中南人学硕士学位论文 第四章单点定位观测模型 的均值精度必须优于％=10c拼。在实际测量中，由于存在电离层误差，可以用 双频P码伪距的M一∥方法。 ∞三差法(多普勒法) 本文是采用多普勒法或称时差法。连续跟踪的所有载波相位测量观测值中 均含有相同的整周模糊度Ⅳ0，因而对同一颗卫星将相邻两个观测历元的载波相 位相减时就将该未知参数消去；因为两个历元之问的载波相位观测值之差受到此 期间接收机钟和卫星钟的随机误差的影响，而且几何图形强度较弱。所以，对用 多普勒法所计算出的值进行。一c测试(观测．计算值)，若D—C，O．5m，则舍 去该观测量。 通过卫星间求差分来检测修复卫星的小周跳和消去接收机钟差参数。即对于 用多普勒法消去Ⅳ。的观测值，在每一个历元中选某一卫星作参考星，其余卫星 和参考星在卫星间两两求～次差，从而消去接收机钟差参数。 4．2．2法方程的解算及未知数的中误差 最小二乘估计是GPS定位解算的基本数学工具，它是根据观测值L和观测 值的数学模型F(趵确定参数x。在GPs定位中，参数一般包括测站的大地位置、 接收机钟差、模糊度偏差。 最小二乘估计首先形成联系观测值和参数的观测方程： F(X)=L+y (4-59) 其中F(j)是模型化的观测量，L为已知观测值，y为观测误差。用泰勒公 式将方程线性化后的误差观测方程为 y=4·6r+￡ (4．60) 其中爿为系数矩阵，由观测方程对参数的偏导数组成，也叫设计矩阵。 根据最小二乘平差求解末知参数 J斟。，7爿)～‘(爿’￡) (4-61) lⅣ：彳7月 未知数中误差： ^彳r a ql√g。 (4—62)

1. 电磁波及其频率和波长：

在低频电路中，我们一般认为一条导线上的电压及电流是相同的，因此测量上面的任何一点都可以代表这条导线上的电压和电流。这主要是因为这时导线传输的信号的频率非常低，对应的波长非常长，因此可以认为各点之间电压与电流没有差别。

电信号都是有频率的，直流的频率为0Hz。单一频率的电信号可以用上述正弦波表示，一个频率的电信号对应一个波长，在真空中波长与频率的关系为λ=c/f，其中c为光在真空中的速度，大约每秒30万公里，而空气中相差不大。对于50HZ的工频频率，可以算出其对应波长大约为6000公里，这比中国国土的横向跨度5200公里还长。如果有一条横跨中国国土的输电线，上面传输的是50Hz工频，如果不考虑线路损耗，就能明显看出各点上电压是不相同的，而是有幅度波动。

我们实际应用的电路中，一条导线不可能有那么长，就算信号频率更高，比如音频的20kHz，对应波长接近15公里，也是非常长的，测量时仍然不可能看出导线各处的幅度变化。如果传输视频信号，比如5MHz，对应波长约为60米，也需要非常长的导线上才能看到信号幅度的变化。

自从麦克斯韦通过数学方式证明了电磁波的存在，并认为光也是一种电磁波之后，又陆续发现了X光、γ射线、红外线、紫外线等，就组成了上面的电磁波谱，频率从0Hz直到大于10²²Hz以上，对应波长则从无穷大到10^-14米左右。因此我们知道，肉眼能识别色彩的可见光、医疗透视用的X光、额温枪使用的红外线与传输电视图像、驱动音响耳机发出声音、通过手机互相联络的电信号，其实核心差异仅仅是使用的频率不同，或者说有不同的波长，它们都是电磁波的一种。

2.射频与微波的性质：

因为频率的不同，不同的电磁波在性质上就会有比较大的差别，我们这里关注的是射频和微波。所谓射频，是指可以把能量辐射到周围空间的电磁频率。如果频率比较低，电磁能量基本被束缚在电路及导线中，不能或者说极少把能量发射出去，只有到了一定频率并采用适当的措施才能向外辐射能量。一般用来向外发射的频率在30kHz~300GHz之间，根据频率/波长不同可以分为几个频段：

其中的米波、分米波、厘米波一般合称为微波，也有的把米波及以上频率都算微波，也就是包括毫米波。而长波以下频率，因为频率低难以承载足够信息，而且需要的发射设备体积庞大，很少用来作为射频使用，而更高的无线电频率已经接近红外线频率，目前研究还比较少，实用的就更少。

微波实际上表示一种方法，或者说是研究电磁现象的特殊手段，这种手段介于电路理论和光学之间。其区别主要在于波长，或者说与波长和电路及电磁场分布物体尺寸的比例关系。因为低频电磁场的波长比电路的尺寸大很多，电磁场从电路一点传到另一点的时间只是其周期的很小一部分，所以一般采用集总电路理论。当物体和电路元件远大于波长时，可以采用光学规律。

而当波长与承载电磁场的物体尺寸相比拟时，一些特殊或者常见的违反直觉的效应就会出现，而一些在低频电路常见的电路元件，像电阻、电容等，在高频电路中实际上是一些只储存电能或者只储存磁能的特殊空间区域。

上图显示的是电磁波通过小孔的情况，左图是小孔直径d远远小于电磁场波长，会产生衍射现象，就像声音可以绕过墙壁阻隔而能让墙后面的人听到，“隔墙有耳”，古人就已经知道这个现象；右图是小孔直径d远远大于波长的情况，就像光不能绕过墙壁，体现了直线传播特性。

常见的微波频段表示是用一个字母定义不同的频带范围，这种方法可以追溯到二战研究雷达时期，当时随机选取字母来混淆敌人，但现在仍然存在一些混淆。

电路尺寸和波长之比是决定天线在空间中的辐射电磁场能力的最重要条件，因为这个原因，电路尺寸和波长应是同一个数量级，频率越高天线的尺寸越小。而数据的传输速率也有赖于传输载波的频率，应用高频载波可以提高信道容量，从而提高信息传输速率。

但电磁波在大气中传播会产生衰减，衰减不仅与自由空间中传播的距离有关，也与介质的物理、化学特性有关。

上图是海平面及海拔4000米高度的大气衰减，在超过10GHz以后，衰减非单调急剧增加，根据含水量在22GHz处达到峰值，根据含氧量在63GHz处达到峰值，衰减最小值分别在24GHz和94GHz处。

使用高载波有很多好处，如减小天线、连线、电路元件等部件尺寸，扩展频带宽度，提高信号处理速度和数据传输效率，提高雷达分辨率和天线指向性，从而降低干扰；与此同时，高频载波的使用也带来一些实际问题，如更高的大气衰减，更严格的制造公差，更高的制造成本，固态设备中更高的电路损耗和更大的有效功率衰减，还有不成熟的高频半导体加工工艺。

电磁场可以在真空中和自然介质中建立和传播，麦克斯韦方程组和材料的基本方程共同作用，形成电磁理论。有耗电介质，介电常数是一个复数，表示为：ε=ε'-jε''
介质中产生的能耗取决于介电常数虚部，介电常数虚部的存在等效于传导电流的存在，这个电流可以写入位移电流中，作为电场强度比例项中的一项。复介电常数经常写成：ε=ε'(1-jtanδ)         tanδ=ε''/ε'
其中，tanδ用来表征电介质的性能。
一般情况下，介电常数也是频率的函数，这时被认为是色散的。色散是材料或者传输线的一种特性，导致材料性能随频率而变。
当介质为理想导体时，表面电荷和电流都集中在良导体表面的一层非常薄的导体层中，用趋肤深度表示：


在微波频段，对应波长小于1米，甚至几毫米，接近电路元件的大小和电路连接导线的长度，这时就不能认为一条导线各处的电压和电流相同了，需要使用一些适应这种情况下的分析和测试方法。研究微波，原则上需要使用麦克斯韦方程组及电介质特性与边界条件进行解算，但在微波的较低频率上，也可以使用一种对低频电路分析进行扩展修正的近似分析方法，这就是长线理论和分布参数等效分析。

3.长线理论与电报方程：

当导线上传输的信号频率比较低时，导线长度远远小于信号波长，这时的导线被认为是短线，可以不用考虑导线上各处的电压与电流的差别。而当导线上传输的信号频率很高时，导线长度与信号波长在同一数量级，这时导线上各处电压和电流不再相同，有的地方电压或电流高，而有的地方则比较低，这时就不能按照低频时的电路理论来分析，而要认为导线中出现了分布的电阻、电容和电感，用这种具有分布电阻、电容和电感的等效电路来分析此时的特性，这就产生了长线理论。

一条均匀长线，可由单位长度的四个分布元件R、L、C、G来等效，一节一节串联连接而组成一个电路。根据基尔霍夫定律，可以写出上述等效电路的方程：

上述方程称为电报方程，是在研究距离很长的有线电报传输时得到，现在一般也称为均匀传输线方程。求解上面公式，可以得到：

其中V、I表示电压和振幅常数，而+、-分别表示+z、-z传输方向。也就是长线上每一点的电压和电流都是由两项组合而成，一项为正向传播，另一项则为反向传播。定义传输系数：

波在任意一点的总电压和总电流的关系可以表示为：

当R=G=0时，传输线损耗为零，所以无耗传输线传输系数和特性阻抗分别为：

对大多数传输线，损耗都比较小，R

其中，ɑ为传输线的衰减系数，β为传输线的相位系数：

式中，Y₀为传输线的特性导纳，为特性阻抗的倒数。

4.传输线与相关参数：

凡是能够导引电磁波沿一定方向传播的导体、介质或由它们共同组成的导波系统，都称为传输线。传输线可以把电磁波能量从一处传输到另一处，并可用来构成各种用途的微波元器件。大多数传输线损耗都比较小，在使用时一般作为无耗传输线。

一段特性阻抗为Z0的传输线，一端接信号源，另一端接负载，传输线参数：

带回原公式，并使用d=L-z，得到：

式中，d为距离终端Z_L的距离。

根据上式，可得输入阻抗的表达式：

传输线上某点处的反射系数定义为该点的反射波电压/电流与入射波电压/电流之比：

其中，Γ_L为终端反射系数：

如上图，从源端向长度d=L的传输线方向看，所得的输入反射系数为：

从负载向信号源方向看，可得信号源反射系数：

输出反射系数与输入反射系数的表示方法相似，但行进方向相反：

传输系数定义为传输线上某处的传输电压/电流与该处的入射电压/电流之比：

传输系数与反射系数之间的关系：

按上图，可得负载端和源端的传输系数为：

传输线上相邻波腹点和波谷点的电压振幅之比为电压驻波比VSWR，简称驻波比SWR，也称驻波系数。驻波系数的倒数称为行波系数，用K表示。驻波比与反射系数的关系为：

选取传输线上驻波最小点为测量点，其距离负载距离为d_min，该点阻抗为纯阻，因此：

可见，当传输线特性阻抗一定时，传输线负载阻抗与阻抗参量一一对应，可通过直接测量VSWR和d_min来确定Z_L。而dmin的获得是通过测量距负载的第一个电压驻波最小点位置，如果测不到就将负载短路，再在线上某处确定一个电压波节点为参考点，然后接上被测负载测量参考点附近的电压驻波最小点，利用λ/2重复性计算得到参考点处的阻抗便是负载阻抗。

回波损耗定义为入射功率和反射功率的比值，一般使用对数来表示：

回波损耗可用反射系数表示：

反射损耗一般仅用于信号源匹配，是负载不匹配引起的负载功率减小的量度：

在源端匹配情况下，负载吸收功率可用反射系数表示为：

因此反射损耗可用负载反射系数来表示：

如果Z_L=0，此时负载短路，上式变为：

此时电压/电流随线长的变化曲线见下左图。传输线阻抗与观测点和负载之间的距离密切相关，且呈周期性变化。从负载开始，阻抗为零，然后随着距离L的增加，线路阻抗呈现纯虚数并逐渐加大，并且阻抗为正，即呈现感性阻抗；当L=λ/4时阻抗无穷大，等效开路状态；随着L的进一步加大，线路阻抗为负的虚阻抗，即线路呈现容性阻抗；当L=λ/2时，阻抗再次变为零。当L大于λ/2，则重复一个新的周期。

如果Z_L=∞，此时负载开路，上式变为：

此时电压/电流随线长的变化曲线见上右图。

如果传输线负载阻抗匹配，即Z_L=Z₀，此时Z_in(L)=Z₀，为常数，与距离无关。

当d=λ/2，这时输入阻抗等于负载阻抗，且与传输线的特性阻抗无关。

这样得到一个λ/4阻抗变换器，通过选择一段传输线，使一个实数负载阻抗与一个希望的实数输入阻抗匹配。此时传输线的特性阻抗等于负载阻抗与输入阻抗的几何平均值：

有耗传输线传输系数γ=α+jβ，反射系数则为：

7.常见的一些传输线：

常见的传输线有平行双导线、同轴线、微带线、带状线、槽线、共面波导、矩形波导、圆波导、脊波导、鳍线、矩形介质波导、圆形介质波导、镜像线等等，各有不同的特性及应用场合。平行双导线一般用于米波及以下频段，成本低；微带线、槽线、共面波导等属于平面传输线，适合在PCB或半导体基片上与有源器件结合使用，制作方便；同轴线频带很宽，价格不是很高，也是经常使用的一种传输线。

一些传输线特性对比表：

由于两根导线相对于地的阻抗相等，确保了两根导线上电流大小相等，流向相反，因而作为平衡馈线使用。平行双导线的导体直径d通常比导体间距小，有时候也把一根与地面平行的单线作为平行双导线使用。在相对低的频率，经常使用双绞线作为传输线。平行双导线结构简单，价格低廉。
由电磁场理论可求出平行双线单位长度上的分布电阻、分布电感、分布漏电导和分布电容：

式中，μ、ε和γ分别为平行双线填充介质的磁导率、介电常数和漏电导率，σ为导线的电导率。而D和d分别是平行双线两根导线的间距和圆形导线横截面的直径。
无耗平行双线的特性阻抗为：

当D>>d时，可得近似表达式：

以空气为介质的平行双导线的特性阻抗Z₀与导线直径d和两个导体中心间距D的关系：

平行双导线的特性阻抗一般为250~700Ω，常用的有600、450、250Ω。在米波和分米波段，经常使用平行双导线作为传输线。
实际中还经常采用导电地面上单导体传输线的情况，由镜像法可将其等效成平行双线。单导线传输线与其镜像一起所等效的平行双线的特性阻抗为：

由此便可得到导电地面上单导线传输线特性阻抗为：

a）位于空间的明线传输线的结构和特性阻抗表达式：


b）靠近地面的明线传输线的结构和特性阻抗表达式：


c）封闭单根线传输线的结构和特性阻抗表达式：


d）封闭平衡双导线传输线的结构和特性阻抗表达式：


e）其他明线传输线结构及特性阻抗表达式：


平行双线的相位常数为：

相应地，平行双线的相速、相波长分别为：

式中，c为真空中的光速，而λ₀=c/f，为真空中TEM波的波长，又称工作波长。
可见，平行双线中电磁波的相速与频率无关，因此其群速度等于其相速，即：υ_g=dω/dβ=υ_P。
无耗平行双线中传输的电磁波为非色散波，故为非色散传输线，这种传输线具有宽频带特点。


式中，E_a为介质中允许的最大电场。
由于平行双线是开放系统，其辐射损耗随频率的升高急剧地升高，只能用于分米波段的低频端，在微波波段外则广泛应用于超短波和短波波段，而中波波段则常使用单导线传输线。

同轴线为不平衡传输线，其电磁场完全集中在同轴线内外导体之间。同轴线主要传输TEM波，其横向电压与静电场相同，存在于导体间。单位长度并联电容：


其中，ε为填充介质的绝对介电常数，a为内导体外径，b为外导体内径。


其中，μ为介质绝对磁导率。


其中，R_s为表面电阻率，ρ为金属电阻率，Δ(f)为穿透深度，f是频率。


其中，σ是介质电导率，tanδ是介质损耗角。


其中，η是无耗同轴线的波阻抗。
对内导体外直径2a和外导体内直径2b及内外导体之间填充的相对介电常数介质ε_r的同轴线，特性阻抗：

其中，λ₀为自由空间波长。
总的损耗因子用单位长度分贝数表示：

对多芯内导线，特性阻抗为：

在行波状态下同轴线传输TEM模时的平均传输功率为：

若同轴线的击穿电压为V_b，所对应的击穿电场强度为E_b，可知V_b=E_baln(b/a)，同轴线的功率容量为：

同轴线的最大峰值功率：

同轴线有电晕电压和介质承受电压。同轴线工作电压必须小于电晕电压。同轴线最大交流工作电压由电缆厂家提供，承受最大直流电压应当是最大交流电压的3倍，实际峰值电压是最大交流电压的1.4倍。有效输入电压与实际输入电压的关系：

电波在同轴线中传播速度比光速慢，速度系数几乎完全取决于同轴线中填充的介质：

常用介质材料介电常数、损耗角正切及工作温度范围：

乙烯氯醛氧化乙烯ECTFE

①耐压最高时的特性阻抗：
外导体接地，内导体接电压V_m，则内导体表面的电场为：

设E_a取介质的极限击穿电场，故：

求V_max极值，即令dV_max/dx=0，可得x=2.72。这时固定外导体半径的同轴线达到最大电压。此时，同轴线的特性阻抗为：

当同轴线中填充空气时，相应于耐压最大时的特性阻抗为60Ω。
②传输功率最大时的特性阻抗：
限制传输功率的因素也是内导体的表面电场，得到：

式中，x=b/a。要使P_max取最大值，则应满足dP_max/dx=0，于是可得：

当同轴线中填充空气时，相应于传输功率最大时的特性阻抗为30Ω。
③衰减最小时的特性阻抗：
同轴线的损耗由导体损耗和介质损耗引起，由于导体损耗远比介质损耗大，因此只讨论导体损耗的情形。设同轴线单位长度电阻为R₀，而导体的表面电阻为R_S，两者之间的关系为：

导体损耗而引起的衰减常数为：

要使衰减系数最小，则应满足dα_c/dx=0，于是可得xlnx-x-1=0，即x=b/a=3.59，此时特性阻抗为：

当同轴线中填充空气时，相应于衰减最小时的特性阻抗为76.7Ω。
常用同轴线特性阻抗为50、75、95Ω。50Ω的同轴线兼顾了耐压、功率容量和衰减的要求，b/a=2.303，是一种通用型同轴传输线；75Ω的同轴线是衰减最小的同轴线，主要用于远距离传输；数据传输多用95Ω。
选择同轴线尺寸的原则是：①保证在给定的工作频带内只传输TEM模；②满足功率容量要求，即传输的功率尽量大；③损耗小。 为保证同轴线只传输TEM波而不产生高次模：

变形同轴线结构及特性阻抗：

同轴线内导体外表面和外导体内表面存在高频电荷与电流：

工程上有时需要在同轴线外导体上开槽，必须考虑导体壁上的电流走向，顺着电流线方向开窄缝，电流不致受破坏，场分布也不致发生变化，如果槽缝割断了电流线，则电流分布遭到破坏并导致场分布改变，而被割断的电流也会在槽中激起电场并向外辐射能量。因此，供测量用的槽缝应顺着电流线开，若要耦合出电场可用探针并平行于电力线，若要耦合出磁场可用小环并让磁力线通过环面。

带状线导体宽度W，处于具有相同介电常数的介质平板之间，介质表面被金属化并作为地导体。一般情况下，带状导体是使用光刻腐蚀方法制作在一块介质板上。因为带状线有两个导体和一个均匀介质，支撑纯TEM波模式。


零厚度无耗带状线特性阻抗准确表达式：

其中，K为第一类完整的椭圆积分。

与结果相差1%以内的Z₀表达式：

其中，W_e为中心导体的有效宽度：

当导体带厚度不能忽略时（t≠0）：

对零厚度带状线求解w/b的公式：

带状线辐射衰减α_r在满足下式时可以忽略不计：

因为带状线是TEM型传输线，所以电介质损耗的衰减与其他TEM传输线（如同轴线）的形式相同：

导体损耗因子（Np/m）近似结果：

衰减量有两种单位：Np和dB，其定义为：

如果使用单位dB/m，则按下式计算：

可以画出不同介电常数下带状线特性阻抗与归一化带线宽度W/b之间的关系曲线，一些基板材料的主要电特性和热特性表：

导波沿带状线传播的速度为：

其中，ε_r为带状线中填充介质的相对介电常数，c为光速，λ₀为自由空间中TEM波波长。
带状线传输功率主要受两个因素制约：一是介质本身的击穿场强（与峰值功率相对应），二是介质自身所能承受的最高温升（与平均功率相对应）。带状线中心导体带的棱角处最容易发生电击穿，若把棱角改为光滑的圆角，则其功率容量会有所提高。
经倒圆角的空气带状线的最大峰值击穿功率为：

式中，P_max为最大峰值击穿功率，单位kW；P为大气压力，单位atm；b的单位为cm。1atm=1.01325x10⁵Pa。 在无源MICs中普遍应用带状线，但由于在高的频率可能激励起不需要的平行板模式，因此带状线更适应于微波的低频段。带状线主模是TEM模，当b较大时出现径向线模，带状线只传输TEM模的条件：

其中：W为带状线宽度，b为接地板间距。为了减小带状线在横截面方向的能量泄漏，上下接地板的宽度D和接地板间距b必须满足：D>(3~6)W或b<<λ/2。
由于带状线的辐射损耗比较小，且结构对称，很容易与同轴线相连接，因此适合制作各种高Q值、高性能的微波元件，如滤波器、定向耦合器和谐振器。如果带状线中引入不均匀性时会激起高次模，故不太适合制作有源部件。
带状线的最高工作频率(GHz)取：

式中，W、b的单位为cm。


微带线中，接地的金属面仅覆盖介质基板的一面。这种情况下，电力线与磁力线位于两个电介质区，结果电磁波沿微带线传输的不是纯TEM波，因为在这两个区域相速是不同的。但在准静态近似条件下，只要介质基板的厚度与波长相比足够小，给出的结果足够准确，就可以得到电特性的表达式。

微带线不能支持TEM波，因为在空气区域中的TEM场的相速是c，而在电介质区域的TEM场的相速为c除以相对介电常数的平方根，这样在介质分界面上不可能实现TEM波的相应匹配。微带线严格场解是由TM-TE波组成，然而在绝大多数实际应用中，介质基片非常薄（d<<λ），其场是准TEM波，换言之，场基本上与静态情形时相同，相速、传播相移常数和特性阻抗可以由静态或准静态解获得。

式中，ε_e是微带线的有效介电常数。因为微带线的部分场在介质区域，部分场在空气区域，所以有效介电常数满足关系：1<ε_e<ε_r，并依赖于基片厚度d和导体宽度W。
微带线的有效介电常数可以解释为一个均匀媒质的介电常数，即：

这个均匀媒质取代了微带线的空气和介质区域。
工程上，有时使用填充因子q来定义有效介电常数：ε_e=1+q(ε_r-1)。q值的大小反映了介质填充的程度。当q=0，ε_e=1，对应于全空气填充；当q=1，ε_e=ε_r，对应于全介质填充。


式中，Z_c0=ε_e/cC₀为无介质基片的微带的特性阻抗。 对于无屏蔽盖的开放式微带，不考虑介质基片的影响(ε_r=1)时的特性阻抗Z_c0可以表示为：

考虑到介质基片的影响，对Z_c0应根据ε_e进行修正，其中的等效介电常数ε_e可按下式求得：

该计算式在ε_r≤128和0.01≤u≤100时精度优于0.2%。这样就可以求出零厚度开放式微带线的特性阻抗。若考虑导体带的厚度t，需对算式中的u进行修正：

将修正后的u_r代替原来的u代入特性阻抗算式，就可以求得考虑了导体带厚度t后的微带特性阻抗。
在实际的微带电路中，为了增加机械强度，提高抗干扰能力，便于加装连接头等，一般都需要一个金属屏蔽外壳。如果外壳内宽L满足L/W>>1，L/h>>1，则屏蔽外壳两边侧壁的影响就可以忽略，而顶盖的影响则分别表现为对Z_c0和ε_e的修正：

式中，Z^∞_c0为无屏蔽外壳或者说屏蔽壳在无穷远处时和微带线充满空气介质时的特性阻抗，而ΔZ_c0为：

h'为屏蔽外壳顶盖内表面到微带介质基片上部的高度，因此介质片下部接地板到顶盖板内表面的距离就是h'+h。
屏蔽外壳顶盖对等效介电常数的影响则可根据填充因子q来计算，其近似公式为：

式中，q₁为无屏蔽外壳和导体带厚度为零时的填充因子，q₂为导体带厚度不为零时的修正因子，q₂为屏蔽外壳的修正因子。

计算结果表明，当1≤ε_r≤30，0.05≤u≤20，t/h≤0.1及1<h'/h<∞时，Z_c0和ε_e的最大误差都小于±1%。而且，在h'/h>5时，顶盖对微带特性阻抗的影响可以不予考虑。
综合来说，对于零厚度微带线可以采用以下Gupta公式求出微带线有效介电常数ε_eff和阻抗Z₀。
对w/h≤1的窄微带线：

对W/h≥1的宽微带线：

具有有限带线厚度的无耗传输线的特性阻抗准确表达式：

可以画出不同相对介电常数基板零带线厚度下的微带线特性阻抗与归一化带线宽度W/h曲线。微带线特性阻抗随着w/h的增大而减小；相同尺寸下，ε_r越大，特性阻抗越小。实际情况下，还是可能用足够简化的方程来计算零带线厚度微带线特性阻抗：

对于给定的特性阻抗和介电常数，比值W/d可以按下式求得：

对导带厚度不为零情况，介质微带线的有效介电常数和空气微带的特性阻抗需要修正。导带厚度t≠0可等效为导体宽度加宽为w_e。当t<h，t<w/2时，修正公式为：

在前述零厚度特性阻抗计算公式中，用w_e/h代替w/h即可得到非零厚度时的特性阻抗。
微带线的波导波长与有效介电常数有关：

微带线是半开放结构，除了导体损耗和介质损耗，还有一定的辐射损耗。不过当基片厚度比较小而相对介电常数比较大时，绝大部分功率集中在导带附近的空间，辐射损耗很小，与其他两种损耗比可以忽略。
对于准TEM波近似的微带线，导体损耗因子作为微带线几何形状的关系表达式：

其中R_s是导体的表面电阻：

为了降低导体损耗，要选择表面电阻率小的导体，对微带加工工艺也有严格要求。需要加大导体带厚度，一般取导体厚度为5~8倍趋肤深度，导体表面的粗糙度要尽量小，应微米以下。


大多数微带线，导体损耗比介质损耗更重要，但当硅和砷化镓等半导体材料作为介质基片时介质损耗不可忽略。导体材料电阻率见表：

对微带线，当频率较高时高次模使特性阻抗和相速随着频率的变化而变化，具有色散特性。为了补偿这种影响，需计算色散效应，这可用无色散时的量来表示。

其中，ε_e(0)和Z₀(0)是设无色散时的值。
实际中，常常用屏蔽盒将微带线封闭起来，以减小辐射损耗和交叉干扰。当屏蔽盒宽边a>5W和高度b>5h时，屏蔽盒的影响可以忽略，这时屏蔽盒对场分布的影响不显著。

微带线工作频率受以下因素的限制而不能太高：激励起高次模、较大的损耗、制造的公差、加工的脆弱性和显著的不连续效应、由于从不连续处的辐射而引起的低Q，以及工艺处理等因素。在准TEM波与最低阶的表面波寄生模之间出现明显耦合的频率是：

式中，f单位GHz，h单位mm。这样，对100GHz设计的GaAs(ε_r≈12.9)微带电路，其最大厚度小于0.3mm。最大厚度也受开路末端、间隙、槽、宽度的阶梯变化及弯曲等不连续引起较高辐射损耗的限制。
对于λ/2谐振器，辐射Q因数可近似为：

对较厚的衬底，Q≈Q_r，而Q的变化正比例于1/(fh)²。例如，在GaAs衬底上的50Ω谐振器，其Q_r≈1.44x10⁴/(fh)²（f单位GHz，h单位mm）。在100GHz，其衬底厚度<0.125mm，Q_r>100，这一数量级的厚度，其衰减为1dB/cm数量级。对约100Ω的高阻线，对在0.125mm厚的GaAs衬底上的微带线宽度约为0.01mm量级，因此低Q也限制了工作频率。
微带线中除了准TEM模外，还可能存在其他高次模，高次模分为两种：波导模和表面波模。波导模是指在金属导带与接地板之间构成有限宽度的平板波导中存在的TE模、TM模；表面波模是指微带线导带的两侧可视为金属板上涂敷介质的表面波波导，能传播表面波模。微带线单模工作条件：

为了抑制高次模，微带尺寸应满足：

实际中常用基片有纯度99.5%的氧化铝陶瓷（ε_r=9.5~10，tanδ=0.0003）、聚四氟乙烯（ε_r=2.1，tanδ=0.0004）和聚四氟乙烯玻璃纤维板（ε_r=2.55，tanδ=0.008），基片厚度一般在0.008~0.08mm之间，而且一般都有金属屏蔽盒，使之免受外界干扰。金属屏蔽盒高度取H≥(5~6)h，接地板宽度取L≥(5~6)W。

5）悬置微带线和倒置微带线：

悬置微带线和倒置微带线电磁场的大部分处于空气中，介质影响不大，其有效介电常数接近于1，从而其特性参量接近空气中的参量，线中损耗大大减少，具有比微带线更高的Q值，接近于无色散，因此特别适合应用于滤波器、谐振电路等Q值较高（500～1500）的场合。缺点是结构不紧凑。


对t/h≤1时，特性阻抗和有效介电常数分别为：

对悬置微带线，u=W/(a+b)；对倒置微带线，u=W/b。
悬置微带线的有效介电常数为：

倒置微带线的有效介电常数为：

对于1<W/b≤8，0.2≤a/b≤1和ε_r≤6，以上二式ε_e的精度在±1%以内；对于ε_r≈10时，误差小于±2%。
带有屏蔽壳的悬置微带线，其介质基片及其上面的导体带都远离接地板而悬于空气中，这种结构便于并接安置半导体器件，也便于放置铁氧体及介质谐振器等，从而构成隔离器、环行器和滤波器等各种微波元器件，也便于把导体带与接地板相接而构成短路。

当需要高的特性阻抗时，可使用槽线。槽线是一个双微带线，两导体之间有一个窄的槽，其中一个导体是接地的，改变槽的宽度很容易改变槽线的特性阻抗。槽线不支持TEM模，传输的是准TE模，没有截止频率，但是有色散性质，因此其相速和特性阻抗均随频率而变。横电波H模沿槽线方向传输。


上图是在基片敷有导体层的一面上开出一个槽（在1～10GHz范围内，典型槽宽为21～30mil，约0.5～0.8mm），在介质基片的另一面则没有导体层覆盖。为了使电磁场更集中于槽的附近，并减少电磁能量的辐射，则应采用高介电常数（9.7~20）的介质基片，而如用槽线来做天线，必须用低介电常数的衬底来实现。提供计算槽线参数的准确解析表达式比较困难，利用准TEM近似，零导体厚度、整个槽线系统无穷宽的假设下，得到特性阻抗方程：

这些方程是在假定无线薄导体得到的，并在下列范围具有2%以内的精度：

式中，(h/λ₀)_C是槽线TE₁₀表面波模的截止频率，由下式给出：

可以给出误差在2%以内的h/λ₀=0.02及相对介电常数为9.7、11、12，...，20条件下槽线特性阻抗与归一化宽度W/h之间的关系曲线，以便于简单查询。
一种简化的得到特性阻抗表达式：

式中，空气全填充时的特性阻抗：

其中，A为槽线总带宽，W为槽宽。


也可以使用另外一种计算公式：

槽线是一种宽频带结构，但难以得到低于60欧姆的特性阻抗，在实际应用中可以在介质基片的一面制作出由槽线所构成的需要电路，在介质基片的另一面制作出微带传输线，那么利用它们之间的耦合即可构成滤波器和定向耦合器等元件。

7）共面波导与共面带线：

共面波导结构上类似槽线，区别是在槽的中央有第三导体，中心带线导体和外面两个接地导体处于同一平面。因为导电层都集中在介质基片同一平面上，便于无源器件和有源器件的连接，并联安置器件也很方便，不需要在介质基片上打孔或开槽。共面波导具有椭圆极化磁场，可制成非互易铁氧体器件。为了使电磁场更加集中于中心导体带和接地板所在面的空气与介质的交界处，则应采用高介电常数的材料作为介质基片。共面结构适合做成包含有源器件的混合电路和集成电路。


共面波导也可以用准TEM近似描述，以便数值计算或解析计算。零金属厚度和介质基片无穷宽时，特性阻抗近似表达式：

第一类椭圆积分的比值前面已经提到，K(k)/K(k')的误差小于3X10^-6的近似表达式为：

而有效介电常数的近似表达式为：

在ε_r≥9，h/W≥1和0≤k≤0.7范围内，精度优于1.5%。
还有一种共面带线，由在介质基片上同一面的两条相互平行的导带组成。

有效介电常数的近似表达式为：

在毫米波频段，普通金属波导由于几何尺寸的减小，对加工精度要求很高；对微带线，由于损耗增大，且加工困难，应用受到限制。加鳍波导线（或称鳍线Finny Line）是毫米波段的一种新型传输线，具有色散特性弱、单模工作频带宽、损耗不太大、对条带的加工要求不很严格、便于同固体器件相连接等优点，并可用来构成混频器、谐振器、滤波器、阻抗变换器等微波元器件。目前，几乎所有频率高达100GHz的毫米波部件都可利用鳍线电路实现。
鳍线，由单面或双面敷有金属膜的介质基片插入毫米波波导中形成，在金属膜中央对称轴线处去掉一定宽度的金属形成一个缝隙。单面金属膜处于波导宽边中央与宽边垂直，而它与波导宽边并不要求十分严格的连接，因为对基模TE₁₀波来说，在波导宽边中心处的高频电流是纵向的，平行于金属鳍，所以鳍与波导壁的不良连接并不会切断高频电流，这种鳍线称为单面鳍线。若介质基片双面敷有金属膜，则应使介质片处于波导宽边中央，使两个金属膜相对波导宽边轴线左右对称分布，这种鳍线称为双面鳍线。

在鳍线中传播的是一种混合波，它由TE模和TM模混合组成。如果混合模中以TE模为主，称为磁电模，以HE表示；如果以TM模为主，则称为电磁模，用EH表示。在截止状态下的HE模就变成纯TE模，EH模变成纯TM模。如果设计合理，鳍线中将可以传播主模为准TE₁₀模的混合模。
鳍线的主要优点是：①鳍线的准TE₁₀模的单模带宽比对应矩形波导的TE₁₀模单模带宽要宽；②鳍线广泛应用于毫米波领域，因为此时鳍线的尺寸能与毫米波有源或无源器件共度，从而为电路集成提供了方便；③鳍线中的波导波长比同一频率下微带线中的波导波长长，因而对鳍线的加工公差要求比微带低；④鳍线可以直接由标准矩形波导构成，因而十分易于在整个波导带宽内与波导系统连接。

加鳍的制作过程是先在介质基片的一面或两面上采用与制作微带线相同的工艺过程，制作出所需的导体带，然后将介质基片安装在矩形波导的中央部分与电力线平行。与脊形波导相比，加鳍波导是脊形波导凸缘部分的宽度无限减小时的特例，双鳍波导则可看成是两个单鳍波导的叠加。
鳍线特性阻抗的计算有多种不同的近似方法，但大多数是经验公式，P.Pramanick和P.Bhartia提出的单面鳍线特性阻抗近似表达式，这一公式可以适用于0<b/a≤1，1/32≤W/b≤1，1/64≤S/a≤1/4及介质基片相对介电常数1≤ε_r≤3.75的取值范围，给出的表达式为：

λ、λ_g则分别为自由空间工作波长及其在鳍线中的波导波长。
在S/a≤1/20以及0.1≤b/λ≤0.6，其余参数取值范围不变的情况下，有：

由此计算得到的特性阻抗的精度在S/a≤1/20时在±2%以内，在S/a>1/20时在±3%以内。
对于鳍线，只要相对介电常数为中等（常用的微纤强化覆铜板，如RT-daroid，其介电常数一般为2.22），且介质基片厚度不大（h/a<<1），则介质的影响很小，此时可以只考虑TE波或TM波。鳍线的波导波长：

式中，λ=2π/k为自由空间的波长，λ_C=2π/k_C为相同结构尺寸空气填充加脊波导的截止波长，ε_e是鳍线的等效介电常数，通常1<ε_e<ε_r。
鳍线截止时，λ_g→∞，λ→λ_C(ε_r)，于是鳍线的有效介电常数可求得：

式中，k_C(1)是ε_r=1时加鳍波导的截止波数，k_C(ε_r)是ε_r≠1时加鳍波导的截止波数。
鳍线的特性阻抗可近似表示为：

式中，Z_∞是相同结构尺寸的脊形波导在无限大频率时的特性阻抗。
鳍线结构特别适合作频率为（30～100GHz）的导波传输系统，优点：导波波长比微带线长，公差要求低，便于加工，在整个波导频段都易于用标准矩形波导过渡，损耗较低（约为微带线的1/3），单模工作频道宽，弱色散性，便于同固体器件相连接以构成混频器、振荡器、滤波器、阻抗变换器等微波元器件。
谐振器、滤波器、阻抗变换器、耦合器的电路图形的简图：

对于加鳍波导线，也可以看做是共面波导外加一屏蔽盒，只要屏蔽盒的顶盖与微波电路有足够的距离，屏蔽盒的影响就不大。一般顶盖与微带线间的距离大于介质片厚度的5~10倍。

波导（WAVEGUIDE）是用来定向引导电磁波的结构，一般是指用来传输无线电波的空心金属管，外壳使用导电良好的金属制作。常见的金属外壳波导结构主要有矩形波导、圆波导、脊波导、椭圆波导等。
横截面为矩形的金属柱面波导，可单独传播TE或TM波，主要用于厘米波，也用于毫米波。设宽边为a，窄边为b。
矩形波导传输的主要电磁场模式为TE和TM模。TE波场分量：

同一波导（a、b一定），不同模式（m、n不同），其截止波长不同。为了便于比较，常取定a、b，计算出各模式的截止波长，在同一坐标轴上标出，这种各模式截止波长的分布称为模式分布。其中，截止波长最长的模式称为主模，其余模式称为高次模。

在a>b情况下，矩形波导的主模为TE₁₀模。λ>λ_C为波的截止状态，λ<λ_C为波的传播状态。其中单模区，波导只能传播TE₁₀模，其他模式被截止，而在多模区同时存在多个传播模。实用中，多数情况下，希望波导中只传播一个模式，通过选择工作频率或波导尺寸使处于单模工作区。
不同模式，截止波长一般不同，但也存在不同模式截止波长相同的情况，这种不同物理状态而具有相同本征参量的现象称为简并，截止波长相同的不同模式称为简并模式。由于TE_mn模与TM_mn模的截止波长表达式相同，因此除TE_m0和TE_0n模之外，m和n相同的TE模与TM模都是简并的，这种简并可称为电磁简并（即电波与磁波简并）。但a=b时出现的TE₁₀模和TE₀₁模简并，还有a=2b时出现的TE₂₀模和TE₀₁模简并属于磁波之间的简并。
简并模，因具有相同的传播常数，彼此不直接正交，当波导中出现不均匀或金属壁有耗时，相互之间容易产生能量交换，造成额外损失和干扰。因此一般情况下，应当避免简并模，只在某些情况下可以得以利用。
TE波的电力线全在横截面内，磁力线为空间曲线，而TM波的磁力线全在横截面内，电力线为空间曲线，TM模式中最简单的为TM₁₁模模。在矩形波导中，TE₁₀、TE₀₁、TE₁₁和TM₁₁四种模的场结构是最基本的，是更高次模场结构的基础。
当波导工作在TE₁₀模时，波导宽边中心处开一纵槽，因不破坏电流分布面对场分布不产生影响，而波导窄边上开纵槽则对场分布产生较大的影响，引起能量辐射与反射。TM波，因磁力线全在横截面内，故壁上电流只有z分量。
实际的波导系统，一般希望只传输单模，因为TE₁₀模的截止波长最长，且与b无关，通过选择波导尺寸就能实现单模传输，对于同一工作频率来说，选TE₁₀模比选其他模所需波导的尺寸都小，TE₁₀模的工作带宽也最宽。


最大电场在x=a/2处，

当最大场强达到击穿程度时，即|E_max|=E₀=E_br，此时矩形波导主模的击穿功率为：

可见，矩形波导主模的击穿功率或功率容量与波导内填充的介质及其击穿场强有关，还与波导截面尺寸及工作波长有关。


表明，击穿功率只与波导截面尺寸及工作波长有关。波导尺寸中，b越大，击穿功率越大。

击穿功率随工作波长的增加而下降，当λ/2a>0.9时急剧下降，但λ/2a<0.5时出现高次模，通常将矩形波导TE₁₀模的工作区选在0.5<λ/2a<0.9范围内。
单位长矩形波导中TE₁₀模的电能平均值：

导体壁损耗引起的衰减常数：

矩形波导为单导体导波系统，不存在单值电压波与电流波，因而也不存在单值的特性阻抗，但为了解决匹配等工程问题，人为的依照同轴线的定义得到等效电压和等效电流，进而得到等效特性阻抗。等效特性阻抗有几种表达方式，一般使用：

为了矩形波导只传输主模，并兼顾功率容量要足够大和衰减最小，一般选取：

波导尺寸已标准化，只要按需要选用即可。在特殊情况下，比如传输功率不高可选用b较小的波导，如要求传输功率很高而带宽不宽可以让b>a/2。
实用中，常需要根据标准波导计算其实际频带范围： 1.05λ_CTE20~0.8λ_CTE20。


圆形波导为截面形状为圆形的空心金属管。圆波导加工方便，损耗小，有双极化特性，常用于要求双极化模的天线馈线中。设内壁半径为a。
圆波导常用TE₁₁、TE₀₁和TM₀₁三种模式。圆波导结构具有轴对称性，场的极化方向具有不确定性，使导波场在φ方向存在cosmφ和sinmφ两种可能的分布，它们独立存在，相互正交，截止波长相等，构成同一导模的极化简并模。


可见，TE₁₁模的截止波长最长，是圆波导的主模，TM₀₁是第一个高次模。
圆波导中的简并有两种，一种是极化简并，凡是m≠0的模式本身均存在对φ呈cosmφ和sinmφ两种变化，这表明同一模式存在两个极化方向互相垂直的波，这种现象称为极化简并。圆波导的主模就存在极化简并。圆波导中的另一种简并是TE_0n模与TM_1n模之间的简并，二者截止波长相等。
圆波导TE₀₁模的场结构图：

TE₀₁模的特点：场分量仅有H_z、H_r和H_φ，场结构简单且呈圆周对称分布，无极化简并，但与TM₁₁简并；圆波导内壁处的切向磁场只有H_z分量，故壁电流只有J_φ分量，波导上的横向缝隙对波导中场的影响小。
导体损耗引起的衰减常数：

可见，TE₀₁模的导体衰减常数随频率的升高按f^-2/3单调下降，使可用于毫米波远距离传输。
TE₀₁是高次模，有截止波长更长的TE₁₁、TM₀₁和TE₂₁模，还有简并模TM₁₁。当波导存在不均匀性时，TE₀₁模会变换为其他模，这不仅会使波导衰减增加，还会使传输信号失真。为了避免其他模式，要滤除杂模，一般使用其壁电流只有J_φ分量，将波导作成“叠片式”（由相互绝缘的环形薄铜片叠成波导）结构，或者用细漆包线密绕而成“螺旋波导”。这样的结构不影响TE₀₁模模的传输，但抑制了具有J_φ电流分量的其他模的场。
TE₀₁有简并模TM₁₁，二者相速相同，极易互相转换，需要特别重视抑制TM₁₁模。一般采用“介质膜波导”，即在金属圆波导内壁涂一层介质膜（单介质膜波导）或者涂一层低耗介质后再涂一层较大损耗介质（双介质膜波导）。低耗介质层起分项作用（减慢相速），有耗介质层起滤波作用（损耗杂模）。介质波导加工方便，成本低，但抑制杂模能力不如螺旋波导，因此往往采用适当比例的螺旋波导与介质膜波导组成长距离导波系统。
圆波导TE₁₁模的场结构图：

TE₁₁模的特点：截止波长最长，是圆波导中的主模；具有5个场分量，场结构复杂，但与矩形波导中的TE₁₀模场结构很相似，之间极易转换；存在极化简并，致使波导中场的极化方向不稳定，因此传输能量大多数实用矩形，少数特殊情况（如传输圆极化波）才采用圆波导，主要用于谐振腔与微波元件。
圆波导TM₀₁模的场结构图：

TM₀₁模的特点：与TE₀₁模相对应，有三个场分量E_z、E_r和E_φ，场结构也呈圆周对称分布，无极化简并，常用作雷达天线与馈线之间的旋转关节元件的工作模式；电场E_z分量集中在波导轴线及其附近，可以有效地和轴向运动的电子交换能量，因此常用于某些微波管和直线加速器的谐振腔中。
脊波导是矩形波导的一种变形，是在矩形宽边中心处向内突，有两种形式：

脊波导的场分布一般不同于矩形波导，但其TM_m0模与矩形波导相应模式的场分布相似，其主模仍是TE₁₀。
脊波导与相同截面尺寸的矩形波导相比有以下特点：
⑴工作频带宽：脊棱对主模的作用相当于使矩形波导a边加宽，因此主模的截止波长增大了，而对TE₂₀模电场影响小，所以时波导的单模带宽显著增加
⑵在同一工作频率下，脊波导的尺寸比矩形波导小
⑶等效特性阻抗比矩形波导低，常用作高阻抗矩形波导与低阻抗同轴线及微带线的过渡装置
⑷功率容量比矩形波导低，衰减比矩形波导大，主要用于传输功率不大的宽频带元件
横截面为圆的一部分的金属柱面波导，即在圆波导中在径向加入薄金属板构成。不同张角的扇形波导有不同的波形分布，有两个特例：

①ψ=2π：相当于在圆波导中φ=0°处加入一径向金属薄片，主模为TE_1/2模，截止波长为λ_C=5.41a，比圆波导主模的截止波长增加了很多
②ψ=π：为半圆波导，主模为TE₁₁模，截止波长与圆波导的截止波长相等。半圆波导的第一高次模为TE₂₁模，截止波长为2.057a，比圆波导的第一高次模的截止波长2.61a更短，因此半圆波导主模的工作带宽增宽了，但主模衰减略大，而功率容量下降了一半。
由于不存在方向的对称性，所以扇形波导没有极化简并。
椭圆波导为横截面为椭圆形的金属柱面波导，其主模为TE_e11，与矩形波导的主模TE₁₀和圆波导主模TE₁₁的场结构十分相似，三者之间的转换很容易。

椭圆波导的第一高次模与椭圆的离心率e有关：e=1-(b/a)²
式中，a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
设矩形波导的宽边为2a窄边为2b，圆波导的半径为a。在椭圆波导长轴、矩形波导宽边、圆波导直径相等，椭圆波导短轴、矩形波导窄边、圆波导半径相等情况下，三种波导主模的单模传输带宽分别是：椭圆波导1.51a，矩形波导2.00a，圆波导0.80a，可见椭圆波导的单模带宽居于矩形和圆波导之间。椭圆波导的导体衰减小于矩形波导而大于圆波导，也介于矩形与圆波导之间。
自从研制出波纹型软椭圆波导，使其获得发展和应用，其特点：
⑴椭圆软波导可以大长度制造，用铜带纵向焊接轧制，长达数百米，从而减小了主馈线上的边接元件以及连接元件带来的不良影响。而矩形和圆波导采用拉制工艺，一般只能拉几米长。
⑵椭圆软波导可以弯曲，能够缠绕在电缆盘上，便于运输和敷设。矩形波导虽然也可以作成软波导，但在缠绕和敷设时难以保证尺寸和结构的稳定性；而圆波导截面的微小变形就会引起极化面旋转和模式分裂，因此没有有效的软波导。采用椭圆软波导，增加了线路的灵活性，不必用弯波导、扭波导等元件。
⑶成本低，总体性能好。

介质波导制作工艺简单，在毫米波频段能传输电磁波能量，且随着频率的升高，这种介质波导能有效地将电磁能量的大部分限制在介质内部，且损耗不太大。介质波导有多种结构形式，有金属覆盖介质线、介质管波导、介质棒波导、介质板、介质覆盖导体板、介质杆、涂介质单导线、介质镜像线、H形波导（带状介质波导）和O形波导等。
介质波导工作时，电磁波沿着介质波导在介质内部和表面附近区域中进行传输，介质波导传输的电磁波在介质外沿横向方向随离开介质表面距离的增加按指数规律衰减，这种波称为表面波，因此介质波导也称表面波波导。典型表面波场是指该场在远离介质表面时呈指数衰减，但绝大部分场保存在介质里或介质表面附近；在较高的频率下，场一般更紧密地贴近介质，从而使这样的波导更实用。
介质波导是一种开放式传输线，其频带宽、损耗小、成本低、性能可靠，便于与微波元器件、半导体器件等连成一体来构成毫米波和亚毫米波的混合集成电路。只适合于毫米波高端、亚毫米波和光波范围，可采用聚苯乙烯、聚四氟乙烯、氧化铝陶瓷、石英或其他损耗较小的介质材料。


介质波导可分为两大类：一类是开放式波导，主要包括圆形介质波导和介质镜像线等；另一类是半开放介质波导，主要包括H形介质波导、G形介质波导等。
圆形介质波导由半径为a、相对介电常数为ε_r的介质圆柱组成。介质波导的导模是表面波模，在介质柱内场沿r呈驻波分布，在介质柱外场随r的增大呈指数衰减，相速小于介质2中光的速度而大于介质1中光的速度。分析表明，圆形介质波导不存在纯TE_mn和TM_mn模，但存在TE_0n和TM_0n模，一般情况下为混合HE_mn和EH_mn模。

其中，c为真空中的光速，q_c为贝塞尔函数的宗量。
根据四种模式的截止条件，将不同模式的q_c值代入式中，就可以求出该模式的截止频率。圆柱介质波导中HE₁₁模的最低截止频率为0，即任何频率均可以传输，无截止频率，是主模，其余都是高次模。最靠近主模的是TM₀₁模和TE₀₁。场分布如图：

圆形介质波导的常用模式：
圆形介质波导中TE_0n和TM_0n模也有截止现象，且在截止时是简并的，截止频率为：

式中υ_0n是零阶贝塞尔函数J₀(x)的第n个根。特别地，n=1时，有：

在同样工作频率下，TE₀₁模在介质波导内部传输的功率是最大的，所以在介质谐振器中被广泛采用。


其中υ_1n是一阶贝塞尔函数J₁(x)的第n个根，υ₁₁=0，υ₁₂=3.83，υ₁₃=7.01，......。可见，f_c11=0，即HE₁₁模没有截止频率，该模式是圆形介质波导传输的主模，而第一个高次模为TE_0n和TM_0n模。因此当f<f_c01时，圆形介质波导内将实现单模传输。
HE₁₁模不具有截止波长，而其他模只有当波导直径大于0.626λ时才有可能传输；在很宽的频带和较大的直径变化范围内，HE₁₁模的损耗很小；HE₁₁模可以直接由矩形波导的主模TE₀₁激励，不需要波型变换。单模光纤大多也工作在HE₁₁模。介质波导具有色散特性，介电常数越大，色散越严重。
对主模HE₁₁来说，由于圆形介质波导的OO'平面两侧场分布具有对称性，因此可以在OO'平面放置一金属导电板而不致影响其电磁场分布，从而构成介质镜像线。圆形介质镜像线是由一根半圆介质杆和一块接地的金属片组成。由于金属片和OO'对称面吻合，因此在金属片上半个空间内，电磁场分布与圆形介质波导中OO'平面的上半空间的情况完全一样。利用介质镜像线来传输电磁波，可以解决介质波导的屏蔽和支架的困难。在毫米波波短内，由于这类传输线比较容易制作，并且具有较低的损耗，因此比金属波导优越。
除了圆形介质镜像线，还有矩形介质镜像线，在有源电路中应用较多。介质镜像波导和隔离介质波导中因为引入接地板，不仅有利于散热，还便于为外接的固体器件加直流偏置，而且隔离介质波导结构是在介质棒和接地板之间加一层高介电常数的介质，可以降低导体损失。

H形波导由两块平行的金属板中间插入一块介质条带组成，制作工艺简单、损耗小、功率容量大、激励方便。
H形波导的传输模式通常为混合模式，可分为LSM和LSE两类，并且又分为奇模和偶模。LSE模的电力线位于空气-介质交界面相平行的平面内，故称之为纵截面电模LSE，而LSM模的磁力线位于空气-介质交界面，故称之为纵截面磁模LSM。
H形波导中传输的模式取决于介质条带的宽度和金属平板的间距。合理地选择尺寸可使之工作于LSM模，此时两金属板上无纵向电流，此模与金属波导的TE_0n模有类似的特性，并且可以通过与波传播方向相正交的方向开槽来抑制其他模式，而不会对该模式有影响。在H形波导中，主模为LSE_10e，其场结构完全类似于矩形金属波导的TE₁₀模，但它的截止频率为零，通过选择两金属平板的间距可使边缘场衰减到最小，从而消除因辐射而引起的衰减。

传统矩形波导损耗低、Q值高、功率容量大，但是为立体结构，很难与微波电路集成。基片集成波导SIM（Substrate Integrated Waveguide）结构如图，它是在上、下敷金属板的介质基片中插入两排金属短路针而形成。

这种结构可采用普通的印刷电路技术进行加工，制作简单，成本低，高频领域具有较低损耗，这是平面结构，易于与其他平面电路集成。
假设介质基片集成波导的宽度、短路针的直径及间距分别用a、d和p表示，则等效波导的宽度可用以下经验公式计算：

式中，短路针直径d选择等于或小于最大工作频率的二十分之一波导波长，间距p等于或小于2倍短路针直径，且：

于是等效矩形波导宽度为：

基片集成波导等效成传统矩形波导之后，其特性就可以用传统矩形波导的分析方法进行分析了。

光纤又称为光导纤维（Optical Fiber），是在圆形介质波导基础上发展起来的导光传输系统。光纤是由折射率为n₁的光学玻璃拉成的纤维作芯，表面覆盖一层折射率n₂的玻璃或塑料为套层所构成，n₂<n₁，也可以在低折射率n₂的玻璃细管中充以折射率为n₁的介质。

光纤属于光波导的一种，工作于光频范围的介质波导称为光波导。光波导一般分为圆柱形（光纤）和平面形（薄膜波导和带状波导），通常由石英玻璃、塑料或晶体等材料构成。
光纤是一种常用的光波导，具有频带宽、损耗小、性能稳定、保密性好、体积小、重量轻、强度高、结构柔软、耐腐蚀、大批量生产时价格低等优点，应用广泛。在发送端，用电信号对光源发出的光载波进行调制（调幅、调频、调相或功率调制），受到调制的光波经光纤传输到接收端，再经光检测器的解调使之还原为原来的电信号。通常用的光源有半导体二极管激光器和半导体发光二极管，用作光检测器的则有光电二极管和雪崩光电二极管。用光纤制成的光缆，可以使通讯距离长达几百、几千甚至几万公里。
薄膜光波导可以构成各种光波导器件，如耦合器、调制器等光器件，是集成光学的基础。
光纤按材料可以分为石英系、多组分玻璃纤维、塑料包层、全塑光纤。作为传输线用的光纤绝大多数为石英材料制成，通常用高纯度的石英作为芯层和包层的基础材料，然后分别掺入少量不同的介质，用以控制或改变其折射率。掺入二氧化锗或五氧化二磷可使折射率增大，掺入三氧化二硼或氟化物可使折射率减小。无包层的光纤与外界接触时会产生结构上的不均匀或不连续，从而造成光能量的反射和散射，加包层可以避免这种损耗，还增加了芯层的机械强度和抗弯曲能力。
光纤的典型工作波长为0.75～1.6um，当波长为1.3um和1.55um时衰减和色散都较小，目前的传输损耗降低到0.15dB/km。
光纤分为单模光纤和多模光纤。单模光纤只传输主模HE₁₁，避免了模式分散，频带很宽，容量很大。主模HE₁₁没有截止频率，第一个高次模为TM₀₁模，截止波长为：

式中，υ₀₁=2.405是零阶贝塞尔函数J₀(x)的第一个根；n₁和n₂分别为光纤内芯于包层的折射率；D为光纤的直径。因此，为了避免高次模出现，单模光纤的直径D必须满足：

其中，λ为工作波长。单模光纤尺寸的上限与工作波长在同一数量级，而由于光纤工作波长在1um量级，因此对制造工艺带来困难。
为了降低工艺制造难度，可以通过减小折射率的平方的差值。当n₁和n₂相差不大时，光纤直径可以比工作波长大一个数量级。目前其芯层直径一般为4～10um，加上包层和保护层后为125um。单模光纤芯层折射率略大于包层（如1.5和1.499），交界处折射率呈阶梯形，常称为阶跃型光纤。

多模光纤可以传输多个模式，其折射率分布可以呈阶梯形，此时芯层直径一般为50～200um，加上包层和保护层后为125～400um。多模光纤制造工艺相对简单，同时对光源的要求也比较低，有发光二极管就可以。但在多模光纤中可以有大量的模式以不同的幅度、相位与偏振方向传播，出现较大的模式分散，从而使传播性能变差，容量变小。现阶段光纤的接收只考虑光功率和群速，相对传输性能比较好，容量较大的渐变型多模光纤也可以使用。

折射率呈阶梯形分布的多模光纤传输多模时，模式间色散较大，所以常采用芯层折射率径向渐变的光纤，称为渐变型光纤，此时芯层直径一般为10～50um，加上包层后为125um，芯层折射率分布多为抛物线形（平方率）。

CCITT建议光纤几何参数的标准误差为：芯径±3um，包层外径±3um，偏心率小于6%，包层椭圆度小于2%。
数值孔径NA是表明光纤对光的接收和传输能力的一个重要参数。从几何光学上看，并不是所有的入射到光纤端面上的光都能进入光纤内部进行传播，都能从光纤入射端进去从光纤出射端出来，而只有角度小于某一个角度θ的光线才能在光纤内部传播，将这一角度的正弦值定义为光纤的数值孔径。光纤的数值孔径还可以用相对折射率差来描述：

这说明，为了取得较大的数值孔径，相对折射率差应大一些。
CCITT定义光纤最大理论数值孔径：

CCITT建议，光纤最大理论数值孔径为0.15～0.24范围内任取一值作为标准，允许偏差0.02。我国一般采用0.20±0.02作为标准。
光在光纤传播过程中引起的功率衰减为损耗。下图为单模光纤波长与损耗的关系：

由图可见，在1.3um和1.55um波长附近损耗较低，且带宽较宽。下表为常用光纤的损耗：

光纤的色散是指光纤传播的信号波形发生畸变的现象，表现为光脉冲宽度展宽。光脉冲展宽后有可能使到达接收端的前后两个脉冲无法分辨，因此限制传送数据的速率，也就限制了通信容量。
光纤色散主要有材料色散、波导色散和模间色散三种。材料色散是因为光纤材料的折射率不是常数，而是频率的函数，从而引起色散；波导色散是由于相移常数β是频率的函数引起；模间色散是由于光纤中不同模式有不同的群速度，在光纤中传输时间不一样，在输出端叠加形成展宽的脉冲。多模光纤中才会存在模间色散。
材料色散与波导色散随波长的变化呈相反的变化趋势，总会存在两种色散大小相等符号相反的波长区，也就是总色散为零或很小的区域。1.55um零色散单模光纤就是根据这一原理制成的。
薄膜光波导：又称平面光波导，由三层组成，中间层为光波导薄膜，厚度d为1～10um，折射率为n₁，下层为衬底，折射率为n₂，上层为包层或称覆盖层，折射率为n₃。
如果n₂=n₃，则称为对称波导，否则称为非对称波导，此时n₁>n₃>n₃。因为波导薄膜的折射率最大，因而光波被限制在光波导薄膜内，并沿z方向传播。
如果n₁是均匀不变的，称为阶跃折射率波导或平板波导，若n₁遂x坐标缓慢变化，则称为渐变折射率薄膜波导。薄膜波导的横向宽度一般为10～20mm，与波长（1um）相比可视为无限宽，而薄膜厚度与波长同量级。
波导中的导模在横截面上有谐振特性，即波导中的入射波与反射波相叠加，其相位满足干涉条件，在横截面坐标上形成驻波。
衬底和包层中的场按指数形式衰减，导模场被限制在薄膜层及其附近，所以导模是表面波。同一导模，在衬底中比在包层中衰减慢，薄膜折射率越大导模衰减越快，电磁场的集中程度越好。高阶模比低阶模在衬底和包层中衰减得慢。

耦合线认为是同一纵向对称面的三个导体构成，两个在z轴方向上一致的相同导体，第三个导体就是公共地，这三个导体被一种或多种电介质隔开。

下图为耦合线奇模和偶模的电磁场磁通线：

偶模，相等于在对称面放置了磁场壁，法向电场为0；奇模相当于在对称面放置了电场壁，切向电场为0。对耦合微带线，会有两个准TEM模，一个奇模一个偶模，奇模偶模有不同的有效介电常数，也存在不同的相速度。

上图为无穷小的无损耗对称耦合线等效模型，电路为孤立传输线等效电路增加了互容C_m和互感M。将C_m等效为两个串联的大小为2C_m的电容，根据基尔霍夫定律，可以得到4个电报方程，利用对称结构可简化分析过程，等效在对称面放置磁场壁（开路）和电场壁（短路），简化为解两个独立的传输线，可以分开计算偶模和奇模特性，然后将奇模解和偶模解叠加。
偶模中，等效电压和电流分别存在于每条线中，对称面相当于开路而阻止了电流，互容不起作用，而互感会在两条线之间产生电压差MI₂=MI₁。偶模相当于单位长度电容为C电感为L+M的传输线，特性阻抗和相速度为：

奇模中，对称面相当于电场壁，V=0，两条线的电流和电压幅度相等但符号相反。把互容替换为两个串联的大小为2C_m的电容，对称面将两个电容之间的结点连接到地。由于两条线的电流方向不同，将在两条线上产生MI₂=-MI₁的压降。奇模相当于单位长度电容为C+2C_m电感为L-M的传输线。特性阻抗为：

在电介质为均匀电介质时，不包括微带线，两个模的相速度相同，因此可以得到：

由于奇模的电场在空气介质中的分布，要比偶模的电场在空气介质中的分布多一些，因此奇模的等效介电常数比偶模的等效介电常数小，因此奇模的相速度也大于偶模的相速度，耦合线之间的耦合越紧相速度差别越大。偶模的特性阻抗定义为偶模场型分布时单根中心导体对地的阻抗，奇模特性阻抗定义为奇模场型分别时单根中心导体对地的阻抗。

式中，K为第一类完全椭圆积分，

求出奇、偶模特性阻抗后，侧边耦合带状线的特性阻抗就可计算出：

在实际应用中，常常给定奇、偶模的特性阻抗，要求设计耦合带状线的尺寸W、s和b：

若选定了基片厚度b后，则W和s便可确定。
在编程计算中，也可使用如下公式：

上式，当W/b≥0.35时约有1%精度。
考虑导体带厚度的影响时，对t/b<0.1和W/b≥0.35的情况，下式有很好的精度：

对空气耦合微带线，奇偶模的特性阻抗虽然随耦合状况而变，但两者的乘积等于存在另一根耦合线时的单线特性阻抗的平方。耦合越紧，Z_0e与Z_0o的差值越大；耦合越松，Z_0e与Z_0o的差值越小。当耦合很弱时，奇偶模特性阻抗相当接近，且趋于孤立单线的特性阻抗。

所以在任何频率下，耦合线支节与奇偶模阻抗的几何平均值相匹配。因此：

当θ=π/2时，即耦合线长度λ/4时，C等于s₃₁的幅度大小，它的平方与从输入口1到耦合端口3的功率成正比关系。

通过短路或开路四端口的两个，剩下两个端口作为输入/输出口，耦合传输线支节可以用作二端口网络，得到上图的耦合线及等效电路。传输线A和C的特性阻抗为1/Y_0e，中间传输线特性阻抗为：

耦合线可用于实现带通或带阻滤波器。下图为采用耦合线的电路。

除了常见的耦合微带线，还有耦合带状线，结构有多种形式，主要有薄带（t=0）与厚带（t≠0）、侧耦合与宽面耦合、与接地板垂直与平行等差别。耦合带状线可以构成滤波器、定向耦合器、电桥等。

耦合带状线填充的介质是均匀的，主模是TEM模，可采用奇模激励和偶模激励来进行分析。
薄带侧耦合带状线特性阻抗：

式中：K()为第一类完全椭圆积分，k_o、k_e为模数，k'_o、k'_e为补模数。
模数与耦合线结构尺寸的关系：

W为中心导体带的宽度，s为导体带边缘的距离，b为与接地板的距离。
耦合带状线为均匀介质填充情况下，奇偶模的相速度是相等的，而且都等于电磁波在无界介质中的传播速度，即：

奇偶模的波导波长也相同：

传输线使用时经常需要计算输入阻抗、负载阻抗、反射系数等，为了省时和方便，可绘制关于传输线终端接有各种负载的线上任意截面处的关系曲线，以供查用，这些曲线是一些圆，故名圆图，也称史密斯圆图。工程应用中，常用史密斯圆图表示这些参量和它们之间的关系，又分为阻抗圆图和导纳圆图。

利用阻抗圆图可以迅速找到Z_in(z)和Γ(z)的关系，并可确定其他许多参数之间的关系。阻抗圆图包括三簇圆--反射系数圆、电阻圆和电抗圆。

式中，Γ(0)为传输线终端负载处(z=0)的反射系数，一般是一个复数，因此可以写为：

这样，就可以用复平面上的一个点来表示，Γ_r为横坐标，Γ_i为纵坐标。复数有模和幅角。

对给定终端负载Z_L的均匀无耗传输线，Γ(z)与Γ(0)的模相等，仅差一个相角2βz。当βz增加时，即相当于从传输线上的计算位置朝信号源方向移动，等效于矢量Γ(z)顺时针旋转；反之，当βz减小时，即相当于从传输线上的计算位置朝负载方向移动，等效于矢量Γ(z)逆时针旋转。矢量Γ(z)旋转360°，相当于沿传输线轴向的z坐标变化了半个波长λ/2的距离；当z的变化超过半个波长时，Γ(z)又重复原来的变化轨迹。对于给定负载Z_L，Γ(z)为：

在复平面上Γ(z)的变化轨迹是以坐标原点O为圆心、以Γ(0)为半径的一个圆。不同的Z_L就有不同半径和不同初相角的圆。

某些情况下，负载Z_L的改变并不会引起Γ(z)的改变，只引起Γ(z)初幅角的改变，因此同一个反射系数圆实际上代表者许多Z_L相对应的Γ(z)轨迹，这些Z_L的共同特点是由它们引起的反射波的振幅值与入射波的振幅之比都相等。因为反射波振幅最大值只能小于或等于入射波的振幅值，所以总有0≤|Γ(z)|≤1。

根据Z_in(z)和Γ(z)的关系式可以画出电阻圆和电抗圆。一般情况下，Z_in(z)是一个复阻抗，可以写成Z_in(z)=R_in(z) +jX_in (z)。若R_in(z)保持一个常数，而X_in(z)可以取任意值，则Γ(z)在复平面上的变化轨迹是一个圆，若R_in(z)取一系列常数，就得到与之对应的一簇圆，称为电阻圆；如果X_in(z)取一系列常数，而R_in(z)取任意值，就可以得到与之对应的一簇电抗圆。

可以得到归一化阻抗与反射系数的关系式：

其中，r为归一化电阻，x为归一化电抗。把反射系数按实部和虚部分开写：

带入前面公式，并分成实部和虚部，让实部和虚部分别相等，可得到：

整理以上表达式，可以分别得到：

左边表达式，在r取不同常数时，在复平面上表示一簇圆，即电阻圆，圆心坐标(r/(1+r),j0)，半径r/(1+r)。圆簇与实轴交点分别为(1,j0)和((r-1)/(r+1),j0)，说明电阻圆的轨迹都包含(1,j0)。

右边表达式，当常数x取不同值时，在复平面上也表示一簇圆，即电抗圆，圆心坐标(1,j(1/x))，半径1/x。所有的圆都在(1,j0)点与实轴相切。其中上半部电抗曲线对应感抗，下半部分对应容抗。

如果把反射系数圆、电阻圆、电抗圆组合在一张图上，即构成完整的阻抗圆图，实用中一般只绘出电阻圆和电抗圆，而不绘出反射系数圆。

阻抗圆图中，中心点为匹配点，|Γ|=1的单位圆与实轴有两个交点，右边的交点为开路点，左边为短路点。实轴上所有点表示的阻抗为纯阻，单位圆圆周上的点表示纯电抗。

实际工作中，有时需要求出传输线上的导纳参量，用导纳圆图比较方便，可以利用阻抗圆图得到导纳圆图。归一化导纳公式：

与归一化阻抗公式一样，因此导纳圆图与阻抗圆图也完全一样，只是把阻抗圆图中的电阻r换成电导g，电抗x换成电纳b，电压反射系数换成电流反射系数，电流反射系数是电压反射系数的负值。阻抗圆图上的电压开路点与短路点，在导纳圆图上则反转变成短路点和开路点。而匹配点仍在坐标原点。

10.常见介质及金属材料特性：

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当前位置： > >有个高阶微分方程不会解，盼大神帮忙解算，多谢