将下面的八进制数转换成二进制数和十六进制数：　　(a)1　　(c)==1EB4F16(e)==　　将下面的十六进制数转换成二进制数和八进制数：　　(a)=112=　　(c)ABCD16==　　(e)==8　　将下面的数转换成十进制：　　(e)=(f)F3A516=(g)1XX3=13810(i)71568=　　完成下面的数制转换：　　(e)13210=(f)=5D2B16(g)72710=(i)=26338　　将下面的二进制数相加，指出所有的进位：　　解：　　利用减法而不是加法重复训练题，指出所有的借位而不是进位。解：　　将下面的八进制数相加：　　解：　　将下面的十六进制数相加：　　解：　　写出下面每个十进制数的8位符号—数值、二进制补码、二进制反码表示：+25、+120、+82、?42、?6、?111。　　解：对正数来说，规定其符号—数值、二进制补码、二进制反码表示相同，符号位为0。对负数，规定其符号—数值码为对应整数的符号—数值码符号位取反，其二进制补码为对应整数的补码，其二进制反码为对应整数的反码。　　比如，十进制数2510用二进制表示为，所以+210用8位符号—数值、二进制补码、二进制反码表示均为；　　十进制数?4210用8位符号—数值、二进制补码、二进制反码表示均为、、。指出下面8位二进制补码相加时是否发生溢出：　　(c)+　　解：　　加数符号相同，和的符号与加数符号相同，无溢出　　加数符号相同，和的符号与加数符号相同，无溢出。　　加数符号相同，和的符号与加数符号不同，有溢出。　　加数符号相同，和的符号与加数符号不同，有溢出　　下面每个算术运算至少在某一种计数制中是正确的。试确定每个运算中操作数的基数　　可能是多少？　　(a)66(b)41/3=13　　(c)33/3=11(d)23+44+14+32=223(e)302/20=(f)　　解：对任意基数表示的数，其对应的十进制值可以由公式D?　　41?5　　i??n　　?d　　p?1　　i　　?ri得到。设操作数基　　数为r，将等号两边变为十进制数的运算，有：　　(a)等式左边=1?r3+2?r2+3?r1+4?r0+5?r3+4?r2+3?r1+2?r0=6?r3+6?r2+6?r1+6?r0，　　等式右边=6?r3+6?r2+6?r1+6?r0=等式左边，　　数码最大值为6，所以，基数为大于6的整数。　　4?r?1　　?1?r?3，可得4?r+1=3?r+9，所以基数r为8。33?r?3　　(c)由?1?r?1，可得3?r+3=3?r+3，等式始终成立；又因为每位数码最大值　　3　　(b)由　　为3，所以基数r为大于3的整数。　　(d)由等式2?r+3+4?r+4+1?r+4+3?r+2=2?r2+2?r1+3?r0，可得r=5或r=-1，所以基数为5。　　3?r2?2　　(e)由?1?r?2?r?1，可得基数r为4。　　2?r　　(f)由　　4?r?1?5，可得基数r为6。　　对火星的首次探险发现的仅仅是文明的废墟。从石器和图片中，探险家们推断创造这些文明的生物有四条腿、其触角末端长着一些抓东西的“手指”。经过很多研究后，探险家们终于能够翻译火星人的数学，他们发现了下面的等式：5x?50x?125?0所指出的解为x?5和x?8。其中x?5这个解看上去非常和例，但是x?8这个解就需要某些解释。于是，探险家们反思了地球的计数体制发展，并且发现了火星的计数体制也有类似历史发展的证据。你认为火星人有几个手指？　　解：5x?50x?125?0为非十进制下的等式，将它变为十进制，即　　2　　2　　5x2?5?r?x?1?r2?2?r?5?0对x=5和x=8均成立。　　对x=5等式成立，可得：r=13或r=10；对x=8等式成立，可得：r=13或r=25；所以：r=13。外星人有13个手指。　　试说明：通过符号位扩展，可以用更多的数位来表示二进制补码数。也就是说，对给定的n位二进制补码数，当m>n时，x的m位二进制补码表示就等于在x的n位补码左位添加个符号位，即扩展的各位均以符号位填充。　　证明：已知　　X?xn?1xn?2?x1x0,Y?ym?1ym?2?y1y0,m?n?d,并且　　ym?1?ym?2???yn?1?xn?1，yn?1yn?2?y1y0?xn?1xn?2?x1x0，因为X、Y均为补码　　表示，所以X??2　　n?1　　?xn?1??xi?2i　　i?0i　　m?1　　m?2　　n?1　　n?2　　Y??2　　m?1　　?ym?1??yi

上一次，我介绍了一些。

有了这些知识，我们就可以看懂。这是目前地球上最重要的加密算法。

我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？

第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。

爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

第二步，计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。

爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

这个方程可以用求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。  

实际应用中，公钥和私钥的数据都采用格式表达（）。

七、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：

　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。

　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。

　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

它等于这样两个质数的乘积：

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

（1）加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。

所谓"加密"，就是算出下式的c：

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：

于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

（2）解密要用私钥(n,d)

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥() 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是()，那么，爱丽丝算出

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

于是，c可以写成下面的形式：

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

（2）m与n不是互质关系。

此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

这时t必然能被p整除，即 t=t'p

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1、整数和小数的数位、计数单位及进率1、（1）整数、小数的数位顺序表整数部分小数点小数部分 亿 级万 级个 级.十分位百分位千分位万分位数位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位十亿亿千万百万十万万千百十一（个）十分之一百分之一千分之一万分之一（1） 计数单位： 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿 数位：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位 数级：四位一分级，分为个级、万级、亿级 注：（1）个位、十位、百位、千位是个级，表示的是多少个一。 （2）万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示的是多少个万。 （3

2、）亿位和亿位以上的数位是亿级，表示的是多少个亿。 每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。如10个一是十，10个十是一百，10个一千是一万 最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。（2）数位和计数单位的记忆区别：数位有个“位”字，计数单位没有“位”字。（3）数位和位数：计数单位所占的位置叫做数位。如个位、十位、百位；一个自然数含有多少个数位，就是几位数。2、整数和小数的读写（1）整数的读法：第一步要分级，用线隔开，从高位到低位一级一级地往下读。读亿级或万级的数时要按照个级的读法来读，再在后面加上“亿”字或“万”字。每级末尾的0都不读出来，每级数位中

3、间有一个0或者连续有几个0，都只读一个零。（2）整数的写法：从高位到低位，一级一级往下写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。（3）小数的读法：整数部分按整数的读法读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分按顺序读出每一个数位上的数。（4）小数的写法：整数部分按整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位的右下角，小数部分顺次写出每个数位上的数字。3、整数、小数的改写和取近似值（1）数的改写：数的大小不变，用“”。改写成用“万”作单位：把小数点点在“万”位后面，同时写上“万”字。 改写成用“亿”作单位：把小数点点在“亿”位后面，同时写上“亿”字。 改写成

4、用“一”作单位：A、原来是用“万”作单位的，先去掉“万”字，再扩大10000倍（即把小数点向右移动4位）。B、原来是用“亿”作单位的，先去掉“亿”字，再扩大倍（即把小数点向右移动8位）。（2）求近似值：数的大小改变，用“”。“四舍五入”法：省略尾数的最高位满5的，要向前一位进1，不满5的要舍去。 进一法：省略尾数的最高位不管满不满5，都要向前一位进1。4、整数、小数、负数大小的比较（1）整数大小的比较：位数多的数就大。位数相同的，从最高位数字起，依次比较，相同数位上数字大的数就大。（2）小数大小的比较：整数部分大的数就大。整数部分相同的，看小数部分，从高位起，依次比较，相同数

5、位上的数字大的数就大。（3）负数大小的比较：负数比0小，正数比0大，负数比正数小。两个负数大小的比较时，正数大的，变为负数反而小。5、小数点移动引起数的大小变化：小数点向左移动1位，就缩小10倍。小数点向左移动2位，就缩小100倍。小数点向左移动3位，就缩小1000倍。 小数点向右移动1位，就扩大10倍。小数点向右移动2位，就扩大100倍。小数点向右移动3位，就扩大1000倍。 大数的认识考点及易错点 1. 是（ ）位数，最高位是（ ）位。这个数中的4所在的数位是（ ）位，计数 单位是（ ),表示( )。 2.在3个“2”之间怎样添0，使它成为只读一个0的七位数。（ ) 3.比