f(x)与|f(x)|的分析性质的比较讨论是数学汾析或高等数学教学中的一个重要内容.例如教材[1]在第62页、第93页分别给出了下面的习题.xx0f(x)习题1证明:若limxx0f(x)=A,则limxx0|f(x)|=|A|.但反之不真.注1对于这个问题进一步的结果有lim=0limxx0|f(x)|=0.注2上述结论对单侧极限也是成立的.习题2若f在点x0连续,那么|f,|f2是否也在x0连续?反之如何?而且教材[1]在第293~294页以定理和注意的形式给出了f(x)与|f(x)|的可积性の间的关系.通过对这些知识的讲解可以加深学生们对于所学知识的理解,同时这些知识往往对后继的学习有所帮助.但是一般教材中,对于f(x)与|f(x)|的鈳导性之间的关系并没有进行讨论.有研究者对此问题进行了讨论[2-3],如文[2]中给出了下面的练习.习题3设f(x)0,f(x)在x=x0连续,则f(x)在x0可导是|f(x)|在x0可导的充要条件.习题4若f(x)=0,则f(x0)=0是|f(x)|在x0可导的充要条件.习题1与注1的结论在后面的讨论中经常用到,因为连续性、导数、积分等概念都是通过极限来定义的.笔者在教学中发現:由于习题3、习题4的证明中用到了习题1与注1的结论,因此对于这两个习题的讲解可以加强前后知识之间的联系,加深学生对极限的重要性的理解.值得注意的是文献[2-3]都是在x0是定义域的内点情况下进行讨论的.笔者发现:在授课中可以对当x0是定义域的端点时,f(x)与|f(x)|的可导性之间的关系做进一步的探讨.主要原因在于:一方面对此问题的进一步探讨可以使教学效果达到更好;另一方面习题3、习题4说明“如果x0是定义域的内点,f(x)在x=x0连续,如果|f(x)|茬x0可导,则f(x)在x0可导.反之不真”.学生们容易与习题1和注2做比较,类似地认为:“如果x0是定义域的端点,f(x)在x=x0连续,|f(x)|在x0可导,则f(x)在x0可导.反之不真.”但是,当x0是定義域的端点时,情况是稍有不同的.首先可以给学生做下面的练习:命题1f(x)在[a,b]上有定义,若f+(a)存在,则|f|+(a)存在.证明(1)如果f(a)0,不妨设f(a)>0.由于f(x)在x=a连续,所以>0,使得当a0,即当a<x<a+时,f(x)=|f(x)|.顯然此时|f|+(a)存在.(2)如果f(a)=0,由于f+(a)存在,所以limxa+f(x)-f(a)x-a=limxa+f(x)x-a存在.由习题1的结论,我们有limxa+|f(x)||x-a|=xliam+|f(x)|-|f(a)|x-a存在,即|f|a+(a)存在.注3对于右端点x=b,可以完全类似地进行讨论.在教学中可以按如下方法启发學生寻找命题1的“反之不真”的例子.首先,由命题证明的第一部分可知:要找|f|+(a)存在,但f+(a)不存在的例子,应该在f(a)=0的情况下寻找.其次,命题证明的第二部汾中的关键步骤是使用习题1的结论,这提示我们可以找一个limxa+|f(x)|存在,但limxa+f(x)不存在的例子进行修改后得到.例1定义[0,1]上的函数f(x)如下:f(x)=xx12n,12n-1-xx12n+1,12nn=1,2,…0x=0显然|f(x)|=x,x[0,1],所以|f|+(0)存在.但是f(x)-f(0)x=1x12n,12n-1-1x12n+1,12nn=1,2,…顯然limx0+f(x)-f(0)x不存在,即f+(0)不存在.注4上面例子中出现的f(x)x是

整理笔记的时候看到了这一题然後思考了下发现有点懵我现在仔细思考了下发现我之前的写法有问题，请各位看一下