对时间微分和对角度微分有如下關系：

根据上述关系径向距离 对时间的导数为：

，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：

为了解这个微分方程先列出一个特解

再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，

是常数合并特解和与齐次方程解，可以得到通解

这是圆锥曲线的极坐標方程坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若

所描述的是椭圆轨道这证明了开普勒第一定律。[3]

开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内行星与恒星

的连线扫过的面积相等。O为恒星直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等A处嘚时刻为t1，B为t2C为t3。假设行星不受O的引力作用那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。行星受到引力作用了因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段

时间里行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)因此，SΔBC’O=SΔABO因为Δt是任取的，所以在相等的时间内行星与恒星的连线扫过的面积相等。[4]

在图中A，B分别为行星运动的近日点和远日点以

分别表示行星茬该点的速度，由于速度沿轨道切线方向可见

的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为

……………………………………{1}

根据开普勒第二定律应有

……………………………………………{2}

行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经過近日点和远日点时其机械能应分别为

……………………{4}

………………………………{5}

由{5}式和{1}式得面积速度为

,则得此行星运动周期为

…………………………{6}

将{6}式两边平方，便得

再掌握用积分推导椭圆轨道方程的方法

百度上都有，要先掌握基础