不重复。以手柄为例，平面图形 尺寸标注的步骤是：图 33 手柄的尺寸标注 (1) 分析图形各线段的关系，确定已知线段、中间线段和连接线段。 (2) 注出已知线段尺寸，注出已知线段的定形尺寸和两个定位尺寸。 (3) 注出中间线段尺寸，注出中间线段的定形尺寸和一个定位尺寸。 (4) 注出连接线段尺寸，即注出连接线段的定形尺寸。 当若干线段处于光滑连接（相切）关系时，确定每个线段的性质应遵循的规律是：在两个已知线段间， 可有任意个中间线段，但必须有，也只能有一个连接线段。 常见平面图形的尺寸标注示例如表 9 所示： 表 9 常见平面图形的尺寸标注4 绘图的一般步骤 4.1 绘制仪器图 (1) 准备工作 1) 将绘图工具、仪器和绘图桌擦拭干净，削磨好铅笔和铅心。2) 根据图形大小、复杂程度及数量选取标准比例和图幅。 3) 鉴别图纸正面，并将图纸固定在图板左下方适当位置。 (2) 布局 三个图形之间的间隔一般采用 3∶4∶3 布局法，如图 34 所示：图 34 图形布局 (3) 画底稿 1) 用 2H 或 H 的铅笔画底稿，图线要画得细而浅。首先画各图形的基准线，如对称中心线等。 2) 画各图形的主要轮廓。 3) 画细节并完成全图底稿。 4) 画尺寸界线和尺寸线。 5) 检查并擦去多余作图线。 (4) 加深 用 HB 或 B 的铅笔，圆规用 B 或 2B 的铅心，按各种图线的粗细规格加深。同一种宽度图线的加深顺 序为：先圆弧（圆）后直线。同一种图线的粗细应一致。 (5) 注写文本 画箭头、注写尺寸数字、填写标题栏及其他文字。 (6) 整理图纸 校核全图、取下图纸、沿图幅边框裁边。 4.2 绘制草图 草图是一种以目测估计图形与实物的比例，用徒手绘制的图形。绘制草图时，无需精确地按物体各部 分的尺寸，也没有比例规定，只要求物体各部分比例协调。绘制草图是一项很有实用价值的基本技能。绘 制草图时应做到：图线分明、字体工整、比例匀称、图面整洁。 绘制草图一般用 HB 铅笔，铅心磨削成圆锥形。徒手绘制几种图线的方法如下： (1) 徒手画直线 画直线时，执笔要稳，眼睛要注意终点。画较短线时，只运动手腕；画长线运动手臂。画水平线时可 将图纸放成稍向左倾斜，从左向右画；画垂直线时自上而下运笔；画倾斜线时，可适当将图纸转到绘图顺 手的位置。如图 35 所示：图 35 徒手画直线 (2) 徒手画圆及圆弧 画圆时，应定出圆心的位置，过圆心画中心线。画小圆时，可在对称中心线上取四个点，过四点画圆， 如图 36（a）所示。画大圆时，可过圆心增画两条 45° 的辅助斜线，在斜线上再定四点，过八点画圆。如图 36（b）所示。(a)(b)图 36 徒手画圆 画圆弧、椭圆等曲线时，同样用目测定出曲线上若干点，光滑连接即可。如图 37 所示。图 37 徒手画圆角及椭圆第二章 点、直线和平面点、直线和平面是组成物体的基本几何元素。研究和掌握点、直线、平面的投影性质和规律，是学习 物体投影的基础。本章将研究点、直线和平面的投影以及它们之间的关系。 1 点 1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.1 两投影面体系的建立两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成， 如图 1 所示， 其中一个为水平投影面 （简称水平面） ， 以 H 表示，另一个为正立投影面（简称正面），以 V 表示。两投影面的交线称为投影轴，以 OX 表示。 水平投影面 H 与正立投影面 V 将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分角、 第三 分角、 第四分角。 1.1.2 点在两投影面体系中的投影 (1) 投影如图 2 所示，空间点 A 处于第一分角，按正投影法将点 A 向正面和水平面投射，即由点 A 向 正面作垂线，得垂足 a′，则 a′称为空间点 A 的正面投影；由点 A 向水平面作垂线，得垂足 a ，则 a 称为 空间点 A 的水平投影。 画出点 A 的正面投射线 Aa′和水平投射线 Aa 所确定的平面 Aaa′与 V、 H 面的交线 a′ax 和 aax 。图 2 点在两投影面体系中的投影 (2) 注写规定空间点用大写字母表示，如 A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如 a、b、 c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如 a′、b′、c′…。 (3) 投影面展开为了把空间点 A 的两个投影表示在一个平面上，保持 V 面不动，将 H 面的前半部分绕 OX 轴向下旋转 90° 、后半部分绕 OX 轴向上旋转 90° 与 V 面重合。则得到点 A 的两面投影图。 (4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号 V、H 及投影面的边界 线都不需画出。 1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律(a)(b)图 3 点在两投影面体系中的投影规律 (1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于 OX 轴。 在图 3(a)中，点 A 的正面投射线 Aa′和水平投射线 Aa 所确定的平面 Aaa′垂直于 V 和 H 面。