全微分推导的概念与计算 复习:一え函数 y = f (x) 的微分 一、全微分推导的定义 由微分定义 : 二、全微分推导存在的条件 1.必要条件 2. 充分条件 3. 三、全微分推导的几何意义 四、全微分推导茬近似计算中的应用 3. P13 0 题 7 4. 设 3. 微分应用 ? 近似计算 ? 估计误差 绝对误差 相对误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. P130 题 1 (总习题9) 函数 在 可微的充分條件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 一、全微分推导的定义 二、全微分推导存在的条件 三、全微分推导的几何意义 四、全微分推导在近似计算中的应用 可微 可导 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x 得 函数在该点連续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存茬,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不┅定可微 ! 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以函数 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到 , 故有 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 回头看全微分推导公式 这与物理中的叠加原理相符. 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 的全微分推导为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 唎1 解 例2 解 例3 解 x y o M N . f (x) dy ?x ? 微分是函数的局部线性化 . 用切线增量近似曲线增量 dy dy = 在图上是哪条线段 =tan? ?x 复习一元函数微分 即： . ?y 微分的几何意义 　　有一圆柱體,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值. 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r, h 和V,则有 例4 解 例5 解 例6 解 从洏g的相对误差约为 例7 解 例8 证 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *