精英家教网 > 初中数学 > 题目详情【题目】已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝3，在BC边上取两点E，F（点E在点F左侧），以EF为边作等边三角形DEF，使顶点D与E在边AC异侧，DE，DF分别交AC于点G，H，连结AD.（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，若∠DAC＝30°，△DEF的边EF在线段BC上移动.写出DH与BE的数量关系并证明；（3）若30°＜∠DAC＜60°，△DEF的周长为m，则m的取值范围是 .试题答案
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【答案】（1）见解析；（2）DH与BE的数量关系是：DH﹣BE＝1，理由见解析；（3）6＜m＜9【解析】（1）先判断出∠C＝30°，再利用等边三角形的性质即可得出结论；（2）先判断出AD∥BC，进而判断出四边形ABEN是矩形，再用锐角三角函数求出ND＝1，即可得出结论；（3）先求出∠DAC＝30°和60°时的等边三角形的边DE的长，即可得出结论.解：（1）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝3，∴tan∠C＝∴∠C＝30°∵△DEF是等边三角形∴∠DEF＝60°∴∠EGC＝90°∴DE⊥AC（2）DH与BE的数量关系是：DH﹣BE＝1理由：如图1，∵△DEF是等边三角形∴∠DFE＝∠DEF＝60°∵∠DFE＝∠C+∠CHF，∠C＝30°∴∠CHF＝30°∴∠DHA＝30°∵∠DAC＝30°∴∠DHA＝∠DAC∴DA＝DH过点E作EN⊥AD于N，则∠ANE＝90°，∵∠DAC＝∠C＝30°∴AD‖BC∴∠BEN＝90又∵∠B＝90°∴四边形ABEN是矩形∴AN＝BE，AB＝EN＝∵AD‖BC∴∠DEF＝∠NDE＝60°∴tan∠NDE═tan60°＝∴ND＝1∵AD﹣AN＝ND，DA＝DH，AN＝BE∴DH﹣BE＝1，（3）当∠DAC＝30°时，平移DE，使其过点B时，如图2，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝90°，∵∠ABC＝90°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝30°，在Rt△ABD中，AB＝，∠ABD＝30°，∴DE＝DB＝2，由于∠ABD不变，∠DAC增加时，∠BAD增加，即：DE增加，∵∠DAC＞30°，∴DE＞2，∴m＞2×3，即：m＞6，当∠DAC＝60°时，平移DE，使其过点B时，如图3，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠ABD，∴AC⊥BD，BD＝2BG，在Rt△ABG中，AB＝，∠ABD＝30°，∴BG＝，∴DE＝BD＝2BG＝3，∵BC＝3，此时点F和点C重合，由于∠ABD不变，∠DAC减小时，∠BAD减小，即：DE减小，∵∠CAD＜60°，∴DE＜3，∴m＜3×3，∴m＜9，即：m的取值范围是：6＜m＜9，故答案为：6＜m＜9.');
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