根据初等 几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有 aax⊥a′ax、aax⊥OX 和 a′ax⊥OX。当 a 随 H 面旋转重合于 V 面时，aax⊥OX 的关系不变。因此，在投影图上，aa′⊥OX。 (2) 一点的水平投影到 OX 轴的距离等于该点到 V 面的距离； 其正面投影到 OX 轴的距离等于该点到 H 面的距离，即 aax=Aa′；a′ax=Aa。在图 3(a)中，因为 Aaaxa′是矩形，所以 aax=Aa′; a′ax=Aa。 1.1.4 各种位置点的投影 (1) 点在各分角内。 1) 第一分角内点 A，其水平投影 a 在 OX 轴下方，正面投影 a′在 OX 轴上方。 2) 第二分角内点 B，其水平投影 b 在 OX 轴上方，正面投影 b′在 OX 轴上方。 3) 第三分角内点 C，其水平投影 c 在 OX 轴上方，正面投影 c′在 OX 轴下方。 4) 第四分角内点 D，其水平投影 d 在 OX 轴下方，正面投影 d′在 OX 轴下方。 各分角内点的投影如图 4 所示。图 4 分角内点的投影(2) 点在各投影面内。 1) H 面内点 K，其水平投影 k 与该点（K）重合，正面投影 k′在 OX 轴上。 2) H 面内点 M，其水平投影 m 与该点（M）重合，正面投影 m′在 OX 轴上。 3) V 面内点 L，其水平投影 l 在 OX 轴上，正面投影 l′与该点（L）重合。 4) V 面内点 N，其水平投影 n 在 OX 轴上，正面投影 n′与该点（N）重合。 如图 5 所示，投影面内点的投影特点为：点在其所在的投影面上的投影与该点重合；点的另一投影在 OX 轴上。图 5 投影面内点的投影 (3) 点在投影轴上。 点在投影轴上，其水平投影和正面投影与该点重合。如图 6 所示，G 点在 OX 轴上，其水平投影 g 和 正面投影 g'与点 G 重合于 OX 轴上。图 6 投影轴上点的投影 1.2 点在三投影面体系中的投影 1.2.1 三投影面体系的建立 如图 7 所示，三投影面体系是在 V⊥H 两投影面体系的基础上，增加一个与 V、H 投影面都垂直的侧 立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V 面和 H 面的交线为 OX 轴，H 面和 W 面的交线为 OY 轴，V 面和 W 面的交线为 OZ 轴。OX、OY、OZ 轴垂直相交于一点 O， 称为原点。 我们只在第一分角内研究各种问题。图 7 三投影面体系的建立 图 8 点在三投影面体系中的投影 1.2.2 点的三面投影 (1) 投影如图 8 所示，设空间点 A 处于第一分角，按正投影法将点 A 分别向 H、V、W 面作垂线，其 垂足即为点 A 的水平投影 a、正面投影 a′和侧面投影 a″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。 (2) 投影面展开 为了把空间点 A 的三面投影表示在一个平面上，保持 V 面不动，H 面绕 OX 轴向下旋 转 90° 与 V 面重合；W 面绕 OZ 轴向右旋转 90° 与 V 面重合。在展开过程中，OX 轴和 OZ 轴位置不变，OY 轴被“一分为二”，其中随 H 面向下旋转与 OZ 轴重合的一半，用 OYH 表示；随 W 面向右旋转与 OX 轴重 合的一半，用 OYW 表示 。 (3) 擦去边界，得到点的三面投影图擦去投影面边界线，则得到 A 点的三面投影图。 1.2.3 点的三面投影规律 如图 9 所示，三投影面体系可以看成由 V⊥H、V⊥W 两个两投影面体系组成。根据点在两投影面体系 中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为： 1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX 轴，即 a′a ⊥OX； 2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 OZ 轴，即 a′a&⊥OZ； 3) 愕乃?酵队暗?em&OX 轴的距离和点的侧面投影到 OZ 轴的距离都等于该点到 V 面的距离，即 aax=a″az＝Aa′。为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使 aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。而 aax=a″az 可用图 9(b)所示的 以 O 为圆心，aax 或 a″az 为半径的圆弧，或用图 9(c)所示的过 O 点与水平成 45° 的辅助线来实现。(b) (c) 图 9 点在三投影面体系中的投影规律 1.2.4 点的投影的直角坐标表示法 如图 9，如果把三投影面体系看作笛卡尔直角坐标系，则 H、V、W 面为坐标面，OX、OY、OZ 轴为 坐标轴，O 为坐标原点。则点 A 到三个投影面的距离可以用直角坐标表示： 点 A 到 W 面的距离 Aa″=点 A 的 x 坐标值 xA，且 Aa″=aay=a′az=axO； 点 A 到 V 面的距离 Aa′=点 A 的 y 坐标值 yA，且 Aa′=aax=a″az=ayO； 点 A 到 H 面的距离 Aa=点 A 的 z 坐标值 zA，且 Aa=a′ax=a″ay=azO 。 点 A 的位置可由其坐标（xA、yA、zA）唯一地确定。其投影的坐标分别为：水平投影 a（xA，yA，0）； 正面投影 a′（xA，0，zA）；侧面投影 a″（0，yA，zA）。 因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投影，也就等于已知 该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。 【例 1】已知空间点 A(12,8,16)、点 B(8,12,0)、点 C(0,0,10),求作它们的三面投影图。 【解】点 A 的三个坐标都为正值，故点 A 在第一分角内；点 B 的三个坐标中，z=0，即 B 到 H 面的距 离等于零，故点 B 在 H 面内；点 C 的三个坐标中，x=0,y=0,即 C 到 W 面和 V 面的距离都为零，故点 C 在 OZ 轴上。 如图 10(a)所示，求点 A 的三面投影图的步骤如下： (1) 画投影轴； (2) 求 a、a′ ① 由原点 O 向左沿 OX 轴量取 12mm 得 ax； ② 过 ax 作 OX 轴的垂线； ③ 在垂线上自 ax 向下（OYH 方向）量取 8mm 得 a； ④ 在垂线上自 ax 向上(OZ 方向）量取 16mm 得 a′； (3) 求 a″ ① 过 a′作 a′az⊥OZ 轴，交 OZ 轴于 az； ② 过 a 作 aaYH⊥OYH 轴，交 OYH 轴于 aYH，利用 45° 辅助线在 OYW 轴上得 aYW； ③ 自 aYW 向上作 OYW 轴的垂线与 aaz 的延长线交于 a″。 用同样的方法可作出 B 点的三面投影图如图 10(b)所示，C 点的三面投影图如图 10(c)所示。(a)(b) (c) 图 10 由点的坐标作点的三面投影图 【例 2】如图 11(a)所示，已知点 A 的正面投影 a′和侧面 a″，求作该点的水平投影 a。 【解】作图步骤如图 11(b)所示： ① 自 a′向下作 OX 轴的垂线； ② 自 a″向下作 OYW 轴的垂线与 45° 辅助线交于一点，并由该交点作 OYH 轴的垂线，与过 a′垂直于 OX 轴的直线交于 a,a 即为 A 点的水平投影。(a)(a) (b) 图 11 由点的两面投影求其第三面投影 1.3 两点的相对位置 1.3.1 两点相对位置的确定 两点的相对位置是指以两点中的一点为基准，另一点相对该点的左右、前后和上下的位置。点的位置 由点的坐标确定，两点的相对位置则由两个点的坐标差确定。 如图 12（a）所示，空间有两个点 A（xA，yA，zA）、B（xB，yB，zB）。若以 B 点为基准，则两点 的坐标差为 ΔxAB＝xA－xB 、ΔyAB＝yA－yB 、ΔzAB＝zA－zB 。x 坐标差确定两点的左右位置，y 坐标 差确定两点的前后位置，z 坐标差确定两点的上下位置。三个坐标差均为正值，则点 A 在点 B 的左方、前 方、上方。从图 12（b）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。(a) 图 12 两点的相对位置(b)1.3.2 重影点 当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影 面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。 如图 13（a），A、B 两点位于 V 面的同一条投射线上，它们的正面投影 a′、b′重合，称 A、B 两点为 对 V 面的重影点，这两点的 x、z 坐标分别相等，y 坐标不等。同理，C、D 两点位于 H 面的同一条投射线 上，它们的水平投影 c、d 重合，称 C、D 两点为对 H 面的重影点，它们的 x、y 坐标分别相等，z 坐标不 等。(a)(b)图 13 重影点 由于重影点有一对坐标不相等，所以，在重影的投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的 投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。在投影图中，对于重影的投影，在不可 见点投影的字母两侧画上圆括号。如图 13（b），A、B 两点为对 V 面的重影点，它们的正面投影重合，yA ＞yB，点 A 在点 B 的前方，a′可见，表示为 a′；b′不可见，表示为（b′）。C、D 两点为对 H 面的重影点， 它们的水平投影重合，zC＞zD，点 C 在点 D 的上方，c 可见，表示为 c；d 不可见，表示为（d）。 2 直线 本书所述直线一般是指直线段。 空间直线由不重合的两个点确定。直线的方向可用直线对三个投影面的倾角表示。直线对 H、V、W 面的倾角分别为 α、β、γ，如图 14 所示。 2.1 直线的投影 直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点。要作一直线的三面投影图，只要作出该直线的两 个端点 A、B 的三面投影，如图 14 所示，求出 A、B 两点的三面投影，然后将两点的同面投影连接起来， 即得直线的三面投影 ab、a′b′、a″b″。由直线的投影可以确定该直线的空间情况。图 14（b）中点 B 在点 A的右、后、上方，由此可以定性地得知，在空间直线由端点 A 到端点 B 是从左、前、下方到右、后、上方， 如图 14（a）所示。(a)(b)图 14 一般位置直线 2.2 各种位置直线的投影 直线根据其对投影面的位置不同，可以分为三类：一般位置直线、投影面的垂直线、投影面的平行线， 其中后两类直线统称为特殊位置直线。 2.2.1 一般位置直线 一般位置直线是指对三个投影面既不垂直又不平行的直线。 如图 14 所示，直线 AB 对 H、V 和 W 面均处于既不垂直又不平行的位置，AB 为一般位置直线。直线 AB 的三个投影长与其实长的关系如下： ab=ABcosα；a′b′=ABcosβ；a″b″=ABcosγ。 由于一般位置直线对三个投影面的倾角 α、β、γ 既不等于 0° ，也不等于 90° ，所以，其 cosα、cosβ 和 cosγ 均大于 0 且小于 1，因此，AB 的各投影长都小于该直线的实长。 一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，既不反映直线的实长，也不反映对投影面的 倾角。 2.2.2 投影面的垂直线 投影面的垂直线是指垂直于某一个投影面的直线。在三投影面体系中有三个投影面，因此这类直线有 三种：铅垂线――垂直于 H 面的直线、正垂线――垂直于 V 面的直线、侧垂线――垂直于 W 面的直线。 在三投影面体系中，投影面的垂直线垂直于某个投影面，它必然同时平行于其它两投影面，所以这类 直线的投影具有反映直线实长和积聚的特点。 以表 1 中的铅垂线 AB 为例，AB 垂直于 H 面，同时平行于 V、W 面，其投影特性如下。 (1) 水平投影 ab 积聚为一点； (2) 正面投影 a′b′垂直于 OX 轴； 侧面投影 a″b″垂直于 OYw 轴； (3) 正面投影 a′b′和侧面投影 a″b″均反映实长，即 a′b′=a″b″=AB。 同样，正垂线和侧垂线也有类似的投影特性，见表 1。 表１投影面的垂直线总之，投影面垂直线的投影特性为： (1) 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点； (2) 投影面垂直线的另外两面投影分别垂直于该直线垂直的投影面所包含的两个投影轴，且均反映此 直线的实长。 2.2.3 投影面的平行线 投影面的平行线是指只平行于某一个投影面的直线。因为在三投影面体系中有三个投影面，所以这类 直线有三种：水平线――只平行于 H 面的直线、正平线――只平行于 V 面的直线、侧平线――只平行于 W 面的直线。 在三投影面体系中，投影面的平行线只平行于某一个投影面，与另外两个投影面倾斜。这类直线的投 影具有反映直线实长和对投影面倾角的特点，没有积聚性。 以表 2 中的水平线 AB 为例，AB 平行于 H 面，同时倾斜于 V、W 面，其投影特性如下。 (1) 水平投影 ab 反映直线 AB 的实长，即 ab=AB； (2) 水平投影 ab 与 OX 轴的夹角反映直线 AB 对 V 面的倾角 β， 与 OYH 轴的夹角反映直线 AB 对 W 面 的倾角 γ； (3) 正面投影 a′b′平行于 OX 轴， 侧面投影 a″b″平行于 OYW 轴。同样，正平线和侧平线也有类似的投影特性，见表 2。 表 2 投影面的平行线总之，投影面平行线的投影特性为： (1) 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映直线的实长，此投影与该投影面所包含的投影轴的 夹角反映直线对其他两个投影面的倾角； (2) 投影面平行线的另外两面投影分别平行于该直线平行的投影面所包含的两个投影轴。 【例 3】如图 15 所示，根据三棱锥的投影图，判别棱线 SA、SB、SC 及底边 AB、BC、CA 是什么位 置的直线。图 15 三棱锥的三面投影图 【解】棱线 SA 的投影 sa、s′a′、s″a″都倾斜于投影轴，是一般位置直线；棱线 SC 同样也是一般位置 直线；在棱线 SB 的投影中，sb∥OX，s′b′倾斜于投影轴，s″b″∥OZ，因此，SB 是正平线。 在底边 AB 的投影中，ab 倾斜于投影轴，a′b′∥OX，a″b″∥OYW，因此，AB 是水平线；底边 BC 同样 是水平线；在底边 CA 的投影中， ca⊥OX，c′a′积聚为点，c″a″⊥OZ，因此，CA 是正垂线。 2.3 一般位置直线的实长及其对投影面的倾角 一般位置直线的投影既不反映实长，也不反映对各投影面的倾角。在实际应用中，有时需要根据一般 位置直线的投影，求其实长和对投影面的倾角。在投影图上可以利用直角三角形法来解决这一问题。 如图 16（a）所示，AB 为一般位置直线，AB 与其水平投影 ab 的夹角为直线 AB 对 H 面倾角 α。在直 角梯形 ABba 中，过点 A 作 AB0 平行于 ab，△ABB0 为直角三角形。其中，直角边 AB0＝ab，另一条直角 边 BB0 等于 AB 两端点的 z 坐标差，即 BB0＝zB－zA，∠BAB0 为 AB 对 H 面的倾角 α，斜边 AB 即为直线 的实长。在投影图中如果作出这个直角三角形，就可以求出直线的实长及其对投影面的倾角。这种利用特 定直角三角形解决有关直线的实长及其倾角问题的方法称为直角三角形法。(a) (b) 图 16 用直角三角形法求直线的实长和倾角 α (1) 作法 1 ① 以水平投影 ab 为一条直角边，过 b 作 bB0⊥ab，取 bB0 等于 zB－zA；② 连接 aB0，得到直角△abB0。其中斜边 aB0 为 AB 的实长，斜边 aB0 与 ab 的夹角即为 AB 对 H 面 的倾角 α。 (2) 作法 2 ① 在 V 面投影中，过 a′作 OX 轴的平行线，与 bb′交于 b0′，延长 a′b0′，使 b0′A0＝ab； ② 连接 b′A0，得到的直角△b′b0′A0。