要想取得好的学习成绩，必须要有良好的学习习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习习惯，就会使自己学习感到有序而轻松。以下是小编为您整理的《上册物理知识点》，供大家查阅。

苏教版初二物理上册知识点

1.声音的发生：由物体的振动而产生。振动停止，发声也停止。

2.声音的传播：声音靠介质传播。真空不能传声。通常我们听到的声音是靠空气传来的。

3.声速：在空气中传播速度是：340米/秒。声音在固体传播比液体快，而在液体传播又比空气体快。

5.乐音的三个特征：音调、响度、音色。(1)音调:是指声音的高低，它与发声体的频率有关系。(2)响度:是指声音的大小，跟发声体的振幅、声源与听者的距离有关系。

6.减弱噪声的途径：(1)在声源处减弱;(2)在传播过程中减弱;(3)在人耳处减弱。

7.可听声：频率在20Hz～20000Hz之间的声波：超声波：频率高于20000Hz的声波;次声波：频率低于20Hz的声波。

8.超声波特点：方向性好、穿透能力强、声能较集中。具体应用有：声呐、B超、超声波速度测定器、超声波清洗器、超声波焊接器等。

9.次声波的特点：可以传播很远，很容易绕过障碍物，而且无孔不入。一定强度的次声波对人体会造成危害，甚至毁坏机械建筑等。它主要产生于自然界中的火山爆发、海啸地震等，另外人类制造的火箭发射、飞机飞行、火车汽车的奔驰、核爆炸等也能产生次声波。

1.光源：自身能够发光的物体叫光源。

2.太阳光是由红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫组成的。

3.光的三原色是：红、绿、蓝;颜料的三原色是：红、黄、蓝。

4.不可见光包括有：红外线和紫外线。特点：红外线能使被照射的物体发热，具有热效应(如太阳的热就是以红外线传送到地球上的);紫外线最显著的性质是能使荧光物质发光，另外还可以灭菌。

1.光的直线传播：光在均匀介质中是沿直线传播。

2.光在真空中传播速度，是3×108米/秒，而在空气中传播速度也认为是3×108米/秒。

3.我们能看到不发光的物体是因为这些物体反射的光射入了我们的眼睛。

4.光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面上，反射光线与入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角。(注：光路是可逆的)

5.漫反射和镜面反射一样遵循光的反射定律。

6.平面镜成像特点：(1)平面镜成的是虚像;(2)像与物体大小相等;(3)像与物体到镜面的距离相等;(4)像与物体的连线与镜面垂直。另外，平面镜里成的像与物体左右倒置。

7.平面镜应用：(1)成像;(2)改变光路。

8.平面镜在生活中使用不当会造成光污染。

第三章物态变化知识归纳

1.温度：是指物体的冷热程度。测量的工具是温度计,温度计是根据液体的热胀冷缩的原理制成的。

2.摄氏温度(℃):单位是摄氏度。1摄氏度的规定：把冰水混合物温度规定为0度，把一标准大气压下沸水的温度规定为100度，在0度和100度之间分成100等分，每一等分为1℃。

3.常见的温度计有(1)实验室用温度计;(2)体温计;(3)寒暑表。体温计：测量范围是35℃至42℃，每一小格是0.1℃。

4.温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和最小刻度值;(2)使用时温度计玻璃泡要全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器壁;(3)待温度计示数稳定后再读数;(4)读数时玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表平。

5.固体、液体、气体是物质存在的三种状态。

6.熔化：物质从固态变成液态的过程叫熔化。要吸热。

7.凝固：物质从液态变成固态的过程叫凝固。要放热.

8.熔点和凝固点：晶体熔化时保持不变的温度叫熔点;。晶体凝固时保持不变的温度叫凝固点。晶体的熔点和凝固点相同。

9.晶体和非晶体的重要区别：晶体都有一定的熔化温度(即熔点)，而非晶体没有熔点。

10.熔化和凝固曲线图：

图片传不上自己去看书吧

11.(晶体熔化和凝固曲线图)(非晶体熔化曲线图)

12.上图中AD是晶体熔化曲线图，晶体在AB段处于固态，在BC段是熔化过程，吸热，但温度不变，处于固液共存状态，CD段处于液态;而DG是晶体凝固曲线图，DE段于液态，EF段落是凝固过程，放热，温度不变，处于固液共存状态，FG处于固态。

