第1篇：数学向量的概念及其表示方法

1.1向量的概念及其表示

重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．

考纲要求：①了解向量的实际背景．

②理解平面向量的概念及向量相等的含义．

③理解向量的几何表示．

经典例题：下列命题正确的是（）?

a.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线?

b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点?

c.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量?

d.有相同起点的两个非零向量不平行

1.下列各量中是向量的是()

2下列说法中正确的是（）

a.平行向量就是向量所在的直线平行的向量b.长度相等的向量叫相等向量

c.零向量的长度为零d.共线向量是在一条直线上的向量

3．设o是正方形abcd的中心，则向量、、、是（）

a．平行向量b．有相同终点的向量

c．相等的向量d．模都相同的向量

4.下列结论中,正确的是()

a.零向量只有大小没有方向b.对任一向量,||>0总是成立的

5.若四边形abcd是矩形,则下列命题中不正确的是()

c.与是相反向量d.与模相等

6．已知o是正方形abcd对角线的交点，在以o，a，b，c，d这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，

（1）与相等的向量有；

（2）与长度相等的向量有；

（3）与共线的向量有．

7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明．

8．如图，o是正方形abcd对角线的交点，四边形oaed，ocfb都是正方形，在图中所示的向量中：

（1）与相等的向量有；

（2）写出与共线的向有；

（3）写出与的模相等的有；

（4）向量与是否相等？答．

9．o是正六边形abcde的中心，且，，，在以a，b，c，d，e，o为端点的向量中：

（1）与相等的向量有；

（2）与相等的向量有；

10．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：

（1）是共线向量的有；

（2）是相反向量的为；

11．如图，△abc中，d，e，f分别是边bc，ab，ca的中点，在以a、b、c、d、e、f为端点的有向线段中所表示的向量中，

（1）与向量共线的有．

（2）与向量的模相等的有．

（3）与向量相等的有．

解：由于零向量与任一向量都共线，所以a不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以b不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选c.

10.（1）（2）（3）不存在（4），;

第2篇：数学空间向量及其运算方法

1.空间向量基本定理及应用

空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.

2.向量的直角坐标运算：

【例1】已知空间四边形oabc中，∠aob=∠boc=

【解前点津】要*og⊥bc，只须*即可.

而要*,必须把、用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠aob=∠boc=∠aoc,且oa=ob=oc，因此可选为已知的基向量.

【规范解答】连on由线段中点公式得：

【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识*线线垂直的能力.

【例2】在棱长为a的正方体abcd—a1b1c1d1中，求：异面直线ba1与ac所成的角.

【解前点津】利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线ba1，ac所成角的范围确定异面直线所成角.

所以异面直线ba1与ac所成的角为60°．

【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示.

【解前点津】设已知正方体的棱长为1，且=e1，

=e2，=e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系d—xyz,

所以⊥，即ae与d1f所成的角为90°．

【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和*线面垂直的方法.

【例4】*：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).

【规范解答】∵e,g分别为ab,ac的中点,

从而四边形egfh为平行四边形，故其对角线ef,

gh相交于一点o,且o为它们的中点,连接op,oq.

只要能*向量=-就可以说明p,o,q三点共线且o

为pq的中点,事实上,,而o为gh的中点,例4图

【解后归纳】本例要*三条直线相交于一点o,我们采用的方法是先*两条直线相交于一点,然后*两向量共线,从而说明p、o、q三点共线进而说明pq直线过o点.

1.在下列条中,使与a、b、c一定共面的是()

3.若向量｛a，b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是()?

4.a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是()?

5.若a与b是垂直的，则ab的值是()?

a.相交b.垂直?c.平行?d.以上都不对

12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,则是a与b同向或反向的()

a.充分不必要条b.必要非充分条?

c.充要条d.不充分不必要条

14.已知a＝2，b＝，ab＝-，则a、b所夹的角为.

16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为.

17.已知线段ab在平面α内，线段ac⊥α，线段bd⊥ab，且与α所成的角是30°，如果ab＝a，ac＝bd＝b，求c、d之间的距离.

空间向量及其运算习题解答

1.c由向量共线定义知.?

4.d根据两向量所成的角的定义知选d.

12.a?若，则a与b同向或反向，反之不成立.

过d作dd′⊥α，d′为垂足，则∠dbd′＝30°，

点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.

(1)令的夹角为θ，?

19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设＝i，＝j，＝k，

以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系d—xyz，

则＝（－１，0，０），＝(0,,-1)，?

点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.

第3篇：高二数学数列的概念与简单表示法必背知识点

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列：-1，1，-1，1，.

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个*.

(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，或1，3，5，7，9，，2n-1，，它就表示无穷数列.

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减*可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属*是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集n*或它的有限子集{1，2，，n}为定义域的函数的表达式.

(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.

(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

这就是说，上面可以看成是一个序号*到另一个数的*的映*.因此，从映*、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集n*(或它的有限子集{1，2，3，，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.

把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的*，其图象是无限个或有限个孤立的点.

最后，希望小编整理的高二数学上学期期中必背知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。