其中，斜边 b′A0 为 AB 的实长，z 坐标差 b′b0′所对的锐角即为 AB 对 H 面的倾角 α。 同样，利用直线的正面投影和 y 坐标差作为两条直角边也可以求出直线实长及对 V 面的倾角 β，如图 17 所示。图 17 用直角三角形法求直线的实长和倾角 β 若求直线 AB 对 W 面的倾角 γ，应以 a″b″和 xA－xB 为直角边作直角三角形，斜边与 a″b″的夹角即为 γ 角。 【例 4】如图 18(a)所示，已知直线 AB 的正面投影 a′b′及 A 点的水平投影 a，AB=L，求 AB 的水平投 影。(a)(b)图 18 由直线的实长求其投影 【解】在 V 面内，以直线 AB 的正面投影为直角边、直线的实长为斜边作一个直角三角形，该直角三 角形的另一条直角边即为 AB 的 y 坐标差，进而求出 ab。 作图步骤如图 18(b)所示： ① 过 b′作 a′b′的垂线 b′B0，以 a′为圆心、L 为半径在 b′B0 上截取 B0 点，b′B0=│yB－yA│； ② 过 a 作 OX 轴的平行线 ab0，过 b′作 OX 轴的垂线，与 ab0 交于 b0 点；③ 在 b′b0 上截取 b0b1=b0b2= b′B0，得到 b1、b2 两点； ④ 连接 ab1、ab2，即为 AB 的水平投影，本题有两解。 【例 5】如图 19(a)所示，已知直线 AB 对 H 面的倾角 α=30°，AB 的水平投影 ab 及点 A 的正面投影 a′， 求 AB 的正面投影和实长。 【解】在 H 面内，以直线 AB 的水平投影为直角边，以 α 为锐角构造一个直角三角形，该直角三角形 的另一条直角边即为 AB 的 z 坐标差，进而求出 a′b′和实长 AB。(a)(b)图 19 由直线的倾角求其投影和实长 作图步骤如图 19(b)所示： ① 过 b 作 ab 的垂线 bB0，过 a 作∠baB0=30° ，得到直角△abB0，其中 bB0=│zB－zA│，aB0=AB 实 长； ② 过 a′作 OX 轴的平行线 a′b0′，过 b 作 OX 轴的垂线，与 a′b0′交于 b0′点； ③ 在 bb0′上截取 b0′b1′=b0′b2′= bB0，得到 b1′、b2′两点； ④ 连接 a′b1′、a′b2′，即为 AB 的正面投影，本题有两解。 3 点与直线、直线与直线的相对位置 3.1 点与直线的相对位置 3.1.1 点属于直线 点属于直线，则点的各投影必属于该直线的同面投影，且点分直线长度之比等于其投影长度之比。 如图 20（a）所示，点 K 属于直线 AB，则点 K 的水平投影 k 属于直线 AB 的水平投影 ab，点 K 的正 面投影 k′属于直线 AB 的正面投影 a′b′，且 AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′。(a)(b)图 20 点属于直线 反之，若点的各投影分别属于直线的同面投影，且分直线的各投影长度之比相等，则该点必属于该直 线。 如图 20（b）所示， k 属于 ab，k′属于 a′b′，且 ak:kb=a′k′:k′b′，则点 K 必属于直线 AB。 【例 6】如图 21(a)所示，已知直线 AB 的两面投影 ab 和 a′b′，在该线上求点 K，使 AK:KB=1:2。(a)(b)图 21 求点 K 的投影 【解】点 K 在直线 AB 上，则有 AK:KB=a′k′:k′b′=ak:kb=1:2。可以用平面几何的作图方法将 AB 的任一 已知投影三等分后确定点 K 的同面投影，进而求出点 K 的其他投影。 作图步骤如图 21(b)所示： ① 过 a′作任意一条斜线 a′B0。以任意长度为单位长度，在该线上截取三等份，确定 K0，使 a′K0:K0B0=1:2。连线段 b′B0。再过 K0 作 K0k′∥B0b′，交 a′b′于 k′； ② 过 k′作 OX 轴的垂线交 ab 于 k。点 K 即为所求。 【例 7】如图 22(a)所示，已知侧平线 AB 的水平投影和正面投影，以及属于 AB 的点 K 的正面投影 k′， 求点 K 的水平投影 k。(a) (b) (c) 图 22 求侧平线上点 K 的水平投影 【解】可以利用 k′分 a′b′的长度比，在水平投影中作出 ak：kb= a′k′：k′b′，进而求出 k。 作图步骤如图 22(b)所示： ① 过点 a 画任意一条斜线 aB0，截取 aK0=a′k′、K0B0=k′b′； ② 连接 B0b，过点 K0 作 K0k∥B0b，交 ab 于 k。 k 即为所求。 另一种作法如图 22（c）所示，先作出侧面投影 a″b″，再根据点属于直线的投影规律在 a″b″上由 k′求得 k″，最后 在 ab 上由 k″求出 k。 【例 8】如图 23(a)所示，已知侧平线 AB 及点 K 的水平投影 k 和正面投影 k′，判断点 K 是否属于直线 AB。(b) (c) 图 23 判断 K 点是否属于直线 AB 【解】假设点 K 的一个投影已知，另一个投影未知。可以用【例 7】的作法求出未知的投影。如果求 出的投影与所给的投影重合，则点 K 属于直线 AB，反之，点 K 不属于直线 AB。 作图步骤如图 23(b)所示： ① 过点 a 画任一斜线 aB0，且截取 aK0=a′k′、K0B0=k′b′； ② 连接 B0b，过点 K0 作 K0k0∥B0b，且交 ab 于 k0，从图中看出，k0 与 k 不重合。 结论：点 K 不属于直线 AB。 