13.汽化：物质从液态变为气态的过程叫汽化，汽化的方式有蒸发和沸腾。都要吸热。

14.蒸发：是在任何温度下，且只在液体表面发生的，缓慢的汽化现象。

15.沸腾：是在一定温度(沸点)下，在液体内部和表面同时发生的剧烈的汽化现象。液体沸腾时要吸热，但温度保持不变，这个温度叫沸点。

16.影响液体蒸发快慢的因素：(1)液体温度;(2)液体表面积;(3)液面上方空气流动快慢。

17.液化：物质从气态变成液态的过程叫液化，液化要放热。使气体液化的有：降低温度和压缩体积。(液化现象如：“白气”、雾、等)

18.升华和凝华：物质从固态直接变成气态叫升华，要吸热;而物质从气态直接变成固态叫凝华，要放热。

19.水循环：自然界中的水不停地运动、变化着，构成了一个巨大的水循环系统。水的循环伴随着能量的转移。

球面镜包括凸面镜(凸镜)和凹面镜(凹镜)，它们都能成像。具体应用有：车辆的后视镜、商场中的反光镜是凸面镜;手电筒的反光罩、太阳灶、医术戴在眼睛上的反光镜是凹面镜。

第四章光的折射知识归纳

光的折射：光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向一般发生变化的现象。

光的折射规律：光从空气斜射入水或其他介质，折射光线与入射光线、法线在同一平面上;折射光线和入射光线分居法线两侧，折射角小于入射角;入射角增大时，折射角也随着增大;当光线垂直射向介质表面时，传播方向不改变。(折射光路也是可逆的)

凸透镜：中间厚边缘薄的透镜，它对光线有会聚作用，所以也叫会聚透镜。凸透镜成像：

(1)物体在二倍焦距以外(u>2f)，成倒立、缩小的实像(像距：f

(2)物体在焦距和二倍焦距之间(f2f)。如幻灯机。

6.作光路图注意事项：

(1).要借助工具作图;(2)是实际光线画实线，不是实际光线画虚线;(3)光线要带箭头，光线与光线之间要连接好，不要断开;(4)作光的反射或折射光路图时，应先在入射点作出法线(虚线)，然后根据反射角与入射角或折射角与入射角的关系作出光线;(5)光发生折射时，处于空气中的那个角较大;(6)平行主光轴的光线经凹透镜发散后的光线的反向延长线一定相交在虚焦点上;(7)平面镜成像时，反射光线的反向延长线一定经过镜后的像;(8)画透镜时，一定要在透镜内画上斜线作阴影表示实心。

7.人的眼睛像一架神奇的照相机，晶状体相当于照相机的镜头(凸透镜)，视网膜相当于照相机内的胶片。

8.近视眼看不清远处的景物，需要配戴凹透镜;远视眼看不清近处的景物，需要配戴凸透镜。

9.望远镜能使远处的物体在近处成像，其中伽利略望远镜目镜是凹透镜，物镜是凸透镜;开普勒望远镜目镜物镜都是凸透镜(物镜焦距长，目镜焦距短)。

10.显微镜的目镜物镜也都是凸透镜(物镜焦距短，目镜焦距长)

苏教版初二物理上册知识点

5、液体压强：p=ρgh

(4)、阿基米德原理：F浮=G排=ρ液gV排

13、功的原理：W手=W机

14、实际机械：W总=W有+W额外

15、机械效率：η=W有/W总

4、炉子和热机的效率：η=Q有效利用/Q燃料

5、热平衡方程：Q放=Q吸

1、电流强度：I=Q电量/t

3、人耳区分回声：≥0.1s

8、水的沸点：100℃

11、一节干电池电压：1.5V

12、一节铅蓄电池电压：2V

苏教版初二物理上册知识点

1、物质存在的状态：固态、液态和气态。

2、物态变化：物质由一种状态变为另一种状态的过程。

物质是由分子组成的，分子之间存在着相互作用的引力和斥力，同时分子之间有一定的空隙。当物质处于固态时，引力作用较强，分子排列紧密，分子之间空隙很小，每个分子只能在原位置附近振动，所以固态物质有一定的体积和形状。

固体的温度升高，分子的运动加剧，当温度升高到一定程度时，分子的运动足以使它们离开原来的位置，而在其他分子之间运动，这时物质便以液态的形式存在。

如果温度再升高，分子运动更加剧烈，当温度升高到一定程度时，分子会摆脱其他分子的作用而自由地运动，这时物质便以气态的形式存在。

1、温度：物体的冷热程度用温度表示。

2、温度计的原理：是根据液体的热胀冷缩的性质制成的。

3、摄氏温度的规定：在大气压为1.01×105Pa时，把冰水混合物的温度规定为0度，而把水的沸腾温度规定为100度，把0度到100度之间分成100等份，每一等份称为1摄氏度，用符号℃表示。

(1)让温度计与被测物长时间充分接触，直到温度计液面稳定时再读数。

(2)读数时，不能将温度计拿离被测物体。

(3)读数时，视线应与温度计标尺垂直，与液面相平，不能仰视也不能俯视。

(4)测量液体时，玻璃泡不要碰到容器壁或容器底。

5、体温计：量程一般为35～42℃，分度值为0.1℃。

1、熔化：物质由固态变成液态的过程。(吸热)凝固：物质由液态变成固态的过程。(放热)

2、固体分为晶体和非晶体。

晶体：有固定熔点。熔化过程中吸热，但温度不变。如：金属、食盐、明矾、石英、冰等。

非晶体：没有一定的熔化温度。变软、变稀变为液体。如：沥青、松香、玻璃。

1、汽化：物质由液态变成气态的过程。汽化有两种方式：蒸发和沸腾(吸热)

2、蒸发是只在液体表面发生的一种缓慢的汽化现象。蒸发在任何温度下都可以发生。

3、影响蒸发的因素：液体的温度、液体的表面积、液面的空气流通速度。

4、物理降温：在需要降温的物体表面，涂一些易挥发且无害的液体，通过液体蒸发吸热来达到降温的效果。(蒸发的致冷作用)

5、沸腾：在一定温度下，在液体表面和内部同时发生的剧烈的汽化现象。

6、液体沸腾的条件：温度达到沸点，且能继续从外界吸热。

7、沸腾的现象：从底部产生大量气泡，上升，变大到液面破裂，放出气泡中的水蒸气。

液体沸腾时的温度叫沸点，液体的沸点与气压有关，液面气压越小沸点越低，气压越大沸点越高。高原地区普通锅里煮不熟鸡蛋，就是因为气压低，沸点低造成的。

高压锅是利用增大液面气压，提高液体沸点的原理制成的。

8、液化：物质由气态变成固态的过程。(放热)

9、液化的两种方式：降低温度和压缩体积。

10、所有气体温度降到足够低时都可以液化。气体液化放出热量。

11、常用的液化石油气是在常温条件下，用压缩体积的办法，使它液化储存在钢瓶里的。

1、升华：物质由固态直接变成气态的过程。升华吸热。

2、凝华：物质由气态直接变成固态的过程。凝华放热。像雪、霜等小冰晶都是凝华形成的。

第二章物质性质的初步认识

一、物体的尺度及其测量

1、长度的单位2、测量结果包括准确值、估读值和单位。

3、刻度尺的使用方法：①注意刻度标尺的零刻度线、最小分度值和量程;②测量时刻度尺的刻度线要紧贴被测物体，位置要放正，不得歪斜，零刻度线应对准所测物体的一端③读数时视线要垂直于尺面，并且对正观测点，不能仰视或者俯视。

4、误差：是指测量值与被测物体的真实值之间的差异。误差在任何测量中都存在，误差的产生跟测量的人和工具有关，只能减小不可避免。通常采用多次测量取平均值的方法来减小误差。而错误是应该且可以避免的。

5、体积的单位：6、量筒和量杯的使用方法：放在水平桌面上，读数时视线要与凹液面的底(凸液面的顶)相平。

二、物体的质量及其测量

1、质量：物体内所含物质的多少叫物体的质量，符号：m。物体质量是物体本身的一种属性，它与物体的形状、状态、温度和位置的变化无关。

2、质量的单位：国际主单位是千克(kg)其他单位有：

调节方法：把天平放在水平桌面上，用镊子把标尺上的游码拨至左侧零位置，调节平衡螺母使横梁在水平位置平衡。横梁水平平衡的标志是指针静止时指在分度盘中央刻度线上。

测量方法：将待测物体轻放在左盘中;估计被测物体的质量大小，由大到小，用镊子向右盘放砝码;用镊子拨动游码，使指针在中央刻度线两侧摆的幅度基本相同，或者静止在中央刻线上;把右盘里砝码的质量和游码在标尺上的读数相加，得到物体的质量。

砝码用毕必须放回盒内，不能用手捏砝码。

1、由某种物质组成的物体，其质量与体积的比值是一个常量，它反映了这种物质的一种特性。物质不同，其比值也不同。

2、密度：在物理学中，把某种物质单位体积的质量叫做这种物质的密度。(密度是物质的一种特性)

水的密度为1.0×103kg/m3，读作1.0×103千克每立方米，它表示物理意义是：1立方米水的质量为1.0×103千克。

4、应用密度，可以鉴别物质，也可以测量物体的质量和体积。

一、运动与静止：物体的运动是绝对的，而运动的描述是相对的。

1、参照物：要描述一个物体是运动的还是静止的，要选定一个标准物体做参照，这个被选定的标准物体叫做参照物。相对于参照物，某物体的位置(距离和方位)改变了，我们就说它是运动的;位置没有改变，我们就说它是静止的。

2、机械运动：一个物体相对于另一个物体位置的改变叫做机械运动，简称为运动。

3、运动的描述是相对的：判断一个物体是静止的，还是运动的，与所选的参照物有关。选不同的参照物，对物体运动的描述有可能不同。

4、参照物的选择：参照物的选择是可以任意的，在具体研究问题时，要根据问题的需要和研究的方便而选取。研究地面上的物体时，通常选地面为参照物。

直线运动：经过的路线是直线的运动。曲线运动：经过的路线是曲线的运动。

二、比较物体运动的快慢

1、探究比较物体运动快慢的方法：比较物体在相同时间内通过的路程的大小;比较物体通过相同的路程所用时间的大小。

2、速度：物体在单位时间内通过的路程叫做速度。速度是描述物体运动快慢的物理量。

3、速度的公式：v=s/t

4、速度的单位：国际单位主单位：米/秒(m/s)，常用单位：千米/小时(km/h)。

5、匀速直线运动：如果物体沿直线运动，并且速度的大小保持不变，这种运动称不匀速直线运动。

三、平均速度与瞬时速度

平均速度描述变速运动的快慢。它表示运动物体在某一段路程内(或某一段时间内)的快慢程度。

运动物体在某一瞬间的速度叫做瞬时速度。

平均速度反映的是物体在整个运动过程中的运动快慢，瞬时速度反映的是物体在运动过程中的某一时刻或者某一位置时的运动快慢。

四、平均速度的测量：求平均速度需要路程和时间两个物理量。时间用钟表测量。

1、一切发声的物体都在振动。发声的物体叫做声源。

2、声音是由于物体的振动产生的。固体、液体、气体振动都能发声。

1、声音是靠介质传播的，气体、液体、固体都是传声的介质，真空不能传播声音。

2、声音以声波的形式传播。声波传播到耳道中，引起鼓膜振动，再经过其他组织刺激听神经，把这种信号传递给大脑，就产生了听觉。

人听到声音的条件：声源→介质→耳朵

3、声音在不同的介质中传播的速度不同，声速还会受温度的影响。一般情况下气体中的声速小于液体和固体中的声速。声音不能在真空中传播。

4、声音在传播过程中遇到障碍物会反射回来形成回声，回声到达人耳与原声到达人耳的时间间隔在0.1s以上时，人能够把原声与回声区分开，就听到了回声，否则回声与原声混合在一起使原声加强。(人耳听到回声的最近距离---人与障碍17米)

