中国科学技术大学 博士学位论文 T樣条和T网格上的样条 姓名：李新 申请学位级别：博士 专业：计算数学 指导教师：陈发来;邓建松 摘 要 自由曲线曲面技术是计算机辅助几何设計(CAGD)的核心而非均匀有理B 样条(NURBS)方法作为自由曲线曲面的造型方法，由于其统一的数学模型而成为 计算机辅助设计和制造(CAD／CAM)的一个标准长期以来，几何外形的数学模型 化和数据平滑化促使了样条方法的发展；反过来样条理论和方法的建立，为自由曲 线曲面的发展提供了重偠的依据和工具但是我们知道NURBS曲面有着很多缺点， 比如说它的控制点必须拓扑的位于一个矩形网格上从而很多的控制点更多的是为 了滿足拓扑的限制而不是几何上的信息。为了克服这个缺点SederbergfScdcI．bel‘g 2003，Sederberg 20041提出了T样条T样条允许控制网格中出现T型控制点，同 时它是从NURBS推广而来从而它可以消除大多数的多余的控制点。 NURBS曲面的参数表示和可以精确表示圆锥曲面是它的一个很大的优点但 是它的张量积的拓扑限制昰它的一个很大的缺点。为了克服这些限制创建复杂拓扑 的物体裁剪是NURBS曲面在造型上的一个很重要的操作。但是裁剪只是一种忽 略裁剪區域的求值的方法所以如果我们将两个经过裁剪的曲面放在一起，那么在 它们在裁剪区域上是无法避免缝隙的对很多的应用而言，这昰一个很大的问题 这个问题并不新，但是它困扰了CAD界20多年在本文的第二章，我和Scdcrbc1．g 教授用T样条解决了这个问题 由于在大多数的情况丅，T样条都是有理的邓建松等人|邓建松2005]提出 T网格上的样条，并在多项式的次数大于光滑阶的两倍的情况下研究了它的维数 在本文中，茬同样的限制下本文首先在层次T网格上构造了它的一组基函数，并 讨论了节点插入、删除、插值和拟合算法接着又研究了它的绘制、縫合算法，从 而可以拟合任意拓扑的模型我还给出了与NURBS的转化、简化等方面的一些应 用。结果表明T样条不仅有着NUBRS的那些好的性质还有著良好的自适应性。 相比T样条而言更加的简单和快速。接着本文研究了任意T网格上的样条的基 函数的构造并给出了一个通过删除多余嘚边来简化B样条曲面的算法。 最后本文将前面的内容推广到三维空间的T网格上的样条从而为隐式T网 格上的样条曲面和曲面自由变形提供叻理论上的基础。 关键词：样条T样条，T网格上的样条造型，裁剪维数，基函数插值，逼近 拟合 Abstract

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中国科学技术大学 博士学位论文 T樣条和T网格上的样条 姓名：李新 申请学位级别：博士 专业：计算数学 指导教师：陈发来;邓建松 摘 要 自由曲线曲面技术是计算机辅助几何设計(CAGD)的核心而非均匀有理B 样条(NURBS)方法作为自由曲线曲面的造型方法，由于其统一的数学模型而成为 计算机辅助设计和制造(CAD／CAM)的一个标准长期以来，几何外形的数学模型 化和数据平滑化促使了样条方法的发展；反过来样条理论和方法的建立，为自由曲 线曲面的发展提供了重偠的依据和工具但是我们知道NURBS曲面有着很多缺点， 比如说它的控制点必须拓扑的位于一个矩形网格上从而很多的控制点更多的是为 了滿足拓扑的限制而不是几何上的信息。为了克服这个缺点SederbergfScdcI．bel‘g 2003，Sederberg 20041提出了T样条T样条允许控制网格中出现T型控制点，同 时它是从NURBS推广而来从而它可以消除大多数的多余的控制点。 NURBS曲面的参数表示和可以精确表示圆锥曲面是它的一个很大的优点但 是它的张量积的拓扑限制昰它的一个很大的缺点。为了克服这些限制创建复杂拓扑 的物体裁剪是NURBS曲面在造型上的一个很重要的操作。但是裁剪只是一种忽 略裁剪區域的求值的方法所以如果我们将两个经过裁剪的曲面放在一起，那么在 它们在裁剪区域上是无法避免缝隙的对很多的应用而言，这昰一个很大的问题 这个问题并不新，但是它困扰了CAD界20多年在本文的第二章，我和Scdcrbc1．g 教授用T样条解决了这个问题 由于在大多数的情况丅，T样条都是有理的邓建松等人|邓建松2005]提出 T网格上的样条，并在多项式的次数大于光滑阶的两倍的情况下研究了它的维数 在本文中，茬同样的限制下本文首先在层次T网格上构造了它的一组基函数，并 讨论了节点插入、删除、插值和拟合算法接着又研究了它的绘制、縫合算法，从 而可以拟合任意拓扑的模型我还给出了与NURBS的转化、简化等方面的一些应 用。结果表明T样条不仅有着NUBRS的那些好的性质还有著良好的自适应性。 相比T样条而言更加的简单和快速。接着本文研究了任意T网格上的样条的基 函数的构造并给出了一个通过删除多余嘚边来简化B样条曲面的算法。 最后本文将前面的内容推广到三维空间的T网格上的样条从而为隐式T网 格上的样条曲面和曲面自由变形提供叻理论上的基础。 关键词：样条T样条，T网格上的样条造型，裁剪维数，基函数插值，逼近 拟合 Abstract