分离变量法用于求解偏微分方程和边界条件都是线性和齐次的情形。

u的线性方程具有形式：
L(u)=f, 其中L是一个线性算子，f是已知的。

在L(u)=f,中，如果f=0,则该方程称为齐次线性方程。检验一个方程是否为齐次方程最简单的办法就是，将恒等于0的函数带入，如果满足，则为齐次方程。

以上讨论同样适用于边界条件。一定要注意分离变量法的使用条件。

首先研究一维无热源问题，方程如下，这是一个方程和边界条件都是齐次线性的问题，可以使用分离变量法求解。

这里先不考虑初始条件。（2.3.4）必须满足2.3.1和2.3.2。

将（2.3.4）带入（2.3.1），并在两段同时除以可以分离变量：

两边要相等，只能等于一个相同的常数。

其中，λ是一个任意常数，称为分离常数。负号是为了方便才引入的，后面会解释。
这样，（2.3.7）衍生出两个常微分方程，一个是关于时间的不定常方程，一个是关于空间的。

当G(t)=0, u(x,t)=0,它显然满足齐次方程，但是没多少意义，这称为平凡解。我们要寻找非平凡解。因此，边界条件变化为：

先求解关于时间的不定常方程（2.3.9）。这是一个常系数的一阶齐次线性常微分方程。几乎所有的常系数（线性和齐次的）常微分
方程都可以通过寻找指数形式\(G=e^{rt}\)的解来求解。通过代换，特征多项式为\(r=-{\lambda}k\),因此，得到方程（2.3.9）的通解为：
从这个式子我们发现，由于热传导问题的解不会随时间依指数增长，因此，\(\lambda>=0\)，这就显示了在分离常数中引入负号的方便之处。

乘积解中的\(\phi (x)\)满足带有两个齐次边界条件的二阶常微分方程：

没有简单的理论保证这类问题的解存在或解是唯一的。另外注意到\(\phi (x) \equiv 0\)是上述方程的平凡解。幸运的是，当\(\lambda\)去某些特殊值时，该方程还有非平凡解。这些\(\lambda\)值称为特征值，对应的非平凡解\(\phi (x)\)称为特征函数。
这部分的详细介绍可以参照笔记“高阶线性微分方程”，这里简述如下：

暂时忽略第四种情况（第5章会证明）

这里c2是任意常数，通常为c2选择一个方便的值，例如1.不过应该记住，任何特定的特征函数总可以用任意常数相乘，因为偏微分方程和边界条件都是线性和齐次的。

以上过程求得了\(\phi(x)\)和\(G(t)\)，以及对应的特征值，下面可以写出乘积解形式：

如果u1,u2...un是一个齐次线性问题的解，那么这些解的线性组合仍然是该齐次线性方程的解。所以，对任意有限M：

对于每个解，振幅\(B_n\)都是不同的。现在考虑初值条件，如果初始条件：

即初始条件为合适的正弦函数的有限和，热传导方程是可以求解的。通常当\(f(x)\)不满足该条件时，傅里叶级数理论指出

（7）使用初始条件及特征函数正交性确定系数

以向量的观点看待函数，定义
若一个函数集中的每个元素都与其他元素正交，则称之为正交函数集。

正弦平方或余弦平方在一个全周期内的均值为1/2, 因此在正弦或余弦平方的任意多个全周期内的积分等于该区间长度的一半。

利用奇偶函数特性，可知：（注意积分限的不同）

以上就是分离变量法的步骤，应该理解而不是死记硬背。另外需要记住：

• 对偏微分方程的解应用叠加原理，不是累加不同常微分方程的解
• 在使用叠加原理之后再应用初始条件。

在很多问题中，这个具体的简单常系数微分方程
构成了边值问题的基本部分，现总结如下表。需要注意，在这些情形中，只要\(\lambda = 0\)是特征值，常数就是特征函数（在

可以看到使用叠加原理将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。

可以看到，关于y的两个边界为齐次边界条件，因此先求解y的，分离变量的：

（为了求解齐次边界条件h(L)=0,使用了如下无关解）

现在由非齐次条件求解系数：

利用正弦函数的正交性可以得到系数公式：

通过物理原因找到边界条件：

通过连续性可得：周期性条件

从以上可以看到矩形及圆形区域内的拉普拉斯方程求解过程，都是先从齐次条件入手，利用分离变量法求解部分乘积。然后使用非齐次边界条件确定系数，最终得到通解。

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 湖南省郴州市学年高二下学期数学期末考试试卷 一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.设集合 A={x|-3<x<2} ， 4.刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形如图1所示，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)分配到 A ， B ， C 三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 A 地区，则分配方案共有（??? ） A.264种B.224种C.200种D.236种 8.已知函数 f(x)={logax,x>0|x+3|,-4≤x<0 （ a>0 且 a≠1 ）．若函数 A.(0,14)B.(0,14) 二、多选题(每小题4分，共20分) 9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 x甲 ? x乙 ，则（????? A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B.甲的成绩比乙稳定C.x甲 一定大于 x乙 10.已知 b<a<0 ，则下列结论一定正确的是（??? ） A.a2<b2B.ba+

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《简明线性代数》 - 丘维声教授 https:///p/ 内含B站的一组线性代数教学视频，讲的超级通俗易懂

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利用向量的加法运算和数乘运算，我们可以把数域K上的n元线性方程组：

则该线性方程组可写成：

于是，数域K上的线性方程组有解，等价于下面两种表达：

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0x2：线性相关与线性无关的向量组

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