声音在传播过程中遇到多孔或柔软的物质会被吸收。

1、声音分为乐音和噪声。乐音有三个特征：音调、响度、音色。

2、频率：物体每秒内振动的次数叫做频率。单位是赫兹(Hz)。

3、音调表示声音的高低。音调是由发声体振动的频率决定的。频率高音调就高，听起来尖细;频率低音调就低，听起来低沉。

4、人耳能感觉到的声音的强弱称为响度。响度与声源的振动幅度有关，振动幅度越大响度越大。响度还与人到声源的距离有关，距离越远，感到的响度就越弱。

5、音色也叫音质或音品，音色是由发声体的材料、结构和振动方式等因素造成的。

人们通常通过辨别音色，来辨别不同的发声体。

6、乐音的音调、响度和音色，称为乐音的三要素。

7、噪声是由无规则的振动产生的。噪声的大小用声级表示，单位是分贝(dB)。

8、控制噪声的方法：1)在噪声的声源处减弱;2)在传播路径中隔离和吸收声波;3)阻止噪声进入人耳朵。

1、一般只有在20—20000Hz范围内的声音才能引起人的听觉。

2、超声波：高于20000Hz的声波称为超声波。低于20Hz的声波称为次声波。

3、超声波的应用：测距、测速、成像、探伤、除垢、粉碎。

1、能发光的物体叫做光源。

2、光在同一种介质中是沿直线传播的。现象：影子的形成、日食和月食、小孔成像……

3、光在真空中传播速度最快，c=3×108m/s。太阳光传到地球上需要的时间约为8分20秒。

光在空气中的速度接近在真空中的速度。光在水中的速度大约为空气中的3/4，光在玻璃中的速度大约是空气中的2/3。

4、光年是长度单位，指光在1年中的传播距离。

1、光的反射定律：反射光线、入射光线与法线在同一平面内;反射光线和入射光线分居法线两侧;反射角等于入射角。

2、反射时光路是可逆的。

3、镜面反射和漫反射：入射光线平行，反射光线也平行。入射光线平行，反射光线不平行，射向各个方向。漫反射现象中，反射光线也遵守光的反射定律。

1、平面镜成像的特点：平面镜成的像是虚像，像与物大小相等，像与物的连线与平面镜垂直，像到平面镜的距离与物到平面镜的距离相等，像与物体关于镜面对称。成像原理：光的反射现象。

2、实像和虚像：能够呈在光屏上的像叫做实像，实像是实际光线会聚的交点，也可以用眼睛直接观察。只能用眼睛观察，而不能在光屏上呈现的像，叫做虚像。虚像是光线反向延长线的交点。

反射面是球面的一部分的镜子叫做球面镜。反射面是凹面的叫做凹面镜。反射面是凸面的叫做凸面镜。凸面镜对光线有发散作用，凹面镜对光线有会聚作用。

凸面镜的利用：汽车观后镜……凹面镜的利用：太阳灶、手电筒的反光装置……

1、光的折射：光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向会发生偏折，这种现象叫光的折射。

2、光的折射定律：光发生折射时，折射光线跟入射光线和法线在同一平面内;折射光线和入射光线分居法线的两侧;光从空气中斜射入水或玻璃中时，折射角小于入射角，入射角增大(或减小)时，折射角增大(减小);当光从水或玻璃中斜射入空气中时，折射角大于入射角。

3、发生折射时光路是可逆的。

1、光的色散：复色光被分解为单色光，形成光谱的现象，叫做光的色散。

2、白光是由红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七种单色光组成的复色光。

透明物体的颜色是由它能够透过的色光决定的。允许所有颜色的光都通过的物体是无色透明的。

不透明物体的颜色是由它反射的色光决定的。白色物体能反射所有的色光，黑色物体能吸收所有的色光。

4、光的三原色：红、绿、蓝。

5、颜料的三原色：红、黄、蓝。

苏教版初二物理上册知识点相关：

可以将圆分为无数个宽度相同的同心圆环，这保留了圆的对称性。
将其中一个圆环拉直并思考他的面积

拉直后的图形可以近似看做一个长方形，宽为2πr（根据圆的定义周长公式）高为dr（每一个圆环的宽度），当dr趋近于无限小时，这个图形越趋近于长方形。
所以这个圆环的面积可以近似看做2πrdr（dr越小越准确）
以圆环的半径r为横坐标已圆环的周长为纵坐标，将每个圆环从小到大排布在坐标系上
当dr无限小时，所有圆环的面积之和也就是这个圆形的面积可以看做这些圆环所形成的的三角形的面积0.532pi3也就是piR^2
数学中的很多难题都可以分解为许多小数量的和

2抛物线形成的面积如何计算

找到一个函数A（x），当抛物线X^2的x变化时，函数A（X）就是抛物线形成的面积，这个函数A（x）就是这个抛物线的积分。

导数就是dx越来越小时这个比值所趋向的值，表示函数对取值的微小变化的敏感程度。

某图像下方面积函数的导数，就是能够还原定义这个图像的函数。

微积分的本质02导数悖论

导数是瞬时变化率，但变化率是在一段时间内的变化率，而瞬时没有变化。

想象一辆车先加速后减速在3秒内移动了10米，一下是关于距离和时间的图像。

在上面画出车速和时间的关系
速度时间函数随着距离时间函数的变化而产生变化。
计算速度需要两个时间点，但在坐标轴上每个时间点都对应一个速度值。
所以要计算速度可以取很小的时间差dt，计算每个点的速度就可以写作
这样对于每个时间t带入公式都可以得到该时间点的速度。

