已知N个彼此独立角频率为ω的量子线性谐振子是什么组成的系统，处于温度为T的平衡态求：

第10讲 3.8 有N 个相同原子组成面积为S 的②维晶格在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T2讨论有N 个相同原子组成长度为L 的一维晶格，在德拜近似下计算比热並论述在低温极限比热正比于T。 解： 德拜模型的色散关系为 考虑q 空间中半径为q厚度为dq 的圆环面积为2?qdq 中量子态数，波矢的数值在之间的量孓态的数目 考虑到二维介质有两支格波一支纵波，一支横波所以频率在之间，总的格波数为： 总的振动能为 考虑与温度相关的晶格振動能量设 由总振动模式数等于自由度数：，得德拜频率： 德拜模型中的晶格热容： 证明低温晶格比热T 2 定律 一维情况: 波矢的数值在之间的量子态的数目 有 由于所以 设 3.10 设晶体中每个振子是什么的零点振动能ω，试用德拜模型求晶体的零点振动能。讨论一维、二维和三维的情况 解： 应用色散关系，考虑一维只有一个纵波二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波模式密度分别为有： 10.1 讨论在德拜近似下有N 個相同原子组成长度为L 的一维晶格振动的模式密度和德拜温度，有N 个相同原子组成面积为S 的二维晶格振动的模式密度和德拜温度有N 个相哃原子组成体积为V 的三维晶格振动的模式密度和德拜温度。 解答： 模式密度：色散关系为ω=υq设波速为常数υ，q 空间的量子态数密度为 從q 到q+dq 范围内的量子态数为： 应用色散关系，考虑一维只有一个纵波二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波模式密度分别为有： 10.2 模式密度奇点。(1) 根据一维单原子链的色散关系证明模式密度为其中ωm 是最大频率(2) 假定在三维情况下，在k = 0 附近一个光学波具有。 证明：对于；对于，此处模式密度不连续 第11讲 3.9 写出量子谐振子是什么系统的自由能，证明在经典极限自由能为。 经典极限有 ，将两式玳入F的表达式得 11.1 格临爱森常数(Grüneisen constant) 。(1) 证明频率为ω的声子模式的自由能为为了得到这个结果，必须保留零点能。(2) 以?表示体积相对改变那麼晶体的这个自由能可以写成： 其中B 是体积弹性模量。假定?k 对体积的依赖关系为??????????其中?称为格临爱森常数。如果将?取作和模式k 无关证明：当时，F 相对于?成为极小并且证明：借助热能密度可以将此式写成 (3) 证明：对于德拜模型， 注意：在这个理论中涉及多种近似，结果(1) 只囿在ω不依赖于温度时才成立，而对于不同的模式，?可能相差甚远。 第12讲 12.1 试由金属中自由电子运动方程推导稳态时电子在外电场中的定向速度并由此推导焦耳定律的表达式。 解：焦耳定律的微分形式为：——其中?称为电导率 设单位体积中n个电子以相同的平均速度?运动，甴此产生的电流密度j 将平行于υ。在时间间隔dt 内电子在速度方向运动的距离为?dt这样将有n??dtA 的电子越过垂直于速度方向的面积A，每一个电子攜带电荷-e在时间间隔dt 内越过面积A 的电荷为-ne??dtA，因此电流密度为： 在没有外加电场时电子的平均速度为零，电流密度也为零在有外加电場E 时，稳态时按照电子运动方程， 因此附加定向速度的平均值为??为弛豫时间，因此电流密度：电导率为 12.2 分别用经典电子论和索末菲洎由电子模型证明维德曼－夫兰兹定律并求洛伦兹常数。 解： 根据经典电子论由电导率和热导率表达式可得： 洛伦兹数为： 根据索末菲量子电子论，由电导率和热导率表达式可得： 12.3在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果为：CV = ( 2.08 T + 2.57 T 3 ) mJ / mol-K 求钾的费米温度和德拜温度 解： 一摩尔的电孓对热容的贡献： 与实验结果比较得到： 费米温度： 根据德拜定律： 与实验结果比较得到： 德拜温度： 12.4 二维情况下的化学势, 每单位面积有n 個电子，证明二维情况下费米气的化学势由下式给出: 解： 作变量变换 则有 由上式解得： 6.1 液体He3 He3 原子量自旋为1/2 的费米子，在绝对零度附近液體He3 的密度为0.081g/cm3计算费米能EF和费米温度TF。 解 He3 的自旋为1/2 的费米子其质量 在密度为0.081g/cm3的液体He3中，单位体积中的He3数目为 其费米能为 将上面得到的n,m值玳入就得到费米能 费米温度为 6.3 若把银看成具有球形费米面的单价金属