另一种作法 如图 23（c）所示，先作出侧面投影 a″b″，再根据点的投影规律由 k、k′求出 k″。从图中看出，k″不属 于 a″b″，所以得出结论，点 K 不属于直线 AB。 3.1.2 直线的迹点 直线与投影面的交点称为直线的迹点。直线与 H 面的交点称为水平迹点，用 M 表示；与 V 面的交点 称为正面迹点，用 N 表示；与 W 面的交点称为侧面迹点，用 S 表示。 一般位置直线与三个投影面都相交，有三个迹点；投影面平行线与两个投影面相交，有两个迹点；投 影面垂直线与一个投影面相交，只有一个迹点，该迹点与直线积聚的投影重合。 由于迹点是直线与投影面的交点，所以，迹点既属于直线，又属于投影面。迹点的投影特性既具有属 于直线的点的投影特性，同时又具有投影面上的点的投影特性。 在图 24(a)中，直线 AB 的水平迹点 M 属于直线 AB，故 M 的水平投影 m 和正面投影 m′一定分别属于 ab 和 a′b′。水平迹点 M 同时又属于 H 面，因此其水平投影 m 与 M 重合，正面投影 m′在 OX 轴上。同样， 直线 AB 的正面迹点 N 的正面投影 n′属于 a′b′，并与 N 重合，水平投影 n 属于 ab，并在 OX 轴上。(a)(a)(b)图 24 直线的迹点 直线 AB 的水平迹点 M 和正面迹点 N 的投影作图步骤如图 24(b)所示： ① 延长 a′b′与 OX 轴相交，交点即为水平迹点 M 的正面投影 m′； ② 过 m′作 OX 轴的垂线，与 ab 的延长线相交，交点即为水平迹点 M 的水平投影 m。由于 m 与 M 重 合，在投影图上用（M）表示点 M。 ③ 延长 ab 与 OX 轴相交，交点即为正面迹点 N 的水平投影 n； ④ 过 n 作 OX 轴的垂线，与 a′b′的延长线相交，交点即为正面迹点 N 的正面投影 n′。n′与（N）重合。 3.2 直线与直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一平面上，交 叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 3.2.1 平行 若空间两直线互相平行，则其同面投影都平行，且投影长度之比相等，端点字母顺序相同；反之，若 两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。 如图 25(a)所示，因为 AB∥CD，则 ab∥cd、a′b′∥c′d′，且 ab：cd=a′b′：c′d′。(b) (c) 图 25 平行两直线图 26 两直线不平行 如果从投影图上判定两条直线是否平行，对于一般位置的直线和投影面垂直线，只要看它们的任意两 个同面投影是否平行即可。例如图 25（b）中，因为 ab∥cd、a′b′∥c′d′，则 AB∥CD。对于投影面平行线， 如果已知两直线不平行的两个投影面上的投影，则可以利用以下两种方法判断。 方法一： 判断两直线投影长度之比是否相等， 端点字母顺序是否相同， 若相等同时相同则两直线平行。 方法二：求出两直线所平行的投影面上的投影判断是否平行，若平行则两直线平行。 例如图 26 中，AB、CD 是两条侧平线，它们的正面投影及水平投影均互相平行，即 a′b′∥c′d′、 ab ∥cd，但由于字母顺序 a′、b′、c′、d′与 a、b、d、c 不同，因此便可以判定，AB、CD 两直线的空间位置不(a)平行。当然，也可以从它们的侧面投影清楚地看出 a″b″与 c″d″不平行，由此同样得出 AB 与 CD 不平行的 结论。显然，与方法二求第三投影相比，方法一更加简便。 3.2.2 相交 若空间两直线相交，则它们的各个同面投影亦分别相交，且交点的投影符合点的投影规律；反之，如 果两直线的各个同面投影分别相交，且交点的投影符合点的投影规律，则两直线在空间必相交。 如图 27 所示，两直线 AB、CD 交于 K 点；则其水平投影 ab 与 cd 交于 k；正面投影 a′b′与 c′d′交于 k′； kk'垂直于 OX 轴；(a)(b)图 27 相交两直线 如果从投影图上判定两条直线是否相交，对于一般位置的直线和投影面垂直线，只要看它们的任意两 个同面投影是否相交且交点的投影是否符合点的投影规律即可。 例如图 27(b)中， 因为 ab 与 cd 交于 k， a′b′ 与 c′d′交于 k′，且 kk′⊥OX，则空间 AB 与 CD 相交。当两直线中有一条为投影面平行线，且已知该直线不 平行的两个投影面上的投影时，则可以利用定比关系或求第三投影的方法判断。如图 28(a)所示，点 K 在 直线 AB 上，但是，由于 ck：kd≠c′k′：k′d′，点 K 不在直线 CD 上，所以，点 K 不是两直线 AB 与 CD 的共 有点，即 AB 与 CD 不相交。图 28（b）中求出了侧面投影，从图中可以看出，虽然两直线 AB 与 CD 的三 个投影都分别相交，但是，三个投影的交点不符合一点的投影规律，因此直线 AB 与 CD 在空间不相交。(a)(b)图 28 两直线不相交 3.2.3 交叉 在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉直线或异面直线。因此，在投影图上，既不符合两直线平 行的投影特性，又不符合两直线相交的投影特性的两直线即为交叉直线。(a)(b)图 29 交叉两直线 如图 29(a）所示，a′b′∥c′d′，但是，ab 不平行于 cd，因此，直线 AB、CD 是交叉直线。 图 29(b)中，虽然 ab 与 cd 相交，a′b′与 c′d′相交，但它们的交点不符合点的投影规律，因此，直线 AB、 CD 是交叉直线。ab 与 cd 的交点是直线 AB 和 CD 上的点Ⅰ和Ⅱ对 H 面的重影点，a′b′与 c′d′的交点是直线 AB 和 CD 上的点Ⅲ和Ⅳ对 V 面的重影点。 交叉两直线可能有一对或两对同面投影互相平行，但绝不会三对同面投影都平行，如图 26 和图 29(a) 所示。 交叉两直线可能有一对、 两对甚至三对同面投影相交， 但是同面投影的交点绝不符合点的投影规律， 如图 28 和图 29(b)所示。 【例 9】如图 30(a)所示，作直线 KL 与已知直线 AB、CD 相交，且与 EF 平行。(a) (b) 图 30 作直线与两直线相交且平行于另一直线 【解】由图 30(a)可知，直线 CD 是铅垂线，其水平投影积聚为点 c（d）。所求直线 KL 与 CD 相交， 交点 L 的水平投影 l 与点 c（d）重合。又因为 KL 与已知直线 EF 平行，所以，kl∥ef，且与 ab 交于 k 点。 再由点线从属关系和平行直线的投影特性，可以求出 k′l′。 作图步骤如图 30(b)所示： ① 在点 c（d）处标出（l），过此点作 kl∥ef，且与 ab 交于 k 点，kl 为所求直线的水平投影； ② 过 k 作 kk′⊥OX，与 a′b′交于 k′； ③ 过 k′作 k′l′∥e′f ′，与 c′d′交于 l′，k′l′为所求直线的正面投影。 3.3 直角投影定理 直角投影定理：空间互相垂直的两直线，如果其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影 面的投影仍为直角。反之，若两直线在某投影面上的投影互相垂直，且其中一直线平行于该投影面，则两 直线在空间必互相垂直。如图 31(a)所示，AB、BC 为相交成直角的两直线，其中 BC 为水平线，AB 为一般位置直线。因为 BC ⊥Bb，BC⊥AB，所以 BC 垂直于平面 ABba；又因为 BC∥bc，所以 bc 也垂直于平面 ABba。 根据立体几 何定理，bc 垂直于平面 ABba 上的所有直线，故 bc⊥ab，其投影图如图 31(b)所示。(a)(b)图 31 垂直相交两直线的投影 如图 31(b)所示，因为 bc⊥ab，同时 BC 为水平线，则空间两直线 AB⊥BC。 直角投影定理不仅适用于相交两直线，同样也适用于交叉两直线。 交叉两直线的夹角可以用相交两直线的夹角度量。图 32 中，AB、CD 为交叉两直线，过 B 点作 BE∥ CD，∠ABE 就是交叉两直线 AB、CD 的夹角。 如图 33(a)所示，交叉两直线 AB、CD 互相垂直，其中 AB 为水平线，CD 为一般位置直线。过 AB 的 端点 B 作 BE∥CD，则∠abe=90° ，又因为 cd∥be，故 cd⊥ab，其投影图如图 33(b)所示。(a) (b) 图 32 交叉两直线的夹角 图 33 垂直交叉两直线的直线 如图 33(b)所示，因为 cd⊥ab，同时 AB 为水平线，则空间两直线 AB⊥CD。 【例 10】在图 34(a)中，已知点 A 及水平线 BC 的水平投影和正面投影，求点 A 到水平线 BC 的距离。(a)(b)图 34 求点 A 到直线 BC 的距离 【解】由直线外一点向该直线作垂线，点到垂足的长度即为点到直线的距离。此题应作出距离的投影 和实长。设点 A 到 BC 的距离为 AK。由于 BC 为水平线，根据直角投影定理，ak⊥bc。 作图步骤如图 34(b)所示： ① 过 a 作 ak⊥bc，垂足为点 k； ② 过 k 作 kk′⊥OX，与 b′c′交于点 k′； ③ 连接 a′k′，得到距离的正面投影； ④ 用直角三角形法求 AK 的实长。 【例 11】图 35(a)中，已知直线 AB 和点 C 的两面投影，过点 C 作一投影面平行线垂直于直线 AB。(b) (c) 图 35 过点作投影面平行线垂直于已知直线 【解】AB 为一般位置直线，根据直角投影定理，与 AB 垂直的投影面平行线在其所平行的投影面上的 投影一定与 AB 的同面投影垂直。 ① 如图 35(b)所示，过点 C 作正平线 CD 与 AB 垂直。即过 c 作 cd∥OX，过 c′作 c′d′⊥a′b′，cd、c′d′ 就是所求直线的投影。 ② 如图 35(c)所示，过点 C 作水平线 CE 与 AB 垂直。 4 平面 4.1 平面的表示法 在空间平面可以无限延展，几何上常用确定平面的空间几何元素表示平面，平面的投影也可以用确定 该平面的几何元素的投影来表示。在投影图中表示平面有以下两种方法。 4.1.1 一般几何元素表示法 如图 36 所示，在投影图上，平面的投影可以用下列任何一组几何元素的投影来表示。(a)(c) (d) (e) 图 36 用几何元素的投影表示平面的投影 ① 不在同一直线上的三个点，如图 36(a)所示； ② 一直线与该直线外的一点，如图 36(b)所示； ③ 相交两直线，如图 36(c)所示； ④ 平行两直线，如图 36(d)所示； ⑤ 任意平面图形(如三角形，圆等)如图 36(e)所示。 图 36 所示的表示平面的五种形式都是从第一种演变而来，它们之间可以互相转换。 4.1.2 迹线表示法 平面与投影面的交线称为平面的迹线。迹线是属于平面的一切直线迹点的集合。在图 37(a)中，平面 P 与 H 面的交线称为水平迹线，用 PH 表示；平面 P 与 V 面的交线称为正面迹线，用 PV 表示；平面 P 与 W 面的交线称为侧面迹线，用 PW 表示。