上回说到利息的基本原理，重点探讨了钱能生息的本质（详情请戳：《》）。今天我们进入更加硬核的数学部分，看下利息的核算原理究竟用的是怎样的数学模型。

很多人说，数学要学那么好有什么用？买个菜还用得上微积分？

呵呵，买菜是用不上微积分，可是买房就用得上了啊！难道你就这点追求，打算一辈子只买菜不买房？

日常生活中用微积分的场景虽然不多，但人和人的差距也不需要处处体现，有那么一处犯难就发现已经是个巨大的鸿沟而无法弥补了。而没有这个层次的思维训练，突击是学不会的。今天我们就以买房贷款中的利息计算问题为例和大家讨论下这里面的数学。

以前觉得，银行的利率与利息的核算，按一般理解也顶多是个加减乘除级别的问题，知道有单利复利有区别，但作为对数学如此敏感的我因为和自己关系不大也没有太在意。直到最近和同事讨论：

等额本金和等额本息还款，哪个更划得来？

同事说，你看等额本息一开始都是还的利息，要还得多得多，划不来。我虽然大体有印象，这本没什么区别，仅在于借钱时间长短而已。但发现自己仅有定性认识，还真没定量算过，其实是一知半解，遂认真研究了一把银行房贷利率的算法。推演完毕才发现，这里的内容真的值得好好学习回顾一番。

利率是什么，利息如何计算？

上一篇文章提到，银行等金融机构在返还给投资者资本增值过程中的分成时，往往以固定利率分成，那么这个方式就是约定利率和利息，这是存款。如果是贷款，只是方向不同而已，利息模型是一样的。

注意，这些概念都是金融工具里的数学规定，实际资本的增长周期，大小，波动都和这个值不同，有差距的部分由银行自负盈亏。

下面我们来具体看看利率和利息这两个概念的具体含义。

利率是利息率的简称，是单位时间内利息相对本金增值的比例。看到了吧，这个比例的说法就说明，这是个线性增长的模型，没有规模效应，原意也是没有复合增长或者“利滚利”的概念的。那利息也很好算，就是利率乘以时间而已。如果是活期，还有随时支取的能力，这种级别的流动性是很大的价值。但所谓的随时也不是理想化的，比如要在银行上班的时候，以及最小的计息周期可能是天，存一个小时并没有利息等等。而定期存款，虽然说是什么利率，但是实际上你只能在规定时间支取，这个利率就只是个以单利模式参考的数值而已，在时间还没到的时候如果还不能交易的话是没有价值的，不像活期那样真的可以随时行之。

由此也可以看出投资存款和其他投资最大的区别，银行是以固定利率，规定或任意的时间来给你返回资本的时间价值的，这个标准化的产品叫作存款，逆过程叫贷款。这种产品相对稳定，而其他的投资，比如股票，风投或者对自己，后代的投资，是不知道要猴年马月才会开花结果，多少，以什么形式的。人们有对这种固定收益模式的，低风险，确定回报投资的需求，银行就一定会有生意。

对于一项存款或贷款产品，其参数有利率，计息方式，计息周期，支取周期以及到期时间约定，我们称之为五要素利息模型，即利息的增长函数，由这5个参数决定。利息和利率讲完了，我们接着看后面两个。

除了利息和利率，还有一个被忽略了的重要概念：计息方式。当你去银行存贷款的时候，合同里必然都会写明，但是天花乱坠的宣传广告里可就没有了。但是当金额大，利率高，时间长的场景中，这两者有着天壤之别。计息方式一般有单利和复利两种，取决于是否约定，钱的增值是个可以以一定周期把利息转化为本金继续增值的过程，俗称利滚利。在一般的银行活期存款的操作实践中，1个周期内为单利计息，超过1个周期为复利，该周期也称为复利的计息周期，我们记作l。比如银行会每个季度在你的存折上结息一次，这些钱自动就进入账户开始计入本金开始增长，就可以看作复利增长了，但是若不满一个季度，提前结息就是单利的。具体而言，假设本金为单位1，利息率为r每周期，那么假设还款时间为n个计息周期后，本息和为：

如银行活期实操中所说，这里n可以为整数，此时一般取复利，也可以为小数，那么其小数部分取单利。注意哪怕是单利计息也是可以有计息周期的，只不过反正没有复利增值，利息不会变成本金，什么时候计息无所谓。

根据二项式定理的展开公式可以看到，若n，r都很大，那么二者的差距会很大，即年限越来越长以及原利率越高，单利复利计息方式差距越大。

很多人觉得，存贷款产品搞清楚它们的利率和计息方式，能算清楚利率就行了。大面上这些是基础不错，不过，如果你忽略了支取周期和到期时间，可能在一些关键节点上要吃大亏。我们以活期和定期两种存款为例来讲解。 

如果是活期，n可以取任意正数，这是最灵活的到期时间约定，相当于无期限的到期时间o。只要银行给你开门，n的任意多位小数部分都能实现利息，不过实操下，一定会有一个最小周期，称为支取周期，记为m，一般m <= l，m <= o，m | l，因此对于支取而言，首先是银行给你开门，另外，会对你存钱的时间t等效为[t / m] * m(+ 1)。这个+1与否取决于具体业务，比如银行存款都默认下一天计息不加1，贷款当天计息需要加1，反正银行不会亏就是了。

所以，活期存款是一种低而固定利率，复利计息，计息周期三个月，支取周期为1天，没有到期时间的产品。虽然看起来是复利，只不过，因为其结算周期很长，利率本身值也很低，因此区别并不大，属于几乎没有成本的好。

如果是定期，那么，往往相当于取时间单位为定期长度，那么m = l = o = 1，三者值没有区别。同样固定利率，而都必须在唯一的到期时间上以一个计息周期结算，反正只有1个计息周期，复利不复利也没有什么意义了。从此也可以看出，定期存款其实是一种很死板的产品，越是这样，对银行核算风险和收益越精确，比如就不存在活期的挤兑风险，因此也愿意付出更高的利息给用户。而相比活期，用户确实也损失了更多的资金的流动性，到期那天也很难接着马上有这个利息的产品接上，这些损失都由更高的利率来偿还。

定期的实操上，为了方面客户比较计算，会按照单利计息的方式，公布所谓年化利率值，而这里面，大有文章。我们下期再说。

当然，支取周期和到期时间上还有很多名堂，比如银行的各种带分红的理财产品，有按年定额给付，最后又按一定额度逐年返还之类的操作；还有我们的等额本息和本金的房贷产品等等，都可以看作是在某个利率和计息周期下，花式给定了支取周期和到期时间。这使得客户对这笔投资的流动性变得完全不可控，而对于银行来说，又足够安全可控。总之，我们不能听信广告上花里胡哨的介绍，而是要通过利息和利率，计息方式（复利的计息周期），以及支取周期和到期时间这5个要素的全面理解，来全面了解一款产品的收益和风险。

以上就是利息计算模型在金融实操上的一些数学模型本质上的理解，文章开头提到的“等额本金和等额本息还款，哪个更划得来？”的问题大家可以用我们给出的5要素利息模型先想想，我们后面的文章还会聊到，谢谢欣赏。

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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