导数并不是在dt为某个具体值比如0.01时ds和dt的比值而是当dt无限逼近于0时这个比值的极限。
从图像上看，在t点和t+dt上做一条直线，当dt逼近无限小时这个直线越和曲线在这个点的切线重合。
导数是某个点的变化率的最佳近似。

当dt逼近于0时，后面的项目可以简化，并把2换成横轴的变量t

导数测量的是某个点的变化率的最佳近似值。

微积分的本质03用几何来求导

微小变化量才是导数的本质

可以将x² 看做一个正方形的面积。
当x增大dx时，整个正方形的面积增大有三个部分。

f(x) = x³ 可以看做一个立方体的体积
当x变化dx个单位时f（x）的体积变化可以看成多个小体积的变化
当dx趋近于0时，f（x）的增量可以看做三个大的长方体的体积和

微积分的本质03直观理解链式法则和成绩法则

处理两个东西的乘积，通过面积理解会更好

加法法则乘法法则和链式法则

如果时间t以整数变化，那么后一天的数量就是前一天数量的两倍，这样2^t每天的增长率就是它本身，但当我们把t取值缩小时。
对于2^t+dt来说可以拆分成2^t * 2^dt于是可以将2^t的导数变为
可以看到右边的式子，dt和t本身完全剥离开，同时我们可以假定一个最小值dt从而计算出右边的式子的值，当dt的值越来越小时这个式子的值就会不断向一个特定值靠近0.6931472…
所以对于指数函数，他在一定时间内的变化率是它自身乘以一个常数，比如对于3^t的导数，这个常数就是1.09868.

有没有那个底数能使这个常数为1

e就可以使这个常数为1，e≈2.71828

观察e^t的图像，在此图像上任意一点切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。
运用链式法则考虑其他的指数函数。
所以对于所有的e^ct的导数就是ce^ct即是常数乘以函数本身
所以对于任意的c^t的导数都是
所有变化率和数量本身成正比的函数的图像看起来都像是指数函数。

考虑对于圆上任意一点切线的斜率的计算
这个函数不存在取值的微小变化所造成的函数值得微小变化，也不存在输入一个x对应输出一个y，x和y是同时由一个等式定义，并相互联系的在，这种就是隐函数曲线。

所以对于函数X² + y² = 5²，我们要对函数两端同时求导数
这个过程称为隐函数求导，隐微分。

一把五米长梯子斜靠墙上，梯子顶端离地4米那么梯子底端离墙就是3米，当梯子顶端以1m/s的速度下滑时。在开始的一瞬间，梯子底端的速度是？
若要求速度首先可以把x(t)单独表示出来即
然后对这个式子求导即可得出底部的速度。
等式x(t)²+y(t)² = 5²是一个关于时间t的函数，这个函数的值并不随这时间改变，可以把等式左边看作关于时间t的函数。
这时候如果我们对等式左边求导数
也就是说当时间t变化dt时，函数x(t)²+y(t)²变化了多少，但函数x(t)²+y(t)²恒等于5²所以这个函数的变化率恒等于0即
比较梯子和求圆切线问题的关系

我们可以给X² + y²取个名字S
如果给函数S求导就是在问当点在平面上移动了dx和dy之后函数s的值变化了多少
在X方向上变化了2xdx各单位在y上变化了2ydy个单位
但当每个微小变化都落在圆上的时候，等于时保持s的值不变，那么ds就是0

想象从曲线上移动一小段距离（dx,dy）
对表达式的两边求导就可以算出函数在每一边的变化值是多少
如果等式成立那么，移动的(dx.dy)一定落在原来的曲线上
对于函数e^x的导数是它本身，那么他的反函数

当x = 2时x变化dx各单位，函数值的变化df，在这两个点之间连线，当x逼近0时，这个支线的斜率df/dx才是函数在这个点的导数。

2、极限(ε,δ)的定义

当变量h=0时，函数变成0/0函数在这一点上并没有明确的值,但当x取值逼近于0时，函数的值也是逼近于12的，且这个结果和x从哪边逼近并无关系。
当函数的取值在0的附近时，函数值也在12的附近，随着x的取值接近于0，函数的取值范围也就越来越缩小到12上。
但如果对于一个函数，将x的取值范围缩小，函数值不会缩小到特定值上时说明函数在该点的极限不存在。
将函数的取值范围在极限点收缩，然后观察函数值是否收缩，以及其收缩后的范围的方法就是极限(ε,δ)的定义
对于函数上任意点到极限值的距离，习惯用希腊字母ε来代表这个距离
总能在极限点的附近，离0点的距离为δ的取值范围内找到一系列的点，使得它的函数值都处在距离为ε的范围之内，这对于任意ε都成立

分别画出这些函数的图像
当x=1时，x变化dx，函数值的变化为-πdx
当x=1时，x变化dx，函数值的变化为x²-1的导数的值即

考虑任意两个函数f(x)和函数g(x)在x = a这个点的值都是0
因为两个函数在x = a时都为0所以对于f(x)/g(x)不可计算，但可以取x为离a十分相近的值，求解x逼近于a时的极限值。

对于那些0型的极限可以对分子分母分别求导，然后带入x的值就是极限值。

8、积分与微积分的基本定理

在只知道每个时间点t一辆汽车的速度的情况下如何找到一个距离函数t描述你在这个时间内行驶的距离。

假设速度和时间的函数为t(8-t)那么他的图像就是
要想求速度和距离的关系，其实就是求在一段时间内速度时间函数围成的面积，这就是积分问题。

首先车速为匀速时，那么车驶过的距离就是速度乘以时间，反应在图像上也就是面积
因为途中横轴的单位时秒，而纵轴的单位时米每秒，所以这个面积的单位自然是米。

但速度不恒定，我们可以假定速度是阶梯状变化的。
将0到8秒的时间轴切成等大的小份

当dt趋近于0时，这个匀速但速度不连续跳跃的运动就越和实际情况相同，所以这个曲线所围成的面积也就越接近于实际的行驶的距离。
这就是速度时间函数v(t)的积分。
在这个问题中吧右端点当做一个变量T，所以我们考虑的就是速度函数v(t)在0到T之间的积分，也就是这个曲线在(0,T)这个区间内下方的面积。可以写作
这样就算原函数存在一个C也在运算中被消掉了
求积分的第一步是求解原函数。

09面积与斜率有什么关系

1、求一个连续变量的平均值

2为何积分和求导时互逆的运算

这个斜率即代表平均值。
sin(x)是原函数的导数，给出了-cos(x)在每个点上的斜率,所以sin(x)的平均值就等于原函数在0到π之间所有切线斜率的平均值。
在某一区间上所有切线的平均斜率就等于起点和终点连线的斜率。
因为要求函数- cos(x)在某一区间的平均斜率就是求函数sin(x)在这一区间的平均值，根据上面的推导过程，sin(x)的平均值的计算和计算起点和终点间的平均斜率的计算方式相同。
对于任意函数如图，想要计算他在a到b之间的平均值。
计算积分需要用到原函数写作F(x),所以我们就计算的是F(b)-F(a)这可以看作原函数从起点到终点的高度差，对于函数在一定区间的平均值的问题就可以看作他的原函数在a到b之间的高度变化除以a到b的长度
也就是原函数在起点和终点之间的斜率。
当计算函数在区间上的平均值可以转换为求另一个函数在区间上的平均斜率时，可以只考虑起点和终点而不用考虑任何中间点。.

1 当手上的问题可以用细分再相加的方式估算的话可以使用积分。
2 如果再总数有限时，懂得用相加的方法解决问题，当推广到无限数量时，可以试试积分。

那么导数就可以解释为函数在这个点的斜率
如果图像很陡说明导数的值很大，图像向下说明导数是负数
二阶导数表示了斜率的变化
当f(x)向上弯曲说明斜率在增加说明二阶导数是正的

首先可以看到在x等于0时cos(x) 等于1
所以要近似这个函数那么这个近似函数在x为0时值也应该为1

将近似函数的多项式累加无限多项
收敛如果一个级数累加的越多，就越接近一个值的话就可以说这个级数收敛到那个值
比如指数函数sin cos 函数都可以在x为任意值时收敛
但有的函数只能在附近的范围内收敛
在x取值在0到二之间时，随着项数的增加，就越接近这个函数的真实结果，但当x取值越过2
时，级数就不再接近任何值了
所以在lnx中在x等于1时获得的导数信息并不能拓展到更广的取值范围
像这种累加多个项，但他的和并不能逼近一个确定值的级数我们称之为发散的
把用在近似原始函数的那个点的周围能够让多项式的和收敛的最大取值范围，称作这个泰勒级数的收敛半径。