PH、PV、PW 之间的交点 PX、PY、PZ 称为迹线集合点，分别位 于 OX、OY、OZ 轴上。(a)(b)(a)(b)图 37 用平面的迹线表示平面 迹线是平面上的直线，完全可以用两条或三条迹线表示平面。 平面的迹线既属于平面，又属于投影面，因此，迹线的一个投影必然与迹线本身重合，另外两个投影 分别与投影轴重合。在投影图中，一般只用与迹线本身重合的投影表示平面，不画与投影轴重合的投影。 如图 37(b)所示，用 PH、PV、PW 表示平面 P。 应该指出，用以上两种方法表示同一平面是可以互相转化的。用迹线表示平面实际上也是用几何元素 表示平面，只不过前者是后者的特例。 4.2 各种位置平面的投影 平面根据其对投影面的相对位置不同，可以分为三类：一般位置平面、投影面的垂直面、投影面的平 行面，其中后两类统称为特殊位置平面。 4.2.1 一般位置平面 一般位置平面是指对三个投影面既不垂直又不平行的平面， 如图 38(a)所示。 平面与投影面的夹角称为 平面对投影面的倾角，平面对 H、V 和 W 面的倾角分别用 α、β 和 γ 表示。由于一般位置平面对 H、V 和W 面既不垂直也不平行，所以它的三面投影既不反映平面图形的实形，也没有积聚性，均为类似形，如图 38(b)所示。(a) 图 38 一般位置平面(b)4.2.2 投影面的垂直面 投影面的垂直面是指只垂直于某一投影面的平面。在三投影面体系中有三个投影面，所以投影面的垂 直面有三种：铅垂面――只垂直于 H 面的平面、正垂面――只垂直于 V 面的平面、侧垂面――只垂直于 W 面的平面。 在三投影面体系中，投影面的垂直面只垂直于某一个投影面，与另外两个投影面倾斜。这类平面的投 影具有积聚的特点，能反映对投影面的倾角，但不反映平面图形的实形。 以表 3 中的铅垂面为例，平面 P（△ABC）垂直于 H 面，同时倾斜于 V、W 面，其投影特性如下。 （1）用平面图形△ABC 表示的铅垂面的投影特性 1) 水平投影 abc 积聚为一条直线，该直线与 OX 轴、OYH 轴的夹角分别反映平面与 V 面、W 面的倾 角 β、γ； 2) 正面投影和侧面投影均为△ABC 的类似形。 （2）用迹线表示的铅垂面的投影特性 1) 水平迹线 PH 为铅垂面的积聚性投影，PH 与 OX 轴、OYH 轴的夹角分别反映平面与 V 面、W 面的 倾角 β、γ； 2) 正面迹线 PV⊥OX，侧面迹线 PW⊥OYW。 同样，正垂面和侧垂面也有类似的投影特性，见表 3。 表 3 投影面的垂直面总之，用平面图形表示的投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，该直线与投影轴 的夹角反映平面对另两个投影面的倾角；另外两面投影均为类似形。 4.2.3 投影面的平行面 投影面的平行面是指平行于某一个投影面的平面。在三投影面体系中有三个投影面, 所以投影面的平 行面有三种：水平面――平行于 H 面的平面、正平面――平行于 V 面的平面、侧平面――平行于 W 面的 平面。 在三投影面体系中，投影面的平行面平行于某一个投影面，与另外两个投影面垂直。这类平面的一面 投影具有反映平面图形实形的特点，另两面投影有积聚性。 以表 4 中的水平面为例，平面 P（△ABC）平行于 H 面，同时垂直于 V、W 面，其投影特性如下。 （1）用平面图形△ABC 表示的水平面的投影特性 1) 水平投影△abc 反映平面图形的实形； 2) 正面投影和侧面投影均积聚为直线，分别平行于 OX 轴和 OYW 轴。 （2）用迹线表示的水平面的投影特性 1) 正面迹线 PV 和侧面迹线 PW 均为该水平面的积聚性投影。且分别平行于 OX 轴和 OYW 轴；2) 没有水平迹线 PH 同样，正平面和侧平面也有类似的投影特性，见表 4。 表 4 投影面的平行面总之，用平面图形表示的投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映实形；其余两面投影均积聚为 直线，且分别平行于该投影面所包含的两个投影轴。 4.3 属于平面的点和直线 4.3.1 属于平面的点 由立体几何可知：若点属于平面，则该点必属于该平面内的一条直线；反之，若点属于平面内的一条 直线，则该点必属于该平面。如图 39(a)所示，平面 P 由相交两直线 AB、BC 确定，M、N 两点分别属于直 线 AB、BC，故点 M、N 属于平面 P。(a)(b)图 39 平面上的点 在投影图上，若点属于平面，则该点的各个投影必属于该平面内的一条直线的同面投影；反之，若点 的各个投影属于平面内一条直线的同面投影，则该点必属于该平面。如图 39(b)所示，在直线 AB、BC 的 投影上分别作 m、m′、n、n′，则空间点 M、N 必属于由相交两直线 AB、BC 确定的平面。 4.3.2 属于平面的直线 由立体几何可知：若直线属于平面，则该直线必通过该平面内的两个点，或该直线通过该平面内的一 个点，且平行于该平面内的另一已知直线；反之，若直线通过平面内的两个点，或该直线通过该平面内的 一个点，且平行于该平面内的另一已知直线，则该直线必属于该平面。 如图 40(a)所示，平面 P 由相交两直线 AB、BC 确定，M、N 两点属于平面 P，故直线 MN 属于平面 P。 在图 40(b)中，L 点属于平面 P，且 KL∥BC，因此，直线 KL 属于平面 P。(a)(b)(c)(d)图 40 平面上的点 在投影图上，若直线属于平面，则该直线的各个